2025年春北师版数学八年级下册 1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 教案

1.1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法教学内容第3课时等腰三角形的判定与反证法课时1核心素养目标1.通过探究、归纳、验证等方法证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，会用此定理解决相关的简单的几何问题；2.通过反证法培养学生的逆向思维方法；3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识目标1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；教学重点理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.教学难点掌握等腰三角形的判定定理及其运用.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知当堂练习，巩固所学创设情境，导入新知如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？师生活动：让学生自主探究，举手回答问题（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）复习回答：问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的判定前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?回顾导入：建立数学模型：如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?方法思考：①作高AD可以吗?②作角平分线AD呢?③作中线AD呢?师追问：你能验证你的结论吗？证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的公理化思想的机会，教师应注意引导，教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).应用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(等角对等边).辨一辨：如图，下列推理正确吗?∵∠1=∠2，∴BD=DC(等角对等边).∵∠1=∠2，∴DC=BC(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.典例精析例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.知识点二：反证法想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC.师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.小明是这样想的：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C，但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.你能理解他的推理过程吗?师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.反证法概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤：1.假设：先假设命题的结论不成立；2.归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．当堂练习，巩固所学1.已知：如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，①∠1=°，∠2=°；②图中有个等腰三角形；③若AD=4cm，则BC=cm；④若过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.2.已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.求证：△OBC为等腰三角形.3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交.证明：假设______________，那么________.因为已知_________，所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，这与“__________________________________________”矛盾.所以___________，即求证的命题正确.设计意图：通过实际例子引出本节课讨论的问题，充分调动学生学习的兴趣.设计意图：检测学生对上节课内容的掌握情况，为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.设计意图：中这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫，设计意图：由浅入深，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养数形结合思想.设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作等腰三角形底边上的高线、顶角的角.设计意图：给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写.设计意图：通过例2，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.设计意图：通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.板书设计等腰三角形的判定与反证法等腰三角形判定定理：等角对等边反证法：先假设命题结论不成立.课后小结教学反思本节课的重点是等腰三角形的判定方法，它把三角形中角的相等关系转化边的相等关