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文档简介

第六章平面向量及其应用

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

一、教学目标

1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；

2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标

表示；

3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。

二、教学重难点

1．平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；

2．对平面向量的坐标表示的理解。

三、教学过程：

1、复习回顾平面向量基本定理

，

如果e1e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有

，，

且只有一对实数12，使a1e12e2。我们把不共线向量e1e2叫做表示这一平面内

所有向量的一组基底；

说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；

，

(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1e2的条件下进行分解；

(3)基底给定时，分解形式唯一；

2、探索新知

平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(x,y)表示，那么，每一个向量可

否也用一对实数来表示？

答:在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于

平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把

有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．

作向量OAa，设OAxiyj，所以aOA(x,y)。

说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(x,y)与之对应；

（2）两向量相等时，坐标一样；

（3）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；

（4）从原点引出的向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标。

例1．如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标。

解：由图知：a2i2j(2,2)；yA2

b2i2j(2,2)

；ba

c2i2j(2,2)；AA

1

d2i2j(2,2)

．Ox

cd

31

OA,

例2.如果将22绕原点O逆时针方向旋转120°得到OB，则求OB的坐标.

解:由题意知A是30°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点,B点是将0A绕原点O逆时

针方向旋转120°终边与以点O为圆心的单位圆的交点．由三角函数的定义，

1

3

设终边OA与x轴所形成的角为，tan2,,

336

2

25

因为，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为

636

5531

(cos,sin)即（-，）.

6622

0

变式训练：已知向量OA(5,12)，将OA绕原点按逆时针方向旋转90得到OB，则OB

（）

A.(5,13)B.(5,12)C.(12,13)D.(12,5)

解：向量OA（5，12），

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