2023-2024学年北京顺义一中高一（下）期中数学试卷和答案

高中PAGE1试题2023-2024学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点的坐标是(−1，3)，则A．−1+3i B．−1−3i C．2．（4分）在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（1，0），则向量AB→A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）3．（4分）下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x4．（4分）在△ABC中，a＝2，c＝3，∠C=π6，那么sinA．36 B．33 C．135．（4分）在△ABC中，“cosA＜cosB”是“A＞B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，则A．sin(2x+π6) C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（1，﹣2），Q（3，4），则cos∠POQ＝（）A．53 B．55 C．−58．（4分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，则（）A．f（x）的最小值为0 B．f（x）的最小正周期为π2C．将f（x）向右平移π8个单位所得图象关于原点中心对称D．函数f（x）在区间[0，π9．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若3bsinA=acosB，6S=A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形10．（4分）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且|AB|=3，则PAA．32 B．3 C．1 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知向量a→=(−2，3)，b→=(x，−6)．若a→∥b→，则x＝12．（5分）复数1﹣i的模等于；虚部等于．13．（5分）已知向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置，如图所示，则（a→14．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为，圆柱的体积为15．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A′B′C′D′容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A′D′始终与水面EFGH平行；④当E∈AA′时，AE+BF是定值．其中所有正确的命题的序号是．三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（14分）已知向量a→=（﹣1，3），（Ⅰ）求a→•b（Ⅱ）求a→与b（Ⅲ）求|2a→17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA与平面ABCD垂直，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若AP＝1，AB＝2，AD＝3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x−π（Ⅰ）求f(π（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，m]上的最大值为1，求m的取值范围．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为m，M、N分别为PC、AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC∥m．20．（14分）①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b−ac−cosAcosC=0；③已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c＝3，求△ABC面积的最大值．21．（15分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）若csinC﹣asinA＝（c﹣b）sinB，①求A；②若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求PA→（2）若cos2B+cos2C﹣cos2A＝1，设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．

2023-2024学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BBCCCCDCAA一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点的坐标是(−1，3)，则A．−1+3i B．−1−3i C．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：复数z的共轭复数z对应的点的坐标是(−1，3则z=−1+故z＝﹣1−3i故选：B．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（1，0），则向量AB→A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）【分析】根据点A，B的坐标即可求出向量AB→【解答】解：∵A（﹣2，1），B（1，0），∴AB→故选：B．【点评】本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．（4分）下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x【分析】利用三角函数的奇偶性与周期性的性质逐项判断即可．【解答】解：y=sin(x+π4)的周期T＝2π≠πy＝f（x）＝tanx满足f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），即y＝tanx为奇函数，故B错误；y＝f（x）＝cos2x满足f（﹣x）＝f（x），即y＝cos2x为偶函数，且其周期T=2π2=πy＝f（x）＝sin2x满足f（﹣x）＝﹣f（x），即y＝sin2x为奇函数，故D错误．故选：C．【点评】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，a＝2，c＝3，∠C=π6，那么sinA．36 B．33 C．13【分析】根据已知条件，结合正弦定理的公式，即可求解．【解答】解：∵a＝2，c＝3，∠C=π∴由正弦定理可得，sinA=asinC故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5．（4分）在△ABC中，“cosA＜cosB”是“A＞B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用余弦函数的单调性，再结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵y＝cosx在（0，π）内单调递减，∴cosA＜cosB⇔A＞B，∴cosA＜cosB是A＞B的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，属于基础题．6．（4分）将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，则A．sin(2x+π6) C．cos2x D．﹣cos2x【分析】根据平移变换法则求解g（x）解析式．【解答】解：函数f(x)=sin(2x−π6)可得y＝sin[2（x+π3）−π6]＝sin（2x故选：C．【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换法则，属于基础题．7．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（1，﹣2），Q（3，4），则cos∠POQ＝（）A．53 B．55 C．−5【分析】利用向量坐标的数量积可求得答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（1，﹣2），Q（3，4），∴OP→=（1，﹣2），∴cos∠POQ=OP故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．8．（4分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，则（）A．f（x）的最小值为0 B．f（x）的最小正周期为π2C．将f（x）向右平移π8个单位所得图象关于原点中心对称D．函数f（x）在区间[0，π【分析】化简得出：f(x)=2sin(2x+π4)，然后可求出f（x）的最小值，从而判断A的正误；求出f（x）的周期，从而判断B【解答】解：f(x)=2f（x）的最小值为−2，Af（x）的最小正周期为T=2π2=π将f（x）向右平移π8得到g(x)=2sin[2(x−x∈[0，π4]时，2x+π4∈[π4，故选：C．【点评】本题考查了两角和的正弦公式，三角函数的最值和周期计算公式，正弦函数的单调性，平移变换，是基础题．9．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若3bsinA=acosB，6S=A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【分析】根据已知条件，结合正弦定理，推出B=π【解答】解：3bsinA=acosB由正弦定理可知，3sinBsinA=sinAcosBA，B∈（0，π），则sinA＞0，故tanB=33，即B6S=3则6⋅12bcsinA=3故A=π所以△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．10．（4分）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且|AB|=3，则PAA．32 B．3 C．1 【分析】设AB的中点为E，得|OE|=12，∠AOB＝120°，将PA→⋅PB【解答】解：设AB的中点为E，因为|OA||OB|＝1，|AB|=3所以|OE|=12，∠则PA=OA=−1=1因为﹣1≤cos∠POE≤1，所以−1则PA→⋅PB故选：A．【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知向量a→=(−2，3)，b→=(x，−6)．若a→∥b→，则x＝【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：a→=(−2，3)，b→则3x＝（﹣2）×（﹣6），解得x＝4，a→则﹣2x+3×（﹣6）＝0，解得x＝﹣9．故答案为：4；﹣9．【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．12．（5分）复数1﹣i的模等于2；虚部等于﹣1．【分析】根据复数的定义以及模长公式求解．【解答】解：复数1﹣i的模等于1+1=故答案为：2；﹣1．【点评】本题考查复数的模长，属于基础题．13．（5分）已知向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置，如图所示，则（a→【分析】结合已知条件求出斜率的数量积的向量，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：由题意向量a→=（2，﹣1），b→a→则（a→+b故答案为：6．【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题．14．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为2，圆柱的体积为36π【分析】利用球的体积公式、圆柱的体积公式，直接求解．【解答】解：因为球的体积为32π3，则球半径r满足43π又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r＝4，所以圆柱的体积为V＝π×32×4＝36π．故答案为：2；36π．【点评】本题考查了球、圆柱的体积，属于基础题．15．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A′B′C′D′容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A′D′始终与水面EFGH平行；④当E∈AA′时，AE+BF是定值．其中所有正确的命题的序号是①③④．【分析】①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误；③棱A′D′始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA′时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA′B′B平行平面CC′D′D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A′D′始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A′D′∥EH，所以结论正确；④当E∈AA′时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故答案为：①③④【点评】本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（14分）已知向量a→=（﹣1，3），（Ⅰ）求a→•b（Ⅱ）求a→与b（Ⅲ）求|2a→【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积公式求解a→•b（Ⅱ）利用向量的数列数量积公式；求解向量a→与b（Ⅲ）通过向量的模的议事规则求解|2a→【解答】解：（Ⅰ）向量a→=（﹣1，3），所以a→•b（Ⅱ）cos＜a→，b→＞=a→⋅（Ⅲ）|2a→−b【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的夹角以及向量的模的求解，是基础题．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA与平面ABCD垂直，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若AP＝1，AB＝2，AD＝3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC∩BD＝F，连接EF，则易得PB∥EF，再根据线面平行的判定定理，即可证明；（Ⅱ）根据四棱锥的体积公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，连接AC∩BD＝F，连接EF，则F为BD的中点，又E为PD的中点，∴PB∥EF，又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA与平面ABCD垂直，又AP＝1，AB＝2，AD＝3，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为13【点评】本题考查线面平行的证明，四棱锥的体积的求解，属基础题．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x−π（Ⅰ）求f(π（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，m]上的最大值为1，求m的取值范围．【分析】（I）由题可得f(x)=sin(2x+π【解答】解：（I）f(x)=sin(2x−π∴f（π6（Ⅱ）若f(x)=sin(2x+π由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2所以f（x）的单调增区间是[kπ−π（Ⅲ）∵x∈[0，m]，∴2x+π6∈[π6∴2m+π∴m≥π故实数m的取值范围为{m|m≥π【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为m，M、N分别为PC、AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC∥m．【分析】（Ⅰ）取PD的中点E，连接AE，EM，由题意可证得四边形ANME为平行四边形，再由线面平行的判断定理可证得结论；（Ⅱ）由题意可证得BC∥平面PAD，再由线面平行的性质定理可证得结论．【解答】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连接AE，EM，因为M，N分别是PC，AB的中点，所以EM∥CD，且EM=12所以EM∥AN且EM＝AN，所以四边形ANME为平行四边形，所以MN∥AE，而MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD；（Ⅱ）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，因为平面PAD∩平面PBC＝m，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．【点评】本题考查直线与平行平行的性质的应用及线与平面平行的判断定理的应用，属于基础题．20．（14分）①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b−ac−cosAcosC=0；③已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c＝3，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）先选择条件，再根据三角形的正、余弦定理，求出角C；（Ⅱ）根据题（Ⅰ）再结合余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若选择①：由①及正弦定理可得（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得cosC=a又C∈（0，π），∴C=π若选择②：由②及正弦定理得2sinB−sinAsinC所以2sinBcosC﹣sinAcosC﹣cosAsinC＝0，即2sinBcosC﹣（sinAcosC+cosAsinC）＝0，即sinB（2cosC﹣1）＝0，由sinB≠0，∴cosC=1又C∈（0，π），故C=π若选择③：由③可得csinB=3bcosC，∴∵sinB≠0，∴sinC=3cosC，∴tanC=又C∈(0，π)，C=π（Ⅱ）S△ABC根据余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即9＝a2+b2﹣ab，9+ab＝a2+b2≥2ab，则ab≤9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以S△ABC=34ab≤【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．21．（15分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）若csinC﹣asinA＝（c﹣b）sinB，①求A；②若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求PA→（2）若cos2B+cos2C﹣cos2A＝1，设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余