上海市普陀区2025届高三下学期质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1上海市普陀区2025届高三下学期质量调研数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.不等式的解集是____________.【答案】【解析】因为,所以原不等式的解集为：.故答案为：2.已知复数，其中i为虚数单位，则____________.【答案】【解析】因为，.故答案为：3.已知事件与事件相互独立，若，则____________.【答案】【解析】由独立事件性质，，,故答案为：4.设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________.【答案】##【解析】设等差数列的首项为，公差为，.所以，，所以：.故答案为：5.设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________.【答案】9【解析】拋物线的准线为，由点到轴的距离为3，得点的纵坐标，由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而，所以.故答案为：96.设，若的展开式中项的系数为10，则____________.【答案】2【解析】项为，由.故答案为：27.在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则____________.【答案】【解析】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合），共有种；而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种，由条件概率公式.故答案为：8.若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________.【答案】【解析】设底面半径为，母线长为l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圆周长，扇形中心角，故答案为：9.设，函数的表达式为，则对任意的实数，皆有成立的一个充分条件是____________.【答案】【解析】因为函数，要使，则周期，即，因为，所以一个充分条件是，故答案：10.设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________.【答案】28【解析】当时，若为空集，符合题意；只有1种，若为一元集：共有8种，若为二元集：如，共有15种，若为三元集：如共有4种，所以总共有：种；故答案为：28.11.在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________.【答案】【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有.又，所以.设，则.因为，代入可得，整理可得，即在以点为球心，为半径的球上.又的面积为，平面到平面的距离为4，所以到平面的最大距离为.体积最大值为.故答案为：.12.设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是____________.【答案】【解析】①当时，所以，，，解得，不符合题意，所以在上无解.②当时，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在单调递增，所以，即.此时在上有唯一解；③当时，，因为函数恰有三个零点，所以在上有两解，即在上有两解，即在上有两解.令所以，即解得，综上①②③，所以的取值范围是.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在大题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.13.某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】C【解析】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10.故选：C14.设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，异号，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故选：.15.设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：.因为点到直线：的距离为：，所以直线与圆相切.又过点，且，直线与双曲线右支在第一象限内交于点，所以直线的斜率为：.又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：.又.即.故选：D16.设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（）A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假【答案】A【解析】对数列：①②①－②得：，所以是以3为公比的等比数列，令，对①：若，.因为，且为整数，，其余.以为例，.若，则，这与矛盾.所以不能恒成立.故①为真.对②：以为例：设，令，则方程的解有，，，，5个满足.即时，数列的“数列”有5个.当时，，令，则方程满足的解的个数更多.即时，数列的“数列”多于5个.……依次类推：当数列至少5个，故②为真.故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在三棱柱中，，且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.（1）证明：连结，连结CO在中，，故是等边三角形，所以为菱形，所以，且是的中点.因为，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量，则有，即.令，可得平面的一个法向量为，所以，直线与平面所成的角的正弦值为.18.设，函数的表达式为.（1）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积.（2）对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间.解：（1）因为，所以，所以，解得或，所以或，若，则，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；（2）由，得，所以，，令，因为，所以，又函数在无最小值，所以，解得，所以，则，所以，令，所以，当时，，因为，所以在单调递减，在单调递增.19.某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.（1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率；（2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望．解：（1）因为三层题量之比为，所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为，设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为，由题意得，而二项分布概率公式为，则至少2人的选题来自层的概率为，故.（2）因为三层题量之比为，所以在层最多抽到7道，且可取，则，，其分布列为所以期望.20.设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标；（3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明.（1）解：，直线l过所以右焦点，即，所以，椭圆方程为.（2）解：当，直线，，解得，，设，到直线距离，由面积，得或，即或.（3）证明：设，因为向量在直线上的投影为向量，故，故直线的斜率为，故直线的方程为，故，而，故，联立，，，故，设，设，由双勾函数的性质可得在为增函数，故，故，.21已知，对于函数，，设集合，，记.（1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由；（2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程；（3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取