第四单元比例·综合应用篇【十七大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第四单元比例·综合应用篇【十七大考点】专题解读本专题是第四单元比例·综合应用篇。本部分内容主要考察比例的综合应用，包括比例的一般应用、正比例和反比例的实际应用等，题型以应用题为主，考点较多，一共划分为十七个考点，部分考点难度较大，建议作为本章核心内容并根据学生实际掌握水平选择性讲解部分考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】物高与影长问题 4【考点二】比例与分数应用题 5【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题 6【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题 7【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题“基础型” 8【考点六】正比例的实际应用其四：相遇问题“提高型” 9【考点七】正比例的实际应用其五：相遇问题“拓展型” 10【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题 11【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题 12【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型” 13【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型” 14【考点十二】反比例的实际应用其四：行程问题“基础型” 15【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“提高型” 16【考点十四】比例与不变量问题其一：单一量不变 17【考点十五】比例与不变量问题其二：和不变 18【考点十六】比例与不变量问题其三：差不变 19【考点十七】复杂的比例问题 20典型例题【考点一】物高与影长问题。【方法点拨】在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一等量关系，建立比例方程解决问题。【典型例题】测量某小区一栋楼的影长20米，同时同地测得一棵3米高的树的影长是4米，这栋楼的高度是多少米？（用比例知识解决）【对应练习1】刘丽和李芸同时测量大树和一棵小树的影长，分别是9米和2米。她们又测得小树实际高0.8米，大树有多高？（用比例知识解决）【对应练习2】张敏和林涵选择一个阳光明媚的下午，去测量学校里的一棵大树的高度，张敏站在大树的旁边，林涵分别量出张敏和大树的影子长0.8米和5.6米，已知张敏身高是1.5米，这颗大树高多少米？（用比例知识解决）【对应练习3】活动课上，数学老师带领小朋友们测量校园里一棵古树的高度。他们先量出古树影子的长度是10.8米，同时在古树附近竖立一根3米长的标杆，量得它的影子长度是1.8米。请问这棵古树高几米？（用比例知识解决）【考点二】比例与分数应用题。【方法点拨】带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程求解。【典型例题】小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的EQ\F(1,3)，照这样计算，读完全书还要多少天?【对应练习1】一辆汽车从A地开往300千米外的B地，前2小时已经行了全程的EQ\F(2,5)，照这样计算，行完全程还需要几小时?【对应练习2】做一件工作，甲乙两人工作效率的比是4∶5，若甲单独做3天，能完成任务的，那么两人合作多少天能完成任务？【对应练习3】据统计，少浪费1500张A4纸，就可以保留1棵树。节约用纸，就是保护森林、保护环境。学校打印室新购进一批白纸，原计划每天用60张，可以用30天。在实际使用过程中，每天比计划节约了。实际用了多少天？（请用比例的知识解答）【考点三】正比例的实际应用其一：归一问题。【方法点拨】正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。【典型例题1】有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？【对应练习1】如果100克的海水可以晒出3克盐，那么5000吨海水可以晒出多少吨盐？（用比例解）【对应练习2】我国发射的科学实验人造地球卫星，在空中绕地球运行6周需要10.6小时，运行14周要用多少小时？（用比例解）【对应练习3】王老师用“集星卡”奖励学生，10个星星卡可以换4个皇冠卡。妙妙有35个星星卡可以换几个皇冠卡？（用比例解答）【典型例题2】一种汽车采用了节油技术，2个月节省汽油46千克，照这样计算，一年能节省汽油多少千克？（用比例解）【对应练习1】某化肥厂前5天生产了80吨化肥，照这样计算，再生产24天就完成任务，这批化肥有多少吨？（用比例知识解答）【对应练习2】佳运公司为了节约能源，使用新能源汽车代替燃油汽车。一辆新能源汽车每行驶300千米可节约燃油1.5升。照这样计算，这辆汽车每年大约要行驶28000千米，每年大约可节约燃油多少升？（用比例知识解答）【对应练习3】李师傅计划加工一批零件，前五天加工了120个，照这样计算，再用18天就可以做完，这批零件一共有多少个？（用比例解）【考点四】正比例的实际应用其二：普通行程问题。【方法点拨】正比例与普通行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。【典型例题】一辆汽车从甲地开往乙地，开出2.4小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要4.2小时。甲地到乙地有多少千米？（用比例解）【对应练习1】王叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行100千米。照这样的速度，从甲地到乙地一共用3小时，甲乙两地相距多远？（用比例解）【对应练习2】江门到广州的高速公路里程约90千米，江门到长沙约750千米。一辆汽车从江门出发开往长沙，当行驶到广州时用了1.5小时。按照这个速度，江门到长沙全程需要多少小时？（用比例解）【对应练习3】甲、乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了240千米。照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解）【考点五】正比例的实际应用其三：相遇问题“基础型”。【方法点拨】相遇问题通常同时出发，则相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。【典型例题】小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。（1）求相同时间内两车的路程比。（2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远?小蓝车呢?【对应练习1】汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A、B两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢?【对应练习2】A、B两地距离600千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，那么，（1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地（）千米。（2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的（），距A地（）千米。【对应练习3】A、B两地距离450干米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？【考点六】正比例的实际应用其四：相遇问题“提高型”。【方法点拨】同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。【典型例题】小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远?【对应练习1】汽车和公交车的速度比为5:3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？【对应练习2】甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？【对应练习3】诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为7∶4，诗诗到达乙地后直接掉头直到与健健相遇.如果甲乙两地相距44干米，则相遇地点距甲地多远?【考点七】正比例的实际应用其五：相遇问题“拓展型”。【方法点拨】中点相遇问题的关键是快车比慢车多行两个离中点的距离。【典型例题】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，3小时后在离A、B中点15干米处相遇，已知甲、乙两车的速度比是7∶6，求：（1）甲车比乙车多行多少千米？（2）A、B两地相距多少干米?（3）甲、乙两车的速度各是多少?【对应练习1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是7∶5，两车在离中点36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？【对应练习2】甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中点18千米处相遇两地相距多少千米?【对应练习3】客车和货车同时从甲，乙两地相向开出，客车每小时行全程的EQ\F(1,4)，货车每小时行60千米，相遇时客车和货车所行路程的比是3:2。甲、乙两地相距多少？【考点八】正比例的实际应用其六：追及问题。【方法点拨】及问题通常有时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。【典型例题】小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车多行驶20km，那么小黄车行驶了多远?小蓝车呢?【对应练习1】汽车与公交车的速度比为5∶3，它们在相距40千米的位置同时出发，同向而行，那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米?【对应练习2】甲、乙两人从A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为3∶2，当甲追上乙时，甲比乙多走了500米，此时甲共走了多少米?【对应练习3】甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6干米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少干米？【考点九】反比例的实际应用其一：面积问题。【方法点拨】反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。【典型例题】用面积为4平方分米的方砖铺一块地，需要2000块。如果改用边长为4分米的方砖铺这块地，那么需要多少块？（用比例解）【对应练习1】铺一间教室的地面，用边长6分米的方砖来铺需要272块，改用边长8分米的方砖来铺，需要多少块？（用比例知识解答）【对应练习2】一间长4.8米，宽3.6米的房间，用边长0.15米的正方形砖铺地面、需要768块，在长6米、宽4.8米的房间里，如果用同样的砖来铺，要几块？【对应练习3】一间房子要用方砖铺地，用面积是25平方分米的方砖需用96块，如果改用边长是4分米的方砖，需用多少块？【考点十】反比例的实际应用其二：归总问题“基础型”。【方法点拨】反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。【典型例题】学校组织同学们参观科技博物馆，如果每辆车坐35人，需要12辆车；如果每辆车坐28人，需要多少辆车？（用比例解）【对应练习1】某工作小组装订一批课外读物，计划每天装订80本，20天可装订完；实际每天装订200本，照这样计算，多少天可以完成任务？（用比例解）【对应练习2】车间加工一批零件，原计划每天加工45件，24天可以完成。实际提前4天就完成了任务，实际每天加工多少件？（用比例知识解）【对应练习3】某工程队铺设一段下水道，原计划每天铺设20米，15天完成。实际每天多铺5米，实际多少天完成了任务？（用比例解）【考点十一】反比例的实际应用其三：归总问题“提高型”。【方法点拨】反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。【典型例题】黔锋学校要定做一批凳子，如果加工厂每天加工200个，比规定时间提前3天完成任务，如果每天加工120个，比规定时间多用5天完成任务，规定完成任务的时间是多少天？【对应练习1】小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写20个，则比计划推迟2天完成，如果每天写30个，则比计划提前3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？【对应练习2】小红从家去学校，如果每分钟走50米，则会迟到5分钟，如果每分钟走60米，则会提前5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？【对应练习3】某修路队修一条公路，如果每天修400米，则比计划提前1天完成，如果每天修500米，则比计划提前2天完成，这条公路长多少米？【考点十二】反比例的实际应用其四：行程问题“基础型”。【方法点拨】反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。【典型例题】小东上学的速度与放学回家的速度比为2∶5，从学校回家花的时间比从家到学校花的时间要少15分钟，那么小东上学路上用了多长时间?【对应练习1】小东和小明赛跑，他们的速度之比为11∶8，结果小东比小明晚了6秒到达终点.请问：小东花了多长时间跑到终点?【对应练习2】琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为5∶6，琪琪从家到学校用了30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？【对应练习3】乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是2∶3，则比原计划早20分钟到达，那么原计划用多少分钟?【考点十三】反比例的实际应用其五：行程问题“提高型”。【方法点拨】反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。【典型例题】甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是8:9，已知甲每小时行16千米，行完全程比乙多用小时，两地相距多少千米？【对应练习1】甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是5:6，已知甲每小时行20千米，行完全程比乙多用20分钟，甲、乙两地相距多少千米？【对应练习2】从A地到B地，甲、乙两人所需时间的比是8:7，已知甲每分钟比乙少行6米，行完全程要45分钟，A地到B地有多少米？【对应练习3】铺一段长64千米的铁轨，前12天铺了38.4千米，中途因雨停工4天，要在预定时间内完成，每天应多铺多少米？【考点十四】比例与不变量问题其一：单一量不变。【方法点拨】比例与单量不变的问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。【典型例题】小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为2∶3，后来大胖又吃了24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋?【对应练习1】小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3:4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4:7，求小胖吃了多少个草莓？【对应练习2】希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为7∶5，又转来15名男生，这时男生与女生的人数比为3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生?【对应练习3】未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？【考点十五】比例与不变量问题其二：和不变。【方法点拨】和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和是定值）。【典型例题】大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2:3，后来大宝想要减肥，又夹了10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为3:7，求两人一共有多少个饺子？【对应练习1】大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆?【对应练习2】甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5干克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？【对应练习3】甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人?【考点十六】比例与不变量问题其