第09讲 单项式乘单项式（解析版）

第09讲单项式乘单项式单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.注：单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算结果；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.考点剖析（计算单项式乘单项式）例1：计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法．熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．根据同底数幂的乘法计算求解即可．【详解】解：，故选：D．变式1-1：计算：．【答案】【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中只含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”计算即可．【详解】解：．故答案为：．变式1-2：计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查整式的运算：（1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到结果；（2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．【详解】（1）；（2）．例2：下列结果计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、幂的乘方、同底数幂的除法，根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；D、，故原选项计算正确，符合题意；故选：D．变式2-1：如果表示，表示，则=【答案】【分析】根据题目所给的信息得表示，表示，再进行单项式乘以单向式的运算即可．此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息写出相应的式子．【详解】解：根据题意，得表示，表示，则．故答案为：．变式2-2：计算：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)0(3)(4)13x6【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可；（2）首先计算积的乘方，同底数幂的乘法运算，然后合并同类项；（3）首先计算单项式乘以单项式和积的乘方，然后合并同类项；（4）首先计算积的乘方，单项式乘以单项式，然后合并同类项．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．（利用单项式乘法求字母或代数式的值）例3：已知单项式与的积为，那么、的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案．【详解】解：∵，单项式与的积为，∴，，故选：B【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式3-1：如果单项式与单项式的乘积为，则．【答案】-5【分析】根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可.【详解】单项式与单项式的乘积为，即两边约分后可得根据底数不变，指数相加原则可得可求得.故答案为-5.【点睛】此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.变式3-2：先化简，后求值：，其中，【答案】，【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．【详解】解：当，时，原式．例4：若＝－10，则m－n等于（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．【详解】∴∴解得∴m－n=1-2=-1，故选：B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．变式4-1：若，则的值为．【答案】4【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出．【详解】解：∵，∴，∴①，②．∴，得．故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．变式4-2：某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？

【答案】小明的设计方案符合要求，理由见解析．【分析】直接利用长方形面积公式以及半圆面积求法进而得出阴影部分面积，再比较即可．【详解】解：小明的设计方案符合要求．理由如下：由题意可得：阴影部分的面积为：．∵，而，故小明的设计方案符合要求．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．过关检测选择题（共6题，每题4分）1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．【详解】解：，故选B．2．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，多项式的乘方以及积的乘方等整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握其运算法则．【详解】解：A、，故A错误，B、只有当时，才有，故B错误，C、，故C错误，D、，故D正确，故选：D．3．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据单项式乘单项式的法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法公式进行计算，不同字母连同指数作为积的因式，进行计算即可．【详解】解：；故选D．4．一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，根据运算法则计算，再写成科学记数法的形式即可．【详解】解：．故选A．5．一个长方形的长增加，宽减少，这个长方形的面积（

）A．增加 B．减少 C．增加 D．减少【答案】D【分析】设长方形长为x，宽为y，则改变之前的面积：，改变之后的面积：，即可解答．【详解】解：设长方形长为x，宽为y，改变之前的面积：，改变之后的面积：，，即这个长方形的面积减少，故选：D．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．6．下列各图均由若干个大小相同的小正方形组成，且最大的正方形边长都为a，下面三幅图中阴影部分的面积均相同，请你写出这个面积（用含有a的式子表示）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】题目已告诉三个图形的阴影面积相同故选最右边图形用a表示其阴影面积．右边图形的阴影是梯形，可先用a表示出其上下底及高，再运用梯形面积公式表示出其面积，最后化简即得答．【详解】由于题目已知三个图形的阴影面积相同，故只需把最右边图形的面积用a表示即可．如下图知梯形的上底长为，高为，下底长为a所以阴影部分的面积为==．故选：B．【点睛】本题考查用单项式的乘法解决面积类问题．关键是要正确利用字母根据题意表示相关的量再套用面积公式．本题中最大的正方形边长这a，故最小的正方形边长为，则其它长度量容易表示．填空题（共8题，每题4分）7．计算：．【答案】/【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，利用同底数幂乘法法则，即可计算求值．【详解】解：，故答案为：．8．卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为米/秒，则卫星运行秒所走的路程约为米．（结果用科学记数法表示）【答案】【分析】先根据单项式与单项式相乘，把系数分别相乘，相同底数的幂分别相加，计算出结果，然后用科学记数法表示即可．【详解】解：（米）．故答案为．【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，特别注意科学记数法的表示方法．9．计算：．【答案】【分析】本题主要考查单项式乘单项式，先把第一个因数进行整理，把看作一个整体，再利用单项式乘单项式的法则运算即可．【详解】解：．故答案为：．10．福厦高铁车速为千米/时，高铁行驶3b小时的路程为千米．【答案】/【分析】本题考查了单项式与单项式乘法的应用，根据路程=速度×时间求解即可．【详解】解：由题意得，千米．故答案为：．11．如图，是小华家的住房结构平面图（单位：），她家打算把客厅铺上地砖，若铺地砖的价格为100元，那么购买地砖需要花费元？（用代数式表示）【答案】【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，先求出客厅面积，再用单价乘以面积即可得出购买地砖所需费用．【详解】解：客厅铺上地砖的面积为（平方米）；买地砖所需费用为：（元；故答案为：．12．已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的面积是．（用含a的代数式表示）

【答案】【分析】根据题意和题目中的图形，可以得到图2中小长方形的长和宽，从而可以得到拼成的阴影部分正方形的边长，即可得阴影部分小正方形的面积．【详解】解：由图可得，图2中每个小长方形的长为，宽为，则阴影部分小正方形的边长是：，阴影部分小正方形的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，整式的法则与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．13．甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行千米【答案】【分析】本题考查列代数式解决应用题，涉及船在顺水与逆水中的速度、距离速度时间、整式运算等知识，根据题意，将甲船顺水和乙船逆水速度用代数式表示出来，再由距离速度时间代值求出航行距离，作差即可得到答案．【详解】解：甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，甲船的速度为，乙船的速度为，后甲船比乙船多航行距离为（千米），故答案为：．14．观察下列等式：，，…，若，则．（用含m的代数式表示）【答案】【分析】由题意可得，逆用幂的乘方变形，再将代入即可求解．【详解】解：∵，，…，∴，又∵，，……∴．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）15．计算（1）

（2）【答案】（1）；（2）2【分析】（1）先分别计算积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项即可；（2）根据有理数的乘方，负整数指数幂的运算，零指数幂的运算，分别计算即可．【详解】（1）解：原式，（2）解：原式．【点睛】本题考查整式的乘法和实数的混合运算，以及零指数幂和负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题关键．16．已知单项式与的积与是同类项，求，的值．【答案】，【详解】解：．因为与是同类项，所以，，解得，17．计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1.152；(2)；(3).【详解】.解：（1）原式.（2）原式.（3）原式.18．计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)0；(5)；(6)；(7)；(8)．【分析】（1）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（2）根据积的乘方，同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；（3）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（4）根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（5）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（7）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（8）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．（4）解：原式．（5）解：原式．（6）解：原式．（7）解：原式．（8）解：原式．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．19．如图，有一个面积为1的正方形纸板，第一次剪掉这块正方形纸板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此类推．请填空：

(1)第2次剪掉的面积是___________；第2次剪掉后剩下的面积是___________；(2)第3次剪掉的面积是___________；第3次剪掉后剩下的面积是___________；(3)第4次剪掉的面积是___________；第4次剪掉后剩下的面积是___________；(4)试一试请计算：___________；(5)类比思考并计算___________．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)(5)【分析】（1）由题意知，第1次剪掉的面积为，第1次剪掉后剩下的面积是，进而可知第2次剪掉的面积是，第2次剪掉后剩下的面积是；（2）由