河北省石家庄市2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省石家庄市2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则.故选：B.2.已知平面向量，则“”是“，共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若则，共线，故充分性成立；若，共线，不一定得到，如，，显然满足，共线，但是不存在实数使得，故必要性不成立；所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A.3.设非零向量，若，则的取值范围为（）A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[1，2]【答案】C【解析】因为是三个单位向量，因此，当三个向量同向时，取得最大值为；当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，所以的取值范围为.故选：C.4.已知平行四边形对角线的交点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，.故选：C.5.已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，若点三点共线，则点不能构成三角形，即，解得：，所以的值为.故选：B.6.如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由对称性可得，连接，与的交点为，则为的中点，为的中点，故，，，，过点作直线的垂线，垂足记为，则向量在向量上的投影向量为，所以，如图过点作，，垂足分别为，所以，，观察图象可得，其中与同向，与反向，所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，所以的取值范围是.故选：B.7.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以.故选：A.8.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)A. B. C. D.【答案】B【解析】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反两只胳膊的拉力的合力大小为则该学生的体重约为（kg）.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列命题中的真命题是（）A.若为非零向量，则与同向B.若，则与的夹角为钝角C.若，则D.的充要条件是且【答案】AC【解析】对于A，因为是个正数，所以与是同方向的单位向量，故A正确；对于B，当与的夹角为时，，，故B错误；对于C，由，得，的长度相等且方向相同；由，得，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，即，故C正确；对于D，当且方向相反时，不成立，所以且不是的充要条件，故D错误.故选：AC.10.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A.若，，则动点的轨迹经过的内心B.若O为平面内任意一点，，则点为的重心C.若为的垂心，，则D.若为锐角的外心，且，则【答案】BCD【解析】对于A选项，设中点为，如图，则，，所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确；对于B选项，，可得，即，所以点为的重心，故B正确；对于C选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于D选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，如图，又因为，所以垂直平分，故，正确.故选：BCD.11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，，，则有两解B.若，则是等腰三角形C.若在线段上，且，，，，则的面积为8D.若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为【答案】ACD【解析】对于A中，由，，，由正弦定理可得，因为，所以有两解，即有两解，所以A正确；对于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因为，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；对于C中，由在线段上，且，，，，则，设，中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，在中，由余弦定理可得，所以，所以的面积为，所以C正确；对于D中，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上，由正弦定理可得外接圆的直径为，即，当点在外部时，如图所示，因为，可得，所以，所以的长度为，同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，所以动点的轨迹的长度为，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，且，则__________．【答案】【解析】（1）当点C在线段的延长线上时，如图．则，则．（2）当点C在线段上时，如图．则，即．综上，．13.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______.【答案】【解析】在方向上的投影向量为.14.已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________．【答案】【解析】由题，因为，，所以，因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值，所以，解得，又因为与的夹角为锐角，所以，故；因为，又有，将模长代入，设，即原式，因为，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤15.已知向量．（1）求向量与的夹角的大小；（2）若向量，求实数的值；（3）若向量满足，求的值．解：（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以实数的值是.（3）依题意，即，于是，解得，所以.16.在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的长．解：（1）由和正弦定理，可得，因，则，即，因为，则得，因，则．（2）如图，因是的平分线，则，解得，又，则，即，解得.17.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，则，可得，所以，所以.（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），所以，，因为，则，，所以，因为锐角三角形，则，解得，则，，故.18.如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.（1）若，当k为何值时，与垂直？（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求最小值.（3）若的最小值为1，求的值.解：（1）因为，所以由余弦定理得，即，所以.若与垂直，则，所以，所以，解得，即时，与垂直.（2）因为为的重心，所以，又因为，所以，由于三点共线，所以存在实数使得，所以化简为，所以，所以.显然，则，当且仅当时，即时，取最值.则的最小值为2.（3）设与的夹角为，在中，，所以，又，所以当时，有最小值，所以，解得，即取最小值1时，．19.给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点.（1）已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点；（2）若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；（3）若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值.解：（1）点不是关于的一