辽宁省抚顺市2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1辽宁省抚顺市2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据可得，，即，解得，即，故故选：B2.已知向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为向量与的夹角为，，，则，解得.故选：C.3.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上，所以，另一个焦点坐标为，因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：，，，所以，解得，又因为，即，解得，所以双曲线渐近线方程为.故选：A4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，即，整理可得，即，故，则.故选：A.5.函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，由可得，令，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D.6.如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（）A. B.C. D.与的大小关系不确定【答案】B【解析】设截面与圆柱底面的距离为，该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为，由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为，所以，圆环的面积为，故，故选：B.7.如图，在四边形中，，，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，则，设，则，，在中，，，故，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故选：C.8.某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论：若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，此时有种不同的安排方式；若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，此时有种不同的安排方式；若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人，此时有种不同的安排方式.由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.为纯虚数 B.的虚部为C. D.和是方程的两个根【答案】BC【解析】因为，所以，所以，，所以，所以A错误，B正确；，所以C正确；因为，，所以，，所以D错误.故选：BC10.已知点P是抛物线上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4B.过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是C.设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关D.若直线l过点F，且，则直线l的斜率为【答案】ABD【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，半径，对于A，，过点P作垂直于直线，垂直为Q，由抛物线定义可知：，三点共线时等号成立，所以的最小值为4，故选项A正确；对于B，设，则，因为是圆的两条切线，切点为A，B，所以，所以，故选项B正确；对于C，设，则，两式作差，得，又线段的中点坐标为，所以，因此直线l的斜率为，故选项C错误；对于D，设，由得，，又，解得，所以或，所以直线l的斜率为，故选项D正确.故选：ABD.11.已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（）A.的图象关于点对称 B.C. D.【答案】ACD【解析】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称，将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象，则图象关于点中心对称，即①，故选项A正确；选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误；①②两式相加可得，，则，，则，故选项C正确；对①②两式分别求导得，③，④，③④两式联立可得，⑤，再将替换为，得⑥，⑤⑥两式联立可得，，则的周期为4，故，在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图是年至年辽宁省普通高中应届毕业生人数的统计图，则这些年中应届毕业生人数的中位数是______万人．【答案】【解析】将数据由小到大依次排列为：、、、、、、、、，因此，这组数据的中位数为.故答案为：.13.已知函数定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为______．【答案】【解析】因为，由可得，可得，即，则，即方程在时有两个解，因为，当时，，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.14.已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______．【答案】【解析】构造函数，其中，则，故函数在上为减函数，由可得，即，因为，则，所以，，解得.对于、，当时都有，不妨设，则，所以，函数在上为增函数，则对任意的，，则，可得恒成立，因此，所求不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求函数的单调区间和极值．解：（1）由已知可得，因为直线的斜率为，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函数的定义域为．由（1）知，，令，解得或，由得函数的单调递增区间为和；由得函数的单调递减区间为所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.16.已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．解：（1）设数列的公差为，由，则，即，解得，所以．（2）由可知，当为偶数时，．当为奇数时，．综上所述，．17.在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．（1）求证：平面；（2）若平面，求二面角的余弦值．（1）证明：连接，取的中点，连接、，结合已知可得且，所以四边形为平行四边形，所以为中点，因为为的中点，为中点，则，且，因为为的中点，则，且，则，且，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为，，为的中点，则，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，则，故，因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的一个法向量为，，，由，令，则，，可得平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，，由，令，则，，可得平面的一个法向量为，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.18.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方．（1）当时，求的值：（2）将平面沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置．（i）若，求k的值；（ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设椭圆的半焦距为c，由已知可得且，再由，可得，，所以椭圆的标准方程为，由于直线过点且斜率为k，所以直线的方程为，由消去y并整理得，设，，则，，当时，，所以又因为，所以．（2）（i）以原x轴正半轴，y轴正半轴，y轴负半轴分别为折叠后的x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则，，若，则，所以，所以，又因为，所以．（ii）假设存在满足条件的k，因为，所以，即①所以，所以②由①，②可得，所以，所以，解得，又因为，所以存在k使得的周长为，此时．19.“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为．（1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望；（2）若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？（3）该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？解：（1）由题意可知，，所以，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为.（2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则．且，由得，其中，，即，解得．所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台．（3）当分布式计算系统中计算机数量为时，若要完成一次“优质计算”，同时正