（专项训练）第二单元 含圆柱圆锥的体积的等积变形综合题型（挑战奥数）-2023-2024学年六年级数学下册《知识解读+题型专练》（答案解析）（苏教版）2

2023-2024学年六年级数学下册《知识解读+题型专练》（专项训练）第二单元含圆柱圆锥的体积的等积变形综合题型（挑战奥数）(答案解析)1．A【分析】由题可知：圆锥的体积＝圆柱体容器中水面上升部分的体积＝圆柱的底面积×水面上升部分的高度，据此解答。【详解】3.14×102×（10－8）＝314×2＝628（立方厘米）故答案为：A【点睛】此题考查了体积的等积变形，注意提取题目中的有效数学信息。2．B【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，下面圆锥的高是9厘米，把容器倒过来，水面在圆柱容器中的高是3厘米，再加上原来圆柱中水的高（15－9）厘米，即可求出这时水面距底部的高度。据此解答。【详解】9÷3＋（15－9）＝3＋6＝9（厘米）即这时水面高度是9厘米。故答案为：B【点睛】此题主要考查等底等高的圆柱和圆锥体积关系的灵活运用。3．B【分析】由于挤出的部分是圆柱体，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数代入公式求出这支牙膏的含量；如果把这支牙膏的出口直径改为6毫米，再根据圆柱的体积公式求出此时挤出的牙膏的体积，用牙膏的总体积除以挤出一次的体积即可求出可以用多少次，要注意先统一单位。【详解】2厘米＝20毫米3.14×（5÷2）2×20×72＝3.14×2.52×20×72＝3.14×6.25×20×72＝19.625×20×72＝28260（立方毫米）3.14×（6÷2）2×20＝3.14×9×20＝565.2（立方毫米）28260÷565.2＝50（次）可以用50次。故答案为：B【点睛】本题主要考查圆柱的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。4．C【分析】要求用这堆沙子能铺多少米，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，把所铺路的形状看作一个长方体，再运用长方体的体积公式进一步求出能铺多少米长，问题得解。【详解】沙堆的体积：×3.14×（18.84÷3.14÷2）2×3＝×3.14×32×3＝3.14×9×1＝28.26（立方米）4厘米＝0.04米能铺路面的长度：28.26÷（9×0.04）＝28.26÷0.36＝78.5（米）能铺78.5米长。故答案为：C。【点睛】此题主要考查学生运用圆锥的体积计算公式V＝r2h解决实际问题的能力。5．A【分析】已知容器中盛满了水，如果把一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆锥形铁块完全没入圆柱形容器的水中，则溢出的水的体积相当于圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×32×5×即可求出圆锥的体积，再把单位换算成毫升即可。【详解】3.14×32×5×＝3.14×9×5×＝47.1（立方厘米）47.1立方厘米＝47.1毫升容器中的水会溢出47.1毫升。故答案为：A【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式的灵活应用，注意溢出水的体积相当于物体的体积。6．C【分析】根据题意，圆柱的体积与圆锥的体积相等，先用公式：圆柱的体积＝πr2h，求出体积，然后再根据：圆锥的高＝V×3÷S，据此解答。【详解】42×3.14×6＝50.24×6＝301.44（cm3）301.44×3÷（42×3.14）＝904.32÷50.24＝18（cm）所以，圆锥的高为18cm；故答案为：C【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的关系，等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍。7．A【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用水的体积除以圆柱的底面积即可求出水在圆柱中的高度，最后用水的高度除以乙容器的高度，求得此时，水的高度占容器高度的分率，再结合选项解答即可。【详解】×π×（20÷2）2×40÷[π×（40÷2）2]＝×π×100×40÷[π×400]＝×π×100×40÷400π＝×（π×100×40÷400π）＝×10＝（cm）÷40＝＝即：此时乙容器中水的高度占容器的，目测几个选项中水面高度，只有选项A符合。则A项可以表示乙容器中水的位置。故答案为：A【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。8．B【分析】①观察图形可知，利用排水法求正方体木块的体积，即将正方体木块的体积转化为圆柱的体积，形状改变，但体积不变，符合等积变形这一思想方法；②将两个不规则图形合并长方形，进而根据长方形的面积的计算方法求得两个不规则图形的面积之和，形状改变，但面积不变，符合等积变形这一思想方法；③将圆锥沙堆转化为长方体沙堆，形状虽改变，但体积不变，符合等积变形这一思想方法；④求阴影部分的面积，用圆的面积减去中间正方形的面积即可，阴影部分的形状没有发生变化，不符合等积变形这一思想方法。【详解】由分析可知：运用了“等积变形”这一思想方法的有①②③。故答案为：B9．24248【分析】正方体有12条棱长，棱长和＝棱长×12；正方体表面积＝棱长×棱长×6；锻造成长方体时，体积不变，求出正方体的体积即可。【详解】2×12＝24（cm）棱长和24cm；2×2×6＝4×6＝24（cm2）涂漆部分面积24cm2；2×2×2＝4×2＝8（cm3）长方体体积8cm3。【点睛】本题考查正方体的体积和表面积，“锻造”可以理解为前后两物体体积相同。10．1530【分析】不管捏成什么样的圆锥，这块橡皮泥的体积是不变的。据此，根据圆柱的体积公式，先求出这块橡皮泥的体积。再将其乘3除以底面积10cm2，求出如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是多少；将橡皮泥体积乘3除以高5cm，求出如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少。【详解】橡皮泥体积：10×5＝50（cm3）圆锥的高：50×3÷10＝15（cm）圆锥的底面积：50×3÷5＝30（cm2）所以，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是15cm；如果把它捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是30cm2。【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3。11．2【分析】由题意可知：把圆锥形钢坯锻造成圆柱形零件体积不变，首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出钢坯的体积，然后根据圆柱的底面积S＝πr2，求出圆柱的底面积，最后用钢坯的体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高。【详解】6.28×12×＝75.36×＝25.12（立方厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）25.12÷12.56＝2（厘米）圆柱的高是2厘米。12．【分析】蓝色溶液的体积没有发生变化，图2和图3的阴影部分都是液体的体积。由图2可以根据圆柱的体积＝算出蓝色溶液的体积。再根据图三求出空白部分的体积，空白的部分是一个和圆柱相同的底面，但是高是4cm的圆柱。整个玻璃器皿的体积＝蓝色溶液的体积＋空白部分的体积。【详解】蓝色溶液的体积：＝＝＝（cm3）空白部分的体积：＝＝＝（cm3）玻璃器皿的体积：（cm3）则玻璃密封器皿总容量为cm3。（结果保留）13．650【分析】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。【详解】450毫升＝450立方厘米600毫升＝600立方厘米600－450＝150（立方厘米）150×＝50（立方厘米）50立方厘米＝50毫升600＋50＝650（毫升）【点睛】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。14．8【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥和圆柱的底面积相等，体积相等时，圆柱的高是圆锥高的，由此可以求出B容器下面圆锥容器盛满水倒入等底的圆柱容器中水面高，也就是把A容器盛满水倒入B容器水面距离B容器口的距离，据此解答。【详解】24×＝8（厘米）【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间关系的灵活运用。15．28.2612【分析】根据题意，放入的两个圆柱形石柱的高度是4dm，而水池的高是2dm，所以两个石柱浸没在水池中的高度只有2dm，则水池溢出的水的体积是两个高为2dm的石柱的体积之和；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出一个高为2dm的石柱的体积，再乘2即可。根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，其中V是溢出的水的体积，S是圆锥的底面积，代入数据计算求出圆锥中水的高度。【详解】水池溢出的水的体积：3.14×（3÷2）2×2×2＝3.14×2.25×2×2＝3.14×9＝28.26（dm3）圆锥的底面积：3.14×（3÷2）2＝3.14×2.25＝7.065（dm2）水的高度：28.26×3÷7.065＝84.78÷7.065＝12（dm）【点睛】灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。16．0.6【分析】容器中水的高度为5厘米，铁块的高度为8厘米，则铁块没有完全浸入水中，把铁块放入水中水的体积不变，放入铁块后容器中水的底面积＝容器的底面积－铁块的底面积，根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出放入铁块后水和铁块对应的总高度，最后减去原来水的高度即可。【详解】28×5÷（28－3×12）－5＝28×5÷（28－3）－5＝28×5÷25－5＝140÷25－5＝5.6－5＝0.6（厘米）所以，水面将上升0.6厘米。【点睛】理解容器中水的体积不变以及放入铁块后容器中水的底面积的变化情况是解答题目的关键。17．×【分析】圆柱的体积＝底面积×高，将圆柱形橡皮泥捏成与它底面相同的圆锥，体积是不变的，所以圆锥的体积等于圆柱的体积；据此解答。【详解】12×6＝72（cm3）所以圆锥的体积为72cm3。原题说法错误。故答案为：×【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的体积，关键是要理解圆柱形橡皮泥捏成与它底面相同的圆锥，体积是不变的。18．×【分析】把一个棱长为6cm的正方体放入一个高为5cm的装满水的长方体容器中，正方体不能被完全淹没在水中。据此回答问题。【详解】长方体体积：6×6×6＝216（立方厘米）216立方厘米＝216毫升正方体不能被完全淹没在水中，所以排开的水的体积小于正方体的体积。即溢出水的体积小于216毫升水故答案为：×。【点睛】正确理解题意，关键是理解溢出的水的体积不等于铁块的体积。19．×【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积＝圆锥的体积，即圆柱底面积×圆柱的高＝圆锥的底面积×圆锥的高×；圆柱的高＝圆锥的高，由此可知，圆柱的底面积×3＝圆锥的底面积，据此求出圆锥的底面积，再进行比较，即可解答。【详解】9.42×3＝28.26（平方厘米）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是28.26平方厘米。原题干说法错误。故答案为：×【点睛】熟练掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。20．√【分析】物体所占空间的大小，叫做物体的体积，据此分析解答。【详解】立体图形的形状改变了，但是物体所占空间的大小并没有改变，所以把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，它的体积不变。原题干说法正确。故答案为：√【点睛】解答此题的关键要明确：把长方体转化为正方体，体积不变，形状改变了，表面积也随之发生了变化。21．（1）18.84立方米；（2）1.5米【分析】（1）根据圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径，再利用“圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高”求出玉米的体积；（2）由题意可知，铁皮仓的容积刚好等于玉米的体积，根据“圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积”求出铁皮仓的高度。【详解】（1）半径：18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（米）×3.14×32×2＝（×32）×（3.14×2）＝3×6.28＝18.84（立方米）答：这堆玉米的体积是18.84立方米。（2）圆柱的底面积：3.14×22＝12.56（平方米）铁皮仓的高：18.84÷12.56＝1.5（米）答：铁皮仓的高是1.5米。【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。22．6cm【分析】根据V锥＝πr2h，求出圆锥形容器里水的体积，把这些水倒入圆柱形容器中，那么水的体积不变；根据S柱＝πr2求出圆柱的底面积，再根据圆柱的高h＝V÷S柱，求出圆柱形容器中水的高度，最后用圆柱形容器的高度减去水的高度，即是容器中水面离容器口的距离。【详解】×3.14×（8÷2）2×15＝×3.14×16×15＝3.14×80＝251.2（cm3）3.14×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（cm2）251.2÷12.56＝20（cm）26－20＝6（cm）答：此时容器中水面离容器口还有6cm。【点睛】抓住“水的体积不变”以及灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。23．（1）6.28立方米；（2）6米【分析】（1）小麦堆是圆锥体，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据求出小麦的体积；（2）把小麦变成圆柱形，体积不变，利用圆锥的体积乘3除以圆柱的底面积即可。【详解】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5＝×3.14×4×1.5＝3.14×2＝6.28（立方米）答：这堆小麦的体积是6.28立方米。（2）2÷2＝1（米）6.28×3÷（3.14×12）＝18.84÷3.14＝6（米）答：粮囤的高是6米。【点睛】本题考查了圆锥体积公式和圆柱体积公式的应用。24．2分米【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。【详解】48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。【点睛】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25．（1）长是62.8厘米；高是40厘米（2）水桶和鱼缸的容积都是50.24立方分米【分析】（1）根据圆柱的体积公式V＝Sh，长方体的体积公式V＝Sh，如果圆柱和长方体的体积相等，底面积也相等，那么它们的高一定相等；根据圆的面积公式S＝πr²，长方形的面积公式S＝ab，即a＝S÷b，把数据代入公式解答。（2）由题，水桶的容积等于鱼缸的容积，根据圆柱的容积公式V＝Sh，代入数据解答即可。【详解】由分析可知：（1）3.14×20²÷20＝3.14×400÷20＝1256÷20＝62.8（厘米）答：长方体鱼缸内部的长是62.8厘米，高是40厘米。（2）3.14×20²×40＝3.14×400×40＝1256×40＝50240（立方厘米）50240立方厘