8.6.3 平面与平面垂直第1课时课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版必修二8.6.3平面与平面垂直（第一课时）第八章立体几何初步教学目标

理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角（重点）01

能求简单二面角的平面角的大小（难点）02能

理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理（重点、难点）03

能利用平面与平面垂直的判定定理进行证明（重点）04直线与平面垂直的相关定义：

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示.垂足垂面垂线环节一、回顾旧知直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号语言：三个条件缺一不可图形语言：lmαnP

定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”的互相转化.环节一、回顾旧知

如图8.6-14，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．平面的斜线垂足斜线在平面上的射影斜线与平面所成的角环节一、回顾旧知半平面的定义：

直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线．

平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面．射线射线半平面半平面环节二、类比已知，引入概念二面角的定义二面角角二面角环节二、类比已知，引入概念环节二、类比已知，引入概念二面角公共直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面.环节二、类比已知，引入概念二面角的画法、记法010203环节三、新课讲授二面角lABβα．P．Q二面角的定义：

如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的记法：①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β；②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取

点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q；③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q．棱面环节三、新课讲授

如图8.6-22，在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?

那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？环节三、新课讲授异面直线所成的角直线与平面所成的角度量空间角的大小:①平面角②唯一性环节三、新课讲授复习回顾、类比PAB问题：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？

不能，因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．

以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的．环节三、新课讲授ABβαl二面角的平面角的定义：

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．问题：∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？

O

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．

根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关．环节三、新课讲授二面角的平面角①顶点在棱上；②两边分别在两个面内；③两边都要垂直于二面角的棱.二面角的平面角必须满足二面角的平面角大小与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关.平面角大小的唯一性二面角的范围当两个半平面重合时，规定当两个半平面合成平面时，规定环节三、新课讲授

小结平面角是直角的二面角叫做直二面角.环节三、新课讲授面面垂直的定义平面角是直角的二面角叫做直二面角；此时，称两平面互相垂直，记为.定义是判定面面垂直的方法之一.环节二、新课讲授环节三、新课讲授小结：二面角的取值范围：

二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．直二面角的定义：

我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．锐二面角直二面角钝二面角环节三、新课讲授

教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．

教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.探究活动环节三、新课讲授

如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．两平面垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．图8.6-24环节三、新课讲授

建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？

在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定．这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.环节三、新课讲授

类似结论也可以在长方体中发现．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．图8.6-25平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言：

这个定理说明了，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.环节三、新课讲授环节四、例题讲解例7

如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，

求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．分析：要证平面A'BD

⊥

平面ACC'A'，

只需要证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线（两个平面垂直的判定定理）．

需要证明平面A'BD内的一条直线垂直于平面ACC'A'内的两条相交直线（直线与平面垂直的判定定理）.

这些由正方体的性质很容易得到．环节四、例题讲解例题

如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，

求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．证明:∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，

∴AA'⊥平面ABCD．

又∵BD⊥AC，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'．∴平面A'BD⊥平面ACC'A'．∴AA'

⊥BD．

【例8】如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．环节四、例题讲解【练习】在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？由AB⊥平面BCD可知：平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．

教科书第158页的例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注．环节四、拓展提升四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．堑堵阳马鳖臑环节四、拓展提升四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．两个堑堵组成一个长方体一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵两个鳖臑组成一个阳马环节四、拓展提升lABβα．P．Q二面角的定义：

如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的记法：①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β；②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取

点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q；③棱记作l，这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q．棱面课堂小结OABβαl二面角的平面角的定义：

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多