河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省创新发展联盟2024-2025学年高一下学期阶段性测试（三）（3月）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各式能化简为的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D错误.故选：C.2.在中，，，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由题意可得，解得.故选：B.3.下列各组向量中，能作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】能作为基底的向量不可以是共线向量，对A：，，，故//，不可作基底，故A错误；对B：，，，故//，不可作基底，故B错误；对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确；对D：，，，故//，不可作基底，故D错误.故选：C.4.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得：，故，又，，故.故选：D.5.如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图：由题意：中，，，.由正弦定理可得：.故选：B.6.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由射影定理得，而，则，解得，而，因此，由余弦定理，得，则，，所以.故选：A.7.如图，在中，，，，在边上（不与端点重合），延长到，使得，若（为常数），则的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设.因为三点共线，所以.又，所以.设，因为，，，所以或（舍去）.所以.所以.所以.故选：A.8.已知点是所在平面内的一点，且，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，设，则，，，所以，所以.当时，取得最小值.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法错误的是（）A.单位向量都是相等向量B.若，则或C.若平面向量，，则，可能垂直D.对任意向量，，恒成立【答案】ABC【解析】对于A，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；对于B，若，则，或，或，故B错误；对于C，若平面向量，令，即，显然不可能，故C错误；对于D，对任意向量恒成立，故D正确.故选：ABC.10.设的内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】在研究下列问题：因为，所以，即，所以，化简得，所以是直角三角形，故A正确；因为，由正弦定理可得，即，所以或，所以为等腰三角形或者直角三角形，故B错误；因为，所以，即，所以，故C正确；因为，由正弦定理可得，所以，或，不能确定的形状，故D错误.故选：AC.11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（）A. B.的取值范围为C.的最大值为2 D.的取值范围为【答案】ACD【解析】对A：，即，，所以，故，又为锐角三角形，，故，A正确；对B：由A可知，，故，由正弦定理，可得，故可得，又，故，则；由为锐角三角形可得：，解得，故，则，则，故B错误；对C：由余弦定理可得，等式两边同除可得：，所以，解得，当且仅当，即时取得等号，故C正确；对D：，故，故；由B可知，又，故，，，也即的取值范围为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则_____．【答案】【解析】由题意可知，与的夹角为，则.13.在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是_____．【答案】【解析】由题意，过作，垂足为，作图如下：由题意可知，，为在上的投影向量，则，，设直线的函数解析式为，代入，解得，则可设，则，解得，所以.14.已知在中，，且，则的面积的最大值为_____．【答案】【解析】如图：设边的中点分别为，连接.由即；由.所以当时，四边形的面积最大，为.此时的面积也最大.因为，且，所以.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，，且，．（1）若//，且，求的坐标；（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．解：（1）设，，，，即；又，，解得或或．（2）由题可知，，，与的夹角是锐角，，解得，又与不共线，，即，实数的取值范围是．16.已知中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求；（2）若，是的中点，且，求的面积．解：（1）在中，由余弦定理得，因，所以．因为，所以．（2）因为是的中点，所以，即，故．又，，所以．因为，所以，可得，则，．所以的面积为．17.在中，是边上靠近三等分点，是的中点．（1）以为基底表示，；（2）设与相交于点，若，求实数与值．解：（1）由题可知，，所以，．（2）由题可得，共线，，共线，如图：设，由（1）知，，则，又，由，共线，得，使得，即，又，不共线，所以，解得，所以，，又，所以．18.已知在中，三个内角满足，且为锐角．（1）求；（2）在内作射线交于，使得，若，，求．解：（1）因为，，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以．（2）根据题意设的中点为，连接，如图，则．因为，所以，所以，，在中，，由正弦定理得，即，化简得，由题知，即，所以，则，解得，此时不存在，舍去，或，解得，满足题意．综上．19.在中，内角、、所对的边分别为、、，其中，设向量，.（1）若，（i）求；（ii）设点为所在平面内一点，且满足，求．（2）若，求内切圆面积的最大值．解：（1）（i）因为，所以，解得，又因为，所以．（ii）由，得，解得，，即，可知为的外心．由正弦定理得，所以．（2）由