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文档简介
课程基本信息
课例编号2020QJ11SXRA014学科数学年级高二学期一
课题空间向量的应用（2）
书名：
教科书
出版社：出版日期：年月
教学人员
姓名单位
授课教师于洪伟北京景山学校
指导教师雷晓莉东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：运用空间向量研究立体几何中的度量问题的过程中，感受向量法和坐标法的
区别和联系。
教学重点：运用空间向量研究例题几何中的度量问题。
教学难点：根据条件选择合适的思路和方法解题。
教学过程
教
学
时间主要师生活动
环
节
例如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱
底面，，是的中点，作交于点
（1）求直线与�所−成�角�的𝐵大小；𝐴𝐵𝐵⊥
（2）�求��直�线𝐵与=平�面��所�成�角的正弦值�；�⊥𝐴𝐴�.
（3）求点到��平面��的距离.
���𝐸
��𝐴
问题1：如何用空间向量求直线与所成角？
通过计算向量和的数量积，�求�其夹𝑩角.
追问1：向量� � 与� � 的夹角与直线与所成角有什么差异？
范围不同，向� 量 � 夹角� � 可以是钝角，𝑷𝑩
而直线与直线所成角只会是锐角或直角.
追问2：用向量法如何计算向量与夹角的余弦值？
，����
1
� � =� � −� � � � =−� � +� � −� � .
（向量法）2
解：因为底面，所以，.
因为底面为正方形，所以.
𝐵⊥𝐴𝐵𝐵⊥𝐵𝐵⊥��
所以𝐴𝐵，�，�⊥��.
因为��∙��=0，��∙��=0��∙��=0，
1
� � =� � −� � � � =−� � +� � −� �
所以2
1
� � ∙� � =(� � −� � )∙(−� � +(� � −� � ))
2
211121
=−� � +� � ∙� � −� � ∙� � +� � ∙� � −� � +� � ∙� �
2222
212
=−� � −� � .
因为2，所以
222
所以��=��=����=��=��.
21232
� � ∙� � =−� � −� � =−� � .
22
222222
|� � |=(� � −� � )=，� � −2� � ∙� � +� � =� � +� �
2
=2� �
212
|� � |=(−� � +(� � −� � ))
2
212
|� � |=(−� � +(� � −� � ))
2
21212132
=� � +� � +� � −� � ∙� � +� � ∙� � +� � ∙� � =� � .
4422
所以
32
� � ∙� � −� � 3
cos<� � ,� � >==2=−.
2
|��||��|3
2|� � ||� � |
所以向量，夹角为.2
所以直线� � 与� � 夹角为150.°
����30°
追问3：如果用坐标法表示和，还用这个空间直角坐标系，能
写出和的坐标么？� � � �
����，
11
（坐标法）解：� 因� =为1,0,−底1面� � =，(所−以1,−,).，.
因为底面为正方形，所以.22
所以以为原点，以𝐵为⊥轴，𝐴�为�轴，𝐵为⊥轴𝐵，建立𝐵空⊥间�直�角
坐标系.设𝐴�长�为1.𝐵⊥��
����������
可得��，，，
11
所以�(0,0,0)�(1，,0,0)�1,1,0�0,0,1�(0,2,2).
11
� � =1,0,−1� � =(−1,−,).
所以22
� � ∙� �
cos<� � ,� � >=
|� � ||� � |
11
1×−1+0×−+(−1)×23
=2=−.
2
11
1+0+11++
所以向量，夹角为44.
所以直线� � 与� � 夹角为150.°
问题3：如何用向量法求直线与平面所成角？
思路一是找��到直��线在平30面°内的射影；
思路二是计算平面的法向量𝑷.𝑩�
追问1：你会倾向�于�采用哪条��思�路？
计算平面的法�向�量�.
追问2：�向�量�与平面法向量的夹角和直线与平面
所成角是什么� 关 � 系？𝑩��𝑷𝑩�
�
追问3：求平面的法向s量in�需=要|解cos决<什� 么 � ,问�题>？|
直接找到与平面垂直的向量；
或者找到平面𝑩内�不共线的两个向量.
（向量法）�𝐸
解：采用（1）�的𝐸基底向量，因为
，，
11
� � =� � +� � −� � � � =� � +� �
所以22
11
� � ∙� � =(� � +� � −� � )∙(2� � +2� � )
11121112
=� � ∙� � +� � ∙� � +� � +� � ∙� � −� � ∙� � −� � .
222222
所以
1212
� � ∙� � =� � −� � =0.
所以.22
因为� � ⊥� � ，所以.
因为𝐸⊥𝐴，� � ⊥，� �
所以� � 是⊥平� � 面 � � 的⊥一� 个 � 法向量.
因为� � �𝐸，，
所以� � =� � +� � ，−� � � � =� � ，−� �
2
� � ∙� � =2� � � � =2� � |� � |=3� � .
所以
� � ∙� � 6
cos<� � ,� � >==.
所以与平面所成角|� 的 � 正||� 弦 � |值等3于.
6
���𝐸3
（坐标法）
解：采用（1）的空间直角坐标系，
所以，，
11
� � =1,0,−1� � =1,1,−1� � =(0,,).
因为，22
11
� � ∙� � =1×0+0×+−1×=0
所以.22
因为� � ⊥� � ，所以.
所以𝐸是⊥平𝐴面的� 一 � 个⊥� 法 � 向量.
� � �𝐸
因为
� � ∙� � 1×1+0×1+−1×−1
cos<� � ,� � >==
，��𝐴1+0+11+1+1
6
所=以与平面所成角的正弦值等于.
3
6
���𝐸3
追问4：如果没有注意到是平面的一个法向量，我们会需要
计算点的坐标来求平面� � 的一个�法��向量，怎样计算点的坐标
呢？
�𝑩��
因为点在上，所以.
而�𝐴，所以� � =�� � .所以.
所以𝐴=1,1,−1𝐸=�,�,−���,�,1−�
11
� � =(�,�−,−�−).
因为，所以22，
即𝐸⊥𝐴𝐸∙𝐴=0
11
�+�−−(−�−)=0.
解得2，所以2
1112
�=�(,,).
问题3：如3何用空间向3量3求3点到平面的距离？
计算向量在平面的法向�量上的�投�影�向量的长度.
追问1：还� �能 直接找�到�平�面的法向量么？
找不到，只能通过找到平面内不共线的
两个向量来计算平面的�法�向�量.
追问2：这时求平面的法��向�量选择
向量法还是坐标法？�𝐴
选择坐标法.𝑩�
（3）解：仍采用（1）的空间直角坐标系，可得
，，
11
� 设 � 平=面(0,,的)法向� 量 � 为=0,0,1� � ，=
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