教学案例 案例分析与教师发展

案例分析与教师发展（教学案例）

主题：建议通过案例分析来促进教师的发展.教师发展

的途径很多，每个教师的发展都会有自己的个性化轨迹，切

入点也各有不同：有的在职业激情中学习，有的在教学实践

中研究，有的在案例分析中前进，有的在反思提炼中突破，

有的在互动交流中提升，有的在论文写作中发展.我根据自

己的体会建议把案例分析作为促进教师发展的一个突破口：

'积累学科教学知识（PCK）

案例分析f提高教学与研究能力f促进教师发展.

生成实践性智慧

期望：

•领会三个名词：案例，案例教学，案例研究；

・参与一个行动：案例分析（校本教研的具体形式）；

・带走一个信念：我要进行、也能进行案例研究.

我将采用讲故事（故事主要指数学案例、讲故事也就是

数学聊天，方言亦叫摆龙门阵、侃大山、神吹、唠嗑（东北）,

片闲传（陕西），倾计（广东）和交流讨论的方式来进行，

即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义（教

育叙事）.

1案例分析的初步认识

本来，可以先给出界定，然后举例说明，但我不这样做,

我将用分析案例的方式来说明案例分析.

1-1通过分析案例来说明案例分析

先做一个数学练习（自行车问题），再议一个教学问题

（三角形内角和的教学），可以认为是学习“案例分析”相

关概念和做法的情境创设.

1-1-1案例1:自行车问题（经历解题案例）

第一、案例的呈现.

例1-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶

5000册后报废，若安装在后轮则行驶3000m后报废.如果

行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮

胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少而？

（请用代数或算术等多种方法求解.求解后想想如何让

学生也学会解）

解法1

解法2

解法3

困难在哪里？

(1)不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无

从下手了.可能“行驶多少加”有人想到行程问题上去了，

可又无法找到速度和时间.

(2)感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么

时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型

不清楚.

(3)理不清题目的条件是什么.特别是“自行车的前

轮后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交

叉在一起，理不清”自行车的前轮后轮”的数学含义是什

么.(参见图2)

(4)理不清题目的结论是什么.表面上，结论求“一

对新轮胎行驶多少册”写得很清楚，但这与“交换”前、后

轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一

辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？(干扰因素)

如果你不能求解，没关系，请先做第2题.

例1-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干

前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，

如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段

一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、

后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？

（属于什么题型？中途交换如何处理？）

如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求

解第2题，没关系，请先做第3题：

例1-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工

程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整

个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）

如果你能求解第3题，请返回做第2、1题；如果你不

能求解第3题，请看第4题.

例1-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程

队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程

几小时完成？

这是标准的工程问题了.

最终至少要用两个以上的解法完成第1题.希望完成之

后能谈谈感想，想说什么就说什么.

第二、案例的分析.

案例分析1:关于解法.

让我们从新开始，缺什么就“用字母表示数”设什么,

有

解法1（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量

为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1加的磨损量为荒，安装

在后轮的轮胎每行使1碗的磨损量为短.又设一对新轮胎

交换位置前走了〃碗、交换位置后走了匕加，分别以一个轮

胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）

kakbg

-----1-----=k,①

50003000

两式相加，得

生辿+史必

50003000

贝口a+b=------------=-------------==3750Qkm）.④

k+卜]+]怎么算？

5000300050003000

（2009年初中数学联赛参考答案）

作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解

题”这只不过是新的开始一一反思分析.

反思L当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正

确，也不乏趣味性的技巧.特别是，这个解法对“用字母表

示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母

k,a,b,既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程,

又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺

术.但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来

困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和学生不太

好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们

思考：能不能把题目处理得更好接受一些？

首先，既然太a力都只有辅助的作用，而①、②式的等量

关系也被更实质性的③式代替了，那么，我们能不能一开始

就抓住③式这个更本质的结构呢？事实上，不管甲轮胎还是

乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的，

就是说，若设一对新轮胎可走x而，则一对轮胎在前轮走了

xkm,在后轮也走了有（可以不列方程组，列方程就

行了）

解法2:（方程解法，去掉a力）设每个新轮胎报废时的

总磨损量为人则安装在前轮的轮胎每行驶1碗的磨损量为

嘉，安装在后轮的轮胎每行使1粒的磨损量为嘉.又设

50003000

一■对新轮胎可走x碗，则一■对轮胎分别在前后轮各走了xAm，

有

工+旦=2k

50003000'

则x=卜2k人=i2「3750（km）.⑤

-----1------------1-----

5000300050003000

说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”

的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”T；

原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两

条方程相加、“整体”得出④式.

反思2：这个解法中人只有辅助作用，能不能也去掉，

怎么去？另外，由④及⑤中的运算式121=3750,我们看

-----1-----

50003000

到了一种结构——工程问题（这正是上述教学设计的一个基

本考虑），我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有

解法3：（算术解法，再去掉左）设每个新轮胎报废时的

总磨损量为1,则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由

已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1加的磨损量为」一，安

5000

装在后轮的轮胎每行驶1加的磨损量为/，进而，每1km一

对轮胎磨损量为、+与；用总磨损量除以单位磨损量可得

50003000

“一对新轮胎同时报废最多可行驶”

12]=3750（km）.

-----1-----

50003000

说明2：这个题型小学说是“工程问题”，到中学可以

说是“调和平均”1T（高中），“反比例函数模式”孙=左（初

—+—

ab

中，参见后面的提炼）.

反思3：解法3是在④、⑤「卜中取左=i（这是小

KK

-----1-----

50003000

学的惯例），左只能取1吗？回答是：取5000与3000的最小

公倍数更方便.有

解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000的，则前

轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮

胎同时报废能行驶理=3750（km）.

4

说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”.由

这个解法可知，前、后轮的磨损有3：5的关系，从而可以

改写为

解法5：假设自行车已走了3000碗，后轮磨完，则一对

轮胎只剩下前轮的2000加；接下来按3：5的比例分配，前

轮会磨掉2000册的之，后轮会磨掉它的?）,由2000x。=750知,

888

一对轮胎可走

3000+750=3750（加）.

反思4：解法1由目标牵引，进行了①、②“两式相加”,

而由两式相减呢，立即可得a=。，就是说，若一对新轮胎同

时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后

轮行驶的路程.这个实事有明显的几何意义：方程组①、②

中的两条不平行直线关于对角线丁％对称，其交点在对角线

kx上（或说两个互为反函数的图像一一两条直线，相交于

对角线），有

解法6:（创设解法情景）设一对新轮胎交换位置后同时

报废时自行车共行驶了xkm,我们不妨设想自行车的车把和

车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装

卸.当自行车行驶到二加时，磨掉了一半的磨损量（正好等

2

于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是

后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损

量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、

后轮，再行驶七"回到出发地时一对新轮胎同时报废.于是

2

一个新轮胎的总磨损量

=前进与77的磨损量+返程与"的磨损量，

22

有f1—…•前轮

5000+3000-1,-------------后轮

（这就是方程③蒜+蒜小图1

得^x=j=3750.

---------------1---------------

2x50002x3000

不管题目还会有的多少解法，我们已经有了三类解法：

方程解法、算术解法、技巧解法.这可以认为是反思解法1

的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”.

案例分析2：关于教学设计的意图.

这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学

是解题活动的教学，当中有四个基本的考虑.

（1）解题化归的教学设计：如果你不能求解第1题，

请先做第2题；如果你能求解第2题请返回做第1题，如果

你也不能求解第2题，请先做第3题；如果你能求解第3题

请返回做第2、第1题，如果你也不能求解第3题，请先做

第4题，一路转化为基本题型.这就是化归：把一个未解决

或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题.

（2）揭示问题的深层结构：自行车问题有工程问题的

深层结构.可列表说明如下:

例1-1自行车问题例1-2工程问题

一对轮胎的磨损（感觉磨损有一件工程（感觉工程有建设性）

破坏性）

磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）

轮胎有两个工程有两段（甲乙轮胎对应前后两

段工程）

甲、乙轮胎磨损量相等前、后两段工程量相等

轮胎放在前面位置行驶甲工程队干前段5000小时完成

5000Am报废

轮胎放在后面位置行驶乙工程队干后段3000小时完成

3000初/报废

如果行驶一定路程后，交换如果两工程队同时动工，甲工程队

前、后轮胎，使一辆自行车的干前段、乙工程队干后段一定时间

一对新轮胎同时报废（交换后，甲、乙两工程队交换，使前、

前、后轮胎好像是实质的，否后两段同时完工（甲、乙两工程队

则，怎能“使一辆自行车的一交换不交换是非实质的，使前、后

对新轮胎同时报废”？）两段同时完工即可）

这辆车将能行驶多少痴？整个工程几小时完成？

可见，”自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！

这时，是从“工程问题”的角度重新理解题意，体会”条件

是什么、结论是什么”的最好机会.甲乙轮胎对应前后两段

工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（轮胎是工程、

位置是工程队、磨损是干工程，如图2）.于是，从工程的观

点看例1-1,可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎,

自行车的前轮位置需走5000加（完成工程前半段甲工程队需

5000小时），其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需

走3000加（完成工程后半段乙工程队需3000小时完成）；结

论是：求自行车的前、后轮一起磨完两个新轮胎需走多少而

（甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成）.

<CT-----\乙工程队

O©\中_L才土O队/O\乙工程队

前半段工程后半段工程

图2

（3）沟通一题多解的内在联系.

从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法,

我们说三类解法不是各别孤立的.由③（或⑤）式有

一^=----1=3750.

---11---

5000---50003000

这是方程解法的结果，约去左（或说令左=1）便是工程解

法，而取左=15000,就是技巧解法.所以，三类解法是可以沟

通的.也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深

层结构，形成优化的认知结构.

（4）呈现解题分析的两个关键环节一一解题思路的探

求和解题过程的反思.解题思路的探求是把“题”作为认识

的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到

未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个

认知过程，如找出解法1）.解题过程的反思是继续把解题活

动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何获

得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、

优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点

在怎样学会解题（这是一个再认知过程，如找出解法2至解

法6）.

第三、对案例分析的启示.

（1）这就是一个“亲身参与”的解题教学案例.

（2）我们通过这个故事来启引大家认识案例、关注案

例研究，实际上是在进行“案例教学”.

（3）讲这个有趣的故事、分析提炼内蕴于其背后的思

想、意义与道理，就是案例研究.

（罗增儒.一个自行车问题的教学分析.中学数学教学参考（中旬），2013（1/2）：

68-72）

1-1-2案例2：在“三角形内角和定理”的课堂上

第1、案例的呈现

师生理清了“三角形内角和”的证明思路之后，学生

脑子里有一个图、但板书没有画出来，写出证明如下:

已知：ABC中，为三个内角.

求证：ZA+ZB+ZC=180.

证明：在三角形外部作ZACE=N4

则CE//AB,（内错角相等，两直线平行）

有NECD=/.（两直线平行，同位角相等）

得ZA++!

=ZACE+ZECD+ZC（等量代换）

=180.（平角的定义）

第2、案例的研究.

反思1

（1）对这个证明你有什么看法？

①缺图，②点。来历不明，③“写为ZACB,④其他（三

角形明确为ABC,先做CE//AB.........）

（2）对于“点。来历不明"，你会如何处理？

（学员讨论）

修正1如图3,作3C的延长线C£>（延长到0,有

线段之嫌），在ABC外部作ZACE=NA,

则CEHAB,（内错角相等，两直线平行）

有NECD=ZB.（两直线平行，同位角相等）

得ZA+ZB+ZCA

=ZACE+NECD+ZACB（等量代换）/

=180.（平角的定义）BC…D

图3

反思2：

（1）ABC为什么画成锐角三角形？证明中没有用到

“锐角三角形”条件，所以，图3只是任意三角形的一个

代表.

可向学生说明，细分有7种情况（有二级分类）.

ZC三角形形状ZA/B示意图

锐角三角形NA为锐角为锐角

ZC直角三角形NA为直角为锐角

为上

锐直角三角形NA为锐角NB为直角

角

钝角三角形NA为钝角为锐角——

钝角三角形NA为锐角NB为钝角

NC为直角直角三角形NA为锐角ZB为锐角

NC为钝角钝角三角形NA为锐角48为锐角二

（2）为什么CE在ZAC。内部?

・“外角大于不相邻的内对角”恰好是“三角形内角和

定理”的推论，有没有逻辑循环？能不能避免？（修正3）

・叫学生作图、作到哪里就那里，是变相不讲道理.

附《几何原本》中外角大于内角的证明：取边AC的中

点。，连结8。并延长到E,使OE=3O,联结CE.

易知COE=AOB（SAS\，

Ng

由于CE在ZACZ）内，所以ZACD>NBAC,同理，

ZACD>ZABC.BC~~D

说明“CE在ZACD内“！图4

道理：得出CE/MB后，ABC在CE的一旁，则BC的延长

线。，必在CE的另一旁，是有道理的，

修正2如图3,在ABC外部作ZACE=N4

则CE//AB,（内错角相等，两直线平行）

且ABC在CE的一旁，作的延长线CD,必在CE的另一旁,

有NECD=ZB.（两直线平行，同位角相等）

ZA+ZB+ZC

=ZACE+ZECD+ZACB（等量代换）

=180.（平角的定义）

反思3：对来历不明的。，只有“补”一个思路吗？避

免逻辑循环有没有别的办法？

开头

中间

不补（删）

修正3如图5,在ABC外部作ZACE=N4

则CE//AB,（内错角相等，两直线平行）

得ZA+ZB+ZC

=（ZACE+ZC）+ZB（等量代换）

=(ZACE+ZACB)+ZB

=180.（两直线平行，同旁内角互补）图5

第3、对案例研究的启示.

以上我们共同经历了一个“案例”，共同进行了一次“案

例研究”.

（1）学生给出一个证明，这个证明就是一个案例，数

学教育界习惯称数学案例为课例.

（2）我们一起谈“这个证明你有什么看法？”“你会

如何处理？”就是反思，就是“案例研究”.

（3）我们通过这个证明的反思，来启引大家认识案例,

关注案例研究，体会案例教学的过程，感悟“我要进行案例

研究，我能进行案例研究”的理念，实际上是在进行“案例

教学”.

④讲这个有教育意义的故事、分析提炼内蕴于其背后的

思想、意义与道理，有一个很时髦的词，叫做“教育叙事”

即通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义.

至少有两个收获：

收获1：经历了案例教学的三步骤过程：

①教员提供课例，学员体会情景.

②教员组织讨论，学员分析材料.

③教员总结评述，学员掌握原理.

收获2：感悟到教学处处有创新的空间.

①面临"。来历不明”我们的认识不要封闭，要广开思

路，〈补］中间三个思路都是通的.

不补（删）

②面对教材我们的认识也不要封闭.

（罗增儒.与“国培”学员一起做课例分析一一在“三角形内角和定理”的课堂

上.中学数学教学参考（中旬），2013,3）

上面的两个小故事，是不是有助于树立一种观念，明白

一个道理，理解一个概念，学到一种方法？可以认为是学习

“案例分析”概念的情境创设.

1-2案例研究的现实需要

我国正在进行新世纪的课程改革，数学教学的生活化取

向、活动化取向、个性化取向正在热情地展开（体现人本主

义、大众数学、建构主义），同时也面临许多始料未及、而

又缺乏现成解决方案的问题，向我们提出了从理论到实践的

挑战、向我们提出了从教学到数学的挑战.

1-2-1教学中遇到的一些案例

（讨论：实行新课程存在些什么问题？比如“三维目标”

（知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观）——“四个方面”

（义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、

问题解决、情感态度等四个方面加以阐述）-----“四基”（通过义务教育阶

段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知

识、基本技能、基本思想、基本活动经验），它们之间是什么关系？）

（2011课标）

每学期每一节

各门课程数学课程数学课程数学内容数学内容

目

标X

课

知识与技能知识技能

程

或

数学思考

课过程与方法

堂

问题解决

目

情感、态度

标与价值观情感态度

过程与方法是否对应“数学思考与问题解决”？

案例3：钟面上的时针与分针是否组成角？

下面是一位教师在上人教版七年级上册“角的度量”第

一课时的教学片断.教师首先出示了时钟、棱锥、树叶等几

幅图片（见课本第131页）.

教师：请同学们找出以上图片所含的角.

学生：钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶

上交错的叶脉等都是角.

教师：这些角有什么共同的特征？你能否根据这些特征

给角下一个定义？

学生：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

教师：由线段组成的图形是角吗？

学生：不是角.

教师：回答正确.因为是线段而不是射线，所以由

线段组成的图形不是角.

学生：老师，如果根据角的定义，钟面上的时针与分针,

棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉那也不是角了？

教师无言以对.

（官云春.由一则教学悖论引发的思考.中小学数学（教师版），2006,6）

解释：这里有现实原型与抽象模式的关系，现实原型要

经过抽象才能成为数学.

案例4：乘法交换律的教学

有一个教学设计，用一个柄特别长的勺子喝水，勺子太

长自己喝不到，学生经过讨论找到“交换喝水”的办法：你

拿勺子喂给我喝，我拿勺子喂给你喝，喝水问题圆满解决.这

个“活动”固然有趣，办法也很好，但与“乘法”没有关系,

亦离开了“数量不变”的交换率本身.交换律的本质是变化

中的不变性，学生在这里学到的不是数学或不是“乘法交换

律”.（地狱与天堂的寓言）

如何防止“去数学化”，既是教学的挑战，又是数学的

挑战.

（张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学.数学教育学报，2005,8）

解释：数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得

有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功（数学上的

成功还需要艰苦的工作）.有效的情景应该起始于精细的数

学认知分析，使情境具有数学对象的必要因素和必要形式

（这是一个创作与创造的过程），只注意情景的形式，缺失

了数学及其本质（去数学化），会好心办坏事.如果学生说

柄长可以锯短或靠前拿，你的课怎么上呢？如何防止“去数

学化”，既是教学的挑战，又是数学的挑战.

（说到乘法交换律还想提起，现实解释3x10与10x3是可以有区别

的，比如，一个人生病了，医生开了30个药片，每天吃3次，每次

吃1片，连吃10天病就好了；反之，每天吃1次，每次吃10片，连

吃3天可能就把人吃死了.但去掉“吃好”与“吃死”不同现实的具体形

式与生活内容，可得出数学上的乘法交换律3x10=10x3）

案例5“倒数”的负情境

在讲解“倒数”时，某教师作了这样的设计，引导学生

“杯子可以倒过来，数可以倒过来吗？”“上海自来水来自

海上，可以倒过来念还是'上海自来水来自海上'……”结

果学生出现了26的倒数是62.

（金小君.创设有效情景，让课堂焕发活力.成才之路，2008,6）

解释“倒数”对于分数而言确有颠倒分子分母的形式，

但这不是概念的本质特征（相乘等于1）,句子倒过来念更与

“倒数”概念毫不相干，于是，所引入的情境不具有“倒数”

的必要因素与必要形式，对学生的学习产生了负面效应.如

同数学上负数比零更小，教学中负情景不会比零情景更好.

案例6勾股定理的教学设计.

教师设计：测量你的两块直角三角尺的三边长度，并将

各边的长度填入下表:

二角尺直角边a直角边b斜边C关系

1

2

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a,dc之间的关系.

解释（1）这个活动的设计值得商榷，一块任意的三

角板，它的三边长很可能并非整数.让学生猜想三边长分别

为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已

经不是容易的事，比如，学生可以由32=4+5和52=12+13,猜

想〃=a+c,更何况要猜想三个非整数之间的平方关系.这样

处理，容易导致学生盲目的猜想和虚假的探究，在这“盲目”

和“虚假”中知识夹生、变相填鸭和浪费时间.

（2）关于数学探究.请注意

・靠测量和观察只能得出猜想，得到的猜想必须证明才

是数学结论.

•大家意见相同不能算数学结论，要演绎证明，确认一

般性.

（3）这种探究没有勾股定理的本质：直角四三角形的

代数描述.

案例7"用字母表示数”的导入情景.

（老师想通过兰州拉面引入2〃，上一次条数为〃，下一次条数为2”）

师：同学们，早餐吃过了吗?

生：吃过了.

师：你们都吃了什么早餐？

生：面包，稀饭，饼干……

师（感觉不太好）：有吃过拉面吗？

生：没有.

师：拉面怎么做的？

生用手比画.

师：做拉面，你能发现什么规律吗?

生：拉面越拉越长.

师：还有其他规律吗？

生茫然，师无奈.

师：拉面拉长后条数怎样变化？

生：越来越多.

师（不得已）：任意多次后，拉面条数可以表示为2",这

就是今天学习的用字母表示数，引出课题.

（金小君.创设有效情景，让课堂焕发活力.成才之路，2008,6）

解释：（1）这节课教师提供的情境太发散，徒然浪费

了时间.形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种“负情

景”，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢侈消费.

（2）小学学习的字母运用主要有三种情况：

情况1：用字母表示单位或数量.如用气表示千克、用四

表示厘米、用力表示高、用/表示时间等，无论哪种情况，都

是有关词语的“缩写”，还不是代数学上的符号表示.

情况2：用x表示未知数.这是小学用字母表示数的主要

思维成果，所以，初中学生一遇到字母时，都会习惯性地认

为是未知量.

情况3：用字母表示规律.如运算律和图形的周长、面

积计算公式等，有加法的交换律和结合律、乘法的交换律和

结合律、乘法对加法的分配律；计算三角形、长方形、平行

四边形、圆的周长、面积公式；计算长方体、正方体、圆柱

体的体积和表面积公式、圆锥的体积公式等.这些表示中，

包括数与字母、字母与字母的运算.

（2）初中学习用字母表示数，关键在于提高、提高的

关键在于抽象，在于抽象程度的提高，谈几点相关的看法.

看法1：关键在抽象.在数学发展史上，从丢番图用缩

写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数，用了整

整1200年，经历了三个历史阶段：文辞代数一一缩写代数

——符号代数，要学生在短短的45分钟内，走过人类认识

提升的漫长历史，关键在抽象.从具体事物到数字是第一次

抽象（比如，从一个人、一棵树、一张桌子抽象出自然数

“1”，但谁也没有见过“1”，生活中从来就没有数学上抽

象的“1”），从具体数字到字母（用字母代替数）是第二次

抽象.

看法2：抽象的本质.用字母表示数的数学本质，不仅

是字母“代替”文字、“代替”数字的过程，而且更是具体

数字符号化和形式化的抽象过程，更是静态数字一般化、动

态化的活化过程.它是人类认识从算术到代数的一次飞

跃.这时，字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可

以表示常量又可以表示变量，还可以表示这个数量在不断的

运动变化中.

看法3：用字母表示数的学术意义.符号的使用是数学

表达和进行数学思考的重要形式.

①用字母表示数的抽象性可以超越各类数量的实际情

境或具体特点，给我们带来字母表示任何数、任何量的方便,

以后还可以用字母表示兀素，表不集合，表示向量，表示矩

阵等.

②用字母表示数的一般性使代数变得更能适应普遍的

场合，大大扩展了代数的应用范围，大大促进了代数的发

展.（有一种观点认为：缺少数学符号是制约中国古代数学

发展的一个原因）

③用字母表示数的形式化可以简洁而准确地表示事物

的复杂关系，有利于数学的表达、研究、传播和交流，使代

数真正发展成为一门关于形式运算的学科.（科学语言）

用字母表示数是用字母来代替数字或式子，并形成符号

结构的一种思想.它是发展符号意识，进行量化刻划的基础，

也是从常量研究过渡到变量研究的基础.从“用字母表示数”

到用字母表示未知元、表示待定系数、表示函数广/⑺、表

示字母变换等，是一整套的代数方法.代数思维的突出特征

——从过程到对象（凝聚），离不开用字母表示数的思想方

法.具体解题中引进辅助元法、待定系数法、换元法等都体

现了“用字母表示数”的作用.

这些小例子表明，现实向我们提出了从理论到实践的挑

战、向我们提出了从教学到数学的挑战.我们认为，这是教

师专业化发展的一个历史良机，建议同行们通过“行动研究”

的方式来解决现实问题，通过反思性的实践来促进自身的水

平提高.

1-2-2问题涉及的关系

（1）关注过程和关注结果的关系；（过程与结果，预设

与生成）

没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是

时间的低效消费.过程与结果并重.

精心预设是精彩生成的基础，精彩生成是教学观念、教

学能力和精心预设的升华.预设与生成并重.

（2）学生自主学习和教师讲授的关系；（教师与学生，

讲授与探究）

（形式主义：必须撤讲台摆桌子，必须先学后讲，教师

讲不得超过10分钟，……）学生为主体、教师为主导.（在

课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生;

学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在

这种师生双主体的关系下开展的主体性活动）

历史上是先有探究学习后有接受学习；讲授法不是万能

的，没有讲授法是万万不能的；讲授与探究结合.

（3）合情推理和演绎推理的关系；（归纳与演绎）

数学上有两种类方法，一类是发现的方法，一类是论证

的方法.直觉用于发现（有利于创新但未必可靠），逻辑用

于证明（可靠但不利于创新）.应既教猜想又教论证.

（4）生活情境和知识系统性的关系；（生活经验与知识

体系）

生活中只有数学的原型和数学的应用，谁见过数学上的

“1”、几何上的“点”？

缺乏直观的概念是盲目的，缺乏概念的直观是空虚的，

数学教学既要有“引进的情景化”，又要有“提炼的去情景

化”（数学化）.形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种

“负情景”，它既增加教学夹生的风险，又进行了生命的奢

侈消费.

（5）改革与继承的关系.（传统与创新）

用一句话来概括中国数学教育的特色，那就是：“在良

好的数学基础上谋求学生的数学发展.”这里的“数学基础”,

其内涵就是三大数学能力：数学运算能力、空间想象能力、

逻辑思维能力；这里的“数学发展”是指：提高用数学思想

方法分析问题和解决问题的能力，促进学生在德智体各方面

的全面发展.与此相应的教学方式，则是贯彻辩证唯物主义

精神，进行“启发式”教学，关注课堂教学中的数学本质，

倡导数学思想方法教学，运用“变式”进行练习，加强解题

规律的研究.……

（参见张奠宙.关于中国数学教育的特色------与国际上相应概念的对

照.人民教育，2010,2）

如何继承而又促进学生的发展？应该把教学的主动权

交给教师，有关部门可以提出指导性意见（如提出四种方式

学习方式：除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流

同样是学习数学的重要方式），具体实施由教师决定一一以

前，行政决定农民怎样种地，粮食不够吃，后来，农民决定

怎样种地，粮食吃不完.

新课程面临问题是对教师的学习愿望与学习潜能的唤

醒与激发，是对教师反思、变革、实践能力的有效培植.（不

是教师不适应、不合格才需要培训，而是教师要学习、要成

长、要发展才需要培训.）

课程改革与教师专业发展之间存在着良性循环：一方

面，课程改革为教师专业发展提供机会，并促进教师的专业

发展；另一方面，教师的专业发展是课程改革的重要支撑，

课程改革也因教师活跃的身影和创造的激情而充满活力.

课程改革使得中国成为最需要教育家的时候，也成为最

可能产生教育家的时候.

2案例研究的理论提炼

2-1案例研究的理论支持

2-1-1对教育研究方法的反思.

对教育研究方法的反思导致了几个转向，如：

（1）支撑教师教育的理念根基已由以往的关注“理论”

转向关注“实践”、关注“课堂”；

・“听了未必接受”.传播学的“认知不协调”理论认

为，人们总是回避同自己原有认知要素对立的不协调信息，

而积极接触与之协调的信息.

・“接受了未必会用”.哲学认识论的“默会知识论”

指出，专业人员所具有的知识很多是缄默（不能解释）的、

个性化的，而且镶嵌于情境活动之中（需要“做中学”）才

能学会.实际上，大部分教师在参与讲授为主的培训后，都

很难把听来的理论和技能运用到日常教学上，这已经成为教

师培训难以消解的困惑.

•乔依斯与许瓦斯（Joyce&Showers,1982）的等组实

验发现，教师在课程培训的同时，如参与校内同事间的互助

指导，可有75%的人能在课堂上有效应用所学的内容；否则

只有15%悟性较高的人能有同样的表现.

（2）教育问题的研究从借鉴自然科学的精确描述转向

为对教育问题的理解和诠释.

越是追求精确，就越是脱离人类经验，于是，“案例教

学”、“教育叙事”、“行动研究”等应运而生.

（3）教师发展从理论培训到校本教研的兴起，以校为

本的教研，其核心要素是：

•实践与反思，

•交流与合作，

・引领与创新.

2-1-2教师知识组成的新认识

通常认为，数学教师的知识组成包括教育学知识、数学

系统知识、数学教学知识诸方面，而美国舒尔曼的研究表明:

教师专业知识结构由三类知识构成，即

（1）原理规则知识；

（2）专业的案例知识.

（3）运用原理规则于特殊案例的策略知识.

这就从教师的知识分类上将教育教学案例纳入到教师

的知识系统，并且后两者都属于内隐知识一一这些知识以及

创造性解决问题的能力，仅仅依靠现成书本的格式化知识的

传授是无法获得的.（冰山的水下部分）

2-1-3范良火博士论文的结论

范良火在其博士论文中研究得出：教师教学知识的最重要

来源是

（1）自身的教学经验和反思;

（2）和同事的日常交流.

至于职后培训、当学生时的经历、职前培训、阅读专业

报刊等都是其次的、第三、第四位的，教师自主的实践中学

习、及教师群体内部的自主交流是对教师的专业发展贡献最

大的两个方面.

2-1-4顾泠沅“行动教育”模式

（青浦经验：1977年，以初中一、二年级的数学常见题，对全县

中学最高年级的4373名学生进行统考，总平均分数为11.1分，零

分学生的比例高达23.5%,约有三分之二的学生连小学的分数运算

都不熟练.经过近九年的改革，青浦县的数学质量从七十年代的全市

最低水平开始逐年稳步上升，1985年初中升学考试数学成绩，全市

各区县平均为69.7分，青浦县平均为79.1分.）

顾泠沅在上海的调查研究表明：

（1）保持同事间的互助指导，还须注重纵向的理念引

领；（防止萝卜煮萝卜还是萝卜）

（2）保持侧重讨论式的案例教学，还须包含行为跟进

的全过程反思.

（3）因此在通常的教师培训形式之外，构建了以课例

为载体、专业引领与行为跟进相统整的“行动教育”模式，

为教师在职教育提供了一种有价值的选择.基本模式如下图

所示.

图6

2-1-5我的个人体会

我是在耀县水泥厂当了十年矿山职工之后调到子弟当

中学教师的(1978),既不懂数学又不懂教学，不懂就学，

通过分析教学案例学教学，通过分析解题案例学解题.记得

我当中学教师时(1978-1986)常常问自己:

・有专业学者的功底吗？

•有教育理论家的修养吗？

•有教学艺术家的气质吗？

・有青年导师的榜样形象吗？

如果我们没有向这四个方向努力，我们怎能心安理得地面对

充满求知渴望的孩子，又怎能问心无愧地面对我们的崇高职

业和激情人生？我的体会是“案例研究”促进了我所有这四

个方面的发展，所以，我今天选择了这样一个经验话题来与

大家交流.

2-2名词解释

“案例”一词源于法学，就是一个案件，哈佛法学院将案

例应用于法律人才的培养，产生案例教学；哈佛工商学院将

其移植于工商管理人才的教学，取得显著成效；之后，人们

把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课

例”用于教师培养，都叫做案例教学.伴随案例教学而进行

的分析、反思、提炼又促进了“案例研究”的发展.这里有

三个词：案例、案例教学、案例研究.案例是一个教学实例,

案例教学是一种教学方法，案例研究是一类研究方法.三者

既有联系又有区别.

2-2-1案例（课例）

（1）界定：数学教育上的案例是具有典型意义的教学

过程的描述.

对于数学教学上的案例，我们更习惯叫做课例（或个

案），在形式上，可以是体现教育理论与教学技能的课堂实

录，可以是学生学数学的生动故事，可以是教师教数学的有

趣设计，还可以是教学实践中遇到的意外与困惑的事件.为

了教学研究的需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所

侧重，对课堂之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活

动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等），这就使

得用于教学分析的课例与记录教学实验的课例略有区别.创

作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来.

（2）作用：教学课例包含有充分多的信息（可以代表

一类事物），蕴含一定程度的理论原理，反映了教学实践的

经验与方法，渗透着对特定教学问题的深刻反思，可以帮助

数学教师树立一种观念，明白一个道理，理解一个概念，学

到一种方法；案例是了解教学的窗口，是问题解决的源泉，

是教学理论的故乡，是教师发展的阶梯.

（3）特征：典型性、研究性、启发性.

2-2-2案例教学

（1）界定：案例教学是一种通过典型教学过程（课例）

的分析来学习教育理论与教学技能的教学方法.

它与传统的讲授法不同，强调教与学双方直接参与，共

同对案例或疑难问题进行讨论.案例教学突出体现了

•教学内容，

・学习方式，

・教育观念

的转变.这是一种研究性学习.

（2）教师培训中的案例教学可分成3个步骤来实施：

①教员提供课例，学员体会情景.

较长的课例可以课前提供，较短的情节可以随堂呈

现.提供的方式可以是书面材料、录相或口头叙述.（参见

后面的例子）

②教员组织讨论，学员分析材料.

这是一个师生互动、生生合作的学习过程.一般说来，

每个课例都可以从多个角度进行分析，每个学员又都有自己

的兴趣指向，如果引导启发不当，有的学员会不知从什么地

方开始谈，有的学员会只谈现象与技节.因此，教师要充分

了解课例的内容，提前进行精心的准备，临场还得有机敏灵

活的动态调节.为了使讨论相对集中，可以随课例的呈现提

出几道重点思考题.

在案例教学中，教师更多地从讲台站到了学员的背后，

聪明不是由教师告诉、而是由学员自己去获得.

③教员总结评述，学员掌握原理.

这一步主要由教师进行，教师的总结首先要有理论深

度，使学员确实学到东西；其次要体现现场讨论的情况.

老师们在日常教学中，可以独立地进行经常性的课例分

析，也可以以教研组为单位开展交流.

需要说明的是：案例教学与举例说明是不同的；课例分

析与评优课、或说课也是不同的.然而，课例分析水平的提

高，可以促进所有这几方面水平的提高.

2-2-3案例研究

（1）界定：在对典型教育事件进行具体描述的基础上,

通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法,

叫做案例研究.

在案例研究中，作为研究素材的一个或多个案例本身是

研究的一部分，对案例的收集、整理和叙述本身体现着研究

者的研究旨趣和研究立场，但是，案例素材本身并不是理论,

需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成

特定的理论.从这个意义上说，案例研究是从具体经验事实

走向一般理论的一种研究工具.（相当于生物学研究中的标

本）

案例研究突破了理论脱离实践的困境，建构了与实际问

题紧密相连的知识体系，便于教师结合自己的教学实际开展

研究.

（2）分析的视角.

通过现场听课、录像播放、文本阅读等获得案例是很

方便的，但是，怎样开展案例研究呢？我们建议抓住三个主

要视角.

①数学的视角（主要看数学功底）

•内容结构：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰.

・知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识的合理过

程.

・数学概念：清晰、准确，有发生过程.

・数学论证：科学、正确，有思维揭示.

・数学思想：有数学思想方法的渗透、提炼或阐明.

②教学的视角（主要看教学能力）

•教学目标：体现三维目标，定位准确，教学性质清楚.

•教学要求：恰当、适合学生的最近发展区.

•教学方法：创设发现情景，鼓励探索质疑，多向交流沟

通，促成意义建构.

•教学过程：有序、完整，思路清晰，使用多媒体，激励

性评价.

•教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目标.

③观念的视角.

已经进行了十几年的数学新课改课堂，我们的眼光不要

停留在十几年前，观察课堂、寻找特色，应该与时俱进，有

新的认识：

・新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻，必然会

与数学学科特征有机结合，产生出既区别于其他学科、又区

别于传统的数学教学新特色.其实质是创新.

・新输入的课改理念经过十几年的贯彻，必然会与数学

教育的中国道路相互作用，促进中国数学教育在新课程背景

下的现代发展.其实质还是创新.

•如今的数学教学大体上都是：以问题情景作为课堂教

学的平台，以“数学化”作为课堂教学的目标，以学生通过

自己努力得到结论（或发现）作为课堂教学内容的重要构成,

以“师生互动”作为课堂学习的基本方式.就是说，数学现

实、数学化、再创造、师生互动是四个关键词.

最重要的是能从这些视角里看清基本事实，并用这些事

实去分析相关的数学处理、解释相关的教学行为.当然，课

例分析的共识有的只能作为教师的营养，间接进入课堂，而

有的则可以直接进入课堂，这两方面都将促进教学的发

展.课例分析不应是“空对空”的“纸上谈兵”，而应该是

“实对实”的“行动研究”.

（还可参见：《全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订

版）》，《中国数学教育》2012年第6期）

3案例分析的实践

3-1案例8“四边形内角和”的教学

第1、案例的呈现.

2005年的一次教研会上，兄弟单位介绍了“四边形内

角和”的教学，分两步介绍如下：

（1）教师在两个水平相当的班上所进行的学习活动是一

样的，都组织学生去探究，找出的解题途径也大体相同，如

图7所示.

图7

教师总结讲评后，在一个班（记为力班）增加了一个环

节，组织学生讨论在这“一题多解”的背后，有什么共同的

地方一一“化归为三角形的内角和”；另一个班（记为夕班）

没有这个环节.

（2）25天后，组织了一次测试，求图8中各角之和（凹

五边形的内角和），结果，A班有89%的学生能够完成，B

班有25%的学生能够完成.在所完成的同学中，多数都是连

结两条辅助线改EC,如图9转化为3个“三角形的内角和”

之和来解决.

第2、案例的分析.（大家讨论）

听完这个叙述之后，我们要问：

（1）你最突出的感受是什么？说出你最想说的话来.

为了把思考引向深入，我们还要继续问：

（2）课例说了些什么事实？这些事实说明了什么道

理？

①为什么会有89%与25%的差距？

②教师的教学与研究能否结合起来?

③怎样认识图9的正确解答？

④从这个课题中能提炼哪些数学思想方法?

(讨论发言，这个讨论的一个目的是渗透“数学思想方法的

教学”)

下面是我们的初步总结.

这是一个简明而又富于启发性的案例，描述了一个微型

教学实验，有实验假设、有实验过程、有变量控制、有效果

测试，以“化归思想提炼”为自变量，以“问题解决水平”

为因变量，之间的因果关系存在明显的正相关.这是把教学

与研究结合起来，把教学纳入到学术研究的轨道.我们在这

里作出4点分析.

(1)进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的.

在A班的讨论显化了数学内容和数学方法所隐含的本质

思想一一化归；在B班没有这一提炼，学生的认识停留在“一

题多解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段.结果，进

行思想方法显化提炼的班89%通过测试，未进行显化提炼的

班只有25%通过测试，差异十分显著，因而“进行数学思想

方法的提炼是可行和有效果的”.这应该是我们从案例的叙

述中所获得的最明显的印象，而做法本身并不复杂，教师几

乎时时、事事、处处都可以做，这对破除“数学思想方法教

学”的神秘性很有冲击力和启示性，用数据说话也很有份量.

当然，启示的内涵并不是每一课题都讨论“有什么共同

的地方？”一题多解可以这样问，不是一题多解呢？还是这

样问就呆板了、僵化了.遇到一题一解其实可以通过分析解

题的过程与步骤，找出每一步的内容与作用、组织为整体的

内容与作用等，提炼出数学实质与逻辑结构.于是内在的思

想方法就有机会浮出水面了，不浮出水面也能作为“隐性知

识”而“渗透”在学生的思想里.关键在于行动，在于有提

炼数学思想方法的自觉性.比如，分析图8中的众多解法的

共同本质，可得

①本质思想1：化归.所有这些解法都是通过辅助线将

“四边形的内角和”化归为“三角形的内角和”，它是“把

一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的

问题”的一个具体形式.

②本质思想2：数形结合.定理本身是数形结合的，从

运算角度看，都是几何上的“隐性和ZA+ZB+NC+””，通过

角的分割、转移与合并，产生求和式的拆项、交换与结合，

转化为代数上的“显性和”360,数形结合又是一个本质思

想.

伴随上述思想还有：

③本质思想3:不变量.变化，但和不变，

体现了变动中的不变量.

④本质思想4:分解与组合.化归中图形的分割、转移

与合并，代数和中数式的拆项、交换与结合，都体现了分解

与组合.

（2）进行数学教育的研究是人人都能做到的.

这个案例本身就是一个微型实验，有实验假设、有实验

过程、有变量控制、有效果测试，以“化归思想提炼”为自

变量，以“问题解决水平”为因变量，之间的因果关系存在

明显的正相关，这就是数学教育研究.有的教师埋怨不知道

数学教育研究怎么做，埋怨找不到课题，这个案例应该是一

个很好的启示：不是缺少课题，而是缺少发现课题的眼光.

试想，研究生到学校来发上一些问卷、做上几周试验，

硕士论文出来了，博士论文出来了.我们天天在课堂上拼搏,

理应天天有素材，月月有文章，年年有大作.

比如说，由上述案例的启发就可以进一步精致化，化归

的心理机制是怎样的？（类比是不是值得考虑）收集学生做

测试时的草稿纸、与学生作面对面的深度访谈，定能将这个

案例与“化归思想”的研究引向深入，得出更富于理论价值

和实践意义的结论.更重要的是，在自己的每节课中关注数

学思想方法的提炼，关注数学的本质，就把教学纳入到学术

活动的轨道.教学本来就应该是一种学术活动！

（3）注意防止“认知基础”异化为“认知障碍”，努

力提供高认知水平的教学.

如图10,其实联结即EC当中有一条就够了一一化归为

一个三角形的内角和加上一个四边形的内角和，学生普遍用

图9来求解表明，学生对“化归为三角

形的内角和”有直接的依赖，化归认识/^/\

还停留在当初学习“四边形内角和"的/、'、\

水平上（25天前），而没有表现出学习BC

水平的提升.这提醒我们：要注意防止“认知基础”异化为

“认知障图10

碍”，要努力提供高认知水平的教学.

（4）测试数据的进一步分析.

数据表明：

①前25%左右的学生存在“内隐学习”.不管教师进不

进行“数学思想方法的提炼”，两个班的优秀生都会自觉领

悟”化归为三角形内角和”；据询问，两个班中有10多个同

学就是转化为图10求解的，这说明“10多个同学”已经摆