第10讲 特殊的平行四边形（学生版）VIP

第10讲特殊的平行四边形【学习目标】1.理解矩形、菱形、正方形的概念.2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3.了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1.有三个角是直角的四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1.四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】（基础）类型一、矩形的性质和判定 1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．4、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．类型三、正方形的性质和判定 5、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．举一反三：【变式】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【典型例题】（提高）类型一、矩形的性质和判定 1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．(1)求证：；(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．2、如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=________，AF=_________．

举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．

（1）证明：四边形ADCE是菱形；

（2）证明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．

类型三、正方形的性质和判定 5、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．举一反三：【变式】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．【巩固练习】一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分2.矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（）A.3B.4C.12D.4或123．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8B.3，4C.12，16D.24，324.如图，菱形ABCD中对角线交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则,OE的长是（）A．2.5B．5C．2.4D．不确定5.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A.B.C.D.6.如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．8二.填空题7．如图四边形ABCD中，AB=，BC=12，∠ABC=45°，∠ADC=90°，AD=CD，则BD=．8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．12.如图，平面内4条直线是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线和上，该正方形的面积是平方单位．三.解答题13．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．【课后作业】【巩固练习】一.选择题1．下列命题中不正确的是()．A.直角三角形斜边中线等于斜边的一半B.矩形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.矩形是轴对称图形2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为()．A.3.6 B.7.2 C.1.8 D.14.43．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是()A.4B.8C.12D.164.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()．A. B.4 C.1 D.25.如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=FC=5，BE=DF=12，则EF的长是（）

A．7B．8C．D．6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．8.如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.9.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.10.如图，两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽度为3cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________cm2．11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则