山东省临沂市郯城县高考补习学校2024-2025学年高三下学期三月月考数学试题（含详解）

山东省临沂市郯城县高考补习学校2024−2025学年高三下学期三月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若，则z在复平面内对应的点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（

）A．1 B． C． D．5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（）A． B． C． D．26．已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（）A．B．1C．4D．167．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（）A． B．C． D．8．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列5个结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于直线对称；④当时，函数的最大值为；⑤方程有四个不同的实根；其中正确结论的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、多选题（本大题共3小题）9．已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（）A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则C．若与互斥，则 D．若，则10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．的最小正周期为 B．C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为11．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，A．OMB．存在点M，使OM//平面C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值三、填空题（本大题共3小题）12．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则.13．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为.14．项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．(1)求证：平面平面；(2)已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．16．2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：满意度性别合计女性男性比较满意rs50非常满意t4070合计60l120(1)求的值；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？(3)用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.附：，.0.10.010.0012.7066.63510.82817．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)求证：；(2)若.（i）求；（ii）若，且的面积为，求的周长.18．已知椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆的方程．(2)过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．（i）若，求的方程；（ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值．19．已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）.(1)讨论的单调性；(2)若函数有三个零点，求a的取值范围；(3)若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值.

参考答案1．【答案】A【详解】由存在量词命题的否定的定义知：命题“”的否定是,故选A.2．【答案】A【详解】由题意得，所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．【答案】C【详解】因为，所以故选C．4．【答案】B【详解】由题意，在上的投影向量为，则，因为是单位向量，即，所以，则.故选B.5．【答案】A【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点，因为点在抛物线上，所以，，又，为正三角形，，又，在中，，即，解得或（舍去），所以到轴的距离为.故选A.6．【答案】D【详解】设的公比为q，由得，，故，又因为是递增的数列，所以，因为，所以取得最小值等价于函数取得最小值，求导得，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，此时.故选D.7．【答案】C【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可．8．【答案】B【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；对于②，，，②正确；对于③，，，，不关于直线对称，③错误；对于④，当时，，此时；当时，，此时；综上所述：当时，，④正确；对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，由图象可知与有四个不同交点，方程有四个不同的根，⑤正确.所以正确的个数为3.故选B.9．【答案】ACD【详解】对于A，，故与相互独立，即A正确；对于B，若与相互独立，则与也相互独立，则，故B错误；对于C，若与互斥，则，，故C正确；对于D，由全概率公式可得，所以，故D正确；故选ACD.10．【答案】ACD【详解】由题意得，由图象可得，又，所以，由五点法可得，所以.A：由以上解析可得，，故A正确；B：由以上解析可得，故B错误；C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确；D：当时，，所以最小值为，故D正确.故选ACD.11．【答案】ABD【解析】依题意可知AB,AD,AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=AD=AS=2，则A0,0,0,S0,0,所以OM⋅AP=-点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为2-易知B2,0,0设平面SBC的法向量为n=x则n⋅SB→=2x-2z=0,要使OM//平面SBC则OM⋅解得t=1，所以存在点M，使OM//AB=若直线OM与直线AB所成的角为30∘，则cos即3t2-故选ABD.12．【答案】【详解】因为原点在上，所以上的点到的距离之积为，设为C上任意一点，此时，整理得，因为的面积，所以，所以点是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点，联立，解得，所以13．【答案】【详解】已知，由正弦定理可得，又，可求得，，利用余弦定理，可得，所以，又三角形面积，又，所以，故，当且仅当时等号成立，所以的内切圆半径r的最大值为14．【答案】/【详解】由题意，因为项数为6且，所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，可构成的数列个数为个，由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，①则若中没有0，则数列为，不符合题意，②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，综上，符合题意的“好数列”只有4个，所以数列是“好数列”的概率为.15．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，得，又平面，则平面，而平面，于是，由为中点，，得，又平面，因此面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，二面角的平面角为，则，由平面，得为与平面所成的角，在中，，则，，而，则，此时，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，于是，在中，，则，所以四面体的体积.16．【答案】(1)(2)依据小概率值的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异.(3)分布列见解析，期望为【详解】（1）完善二联表为：满意度性别合计女性男性比较满意302050非常满意304070合计6060120故，故；（2）零假设依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，，故依据小概率值的独立性检验，能认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异.（3）由于女性对服务满意的概率为，男性对服务满意的概率为，故，，，故的分布列为012故.17．【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）16【详解】（1）因为，所以.又因为，所以原式左边右边，得证.（2）（i）由（1）可得.又由正弦定理得，即.由余弦定理得.因为，得.（ii）由题知，由，得.又由余弦定理，可得，即，所以.所以，故的周长为16.18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）见解析【详解】（1）椭圆过点，故，且离心率，解方程组，得：，故椭圆方程为:.（2）（i）过点的直线（与轴不重合）,故设直线，设，联立，整理得：，故，故，即，解得，故的方程为：.（ii）分别是的左、右顶点，故故直线的方程为：，当时，，故，同理可得：直线的方程为：，，且，故,故，因为，故，所以，故与的面积之比为定值7.19．【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).【详解】（1）由已知得，有三个根，令，得或，所以有两个不同的解，所以，又，令，得或，令，得，所以当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）令，