四川省成都市郫都区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）

郫都区2024—2025学年度下期期中考试高二数学说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．所有试题均在答题卡相应的区域内作答．第I卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．2．在等差数列中，若，则该数列的公差为（

）A． B． C．3 D．3．设，若，则（

）A． B． C．1 D．In24．已知函数，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．5．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（

）A． B． C．505 D．10136．已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（

）A． B． C． D．7．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（

）A．6 B．8C．D．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）9．已知函数，则下列结论正确的是（）A．是函数定义域内的极小值点B．的单调减区间是C．若方程有两个不同的实根，则D．在定义域内有最小值，无最大值10．以下命题正确的有（

）A．设等差数列的前项和分别为，若，则B．数列满足，则C．数列满足：，则D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为11．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（

）ABCD第II卷（非选择题共92分）注意事项：必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）已知是数列的前n项和，，则．13．函数在时有极小值0，则．14．若不等式恒成立，则的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．(本小题满分13分)已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为4，且椭圆离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；17．(本小题满分15分)已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)若，求在区间上的最小值和最大值．18．(本小题满分17分)已知数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)设，记数列的前n项和为．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范围．(本小题满分17分)已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.郫都区2024—2025学年度下期期中考试高二数学参考答案题号1234567891011答案ADCADCABACBDABC12．13．1114．15．解（1）由题可得，..........................（2分）又由得..........................（4分）所以，椭圆的方程为..........................（5分）（2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，得，.............................（7分）则，.............................（10分）由于即，.............................（12分）解得（显然满足）..............................（13分）注：如果没有判别式最后也没验证的扣2分，如果最后验证的可以不扣分!16．解（1）法一：取中点，连接..........................（1分）在△中，分别为的中点，所以，又，所以，四边形是平行四边形，所以.................（5分）又平面，，所以平面..............................（7分）法二：因为底面，底面，所以，又因为平面，所以平面，即为平面的一个法向量，如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，由为棱的中点，得，向量，，故，又平面，所以平面；............................（7分）（2）因为，设平面的法向量为，则，取，.............................（11分）又平面的法向量，设平面与平面夹角为，则，..........................（14分）所以平面与平面夹角的余弦值为..........................（15分）17.解：（1）由题知.............................（2分）当时，恒成立，.............................（4分）且，........（6分）综上，当时，当时，.............（7分）（2）因为，，因为，当时，，所以函数在是减函数；.......................（9分）当时，，所以函数在是增函数，......................（11分），，，则，.........................（14分）故时，的最小值为，最大值为..........................（15分）18．解（1）因为，即，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列..........................（4分）（2）（i）由（1）知，所以，所以，.............................（5分）所以，，所以...........................（7分），所以............................（10分）（ii）因为，所以，............................（12分）令，不妨设的第项取得最大值，所以，解得，所以的最大值为，.............................（16分）所以，即m的取值范围是..............................（17分）注：此问也可以探讨数列的单调性，得到后求解，请阅卷老师合理给分。19．解（1）当时，，，，.............................（1分）则，所以，............................（2分）所以曲线在点处的切线方程为，即.（4分）（2）因为，恒成立，所以恒成立.（5分）令，则，.........................（6分）令，则且不恒为0，即在上单调递减，则，........................（8分）所以当时，且不恒为0，所以在区间上单调递减，故，所以，综上，实数的取值范围为................