第22章《二次函数》（教师版）

2023-2024学年人教版数学九年级上册易错题真题汇编（提高版）第22章《二次函数》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•曹县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（﹣1，0），下列结论：（1）4b﹣3c＝0；（2）若点（，y1），（2，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；（3）若y≤c，则0≤x≤2．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：根据图示，可知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，a＞0，c＜0，与x轴的交点为（﹣1，0），且对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣3a＜0，a＝﹣b，根据二次函数的对称轴可知，二次函数与x轴的另一个交点为（4，0）．∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝﹣b+c＝0．整理得，4b﹣3c＝0，故结论（1）正确，符合题意．∵对称轴是直线x＝，∴x＝时的函数值与x＝时的函数值相等．∵当x时，函数值随自变量的增大而增大，∴x＝2时的函数值小于x＝时的函数值．∴y1＞y2，故结论（2）错误，不符合题意．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为（0，c），对称轴为x＝，根据二次函数的对称性，∴x＝0时的函数值与x＝3时的函数值相等．∴当y≤c时，0≤x≤3，故结论（3）错误，不符合题意．综上所述，正确的是结论（1），是1个．故选：B．2．（2分）（2023•嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（a+2）x2+1 B． C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x解：A、y＝（a+2）x2+1（a≠﹣2），是二次函数，故A不符合题意；B、y＝+1，不是二次函数，故B不符合题意；C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，故C不符合题意；D、y＝2x2+3x，是二次函数，故D符合题意；故选：D．3．（2分）（2023•拱墅区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（4，c），一元二次方程x2+bx+c＝m的两个解为p，q，当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为（）A．c﹣4≤m＜c+5 B．c﹣≤m＜c+5 C．c＜m≤c+5 D．c﹣3≤m＜c+24解：由题意知抛物线经过点（0，c）和（4，c），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4，∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，∵一元二次方程x2+bx+c＝m的两个解为p，q，∴抛物线经过点（p，m）和（q，n），∴，∴p+q＝4，∴p＝4﹣q，∵1≤q﹣p＜6，∴1≤q﹣4+q＜6，∴2.5≤q＜5，∵m＝q2﹣4q+c，∴．故选：B．4．（2分）（2023•和平区三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数且c＞0）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0）．有下列结论：①；②对任意实数m，都有am2+（m+2）b≤4a；③若x0＞﹣4，则y0＞c．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），∴﹣＝﹣2，a+b+c＝﹣2．∴c＝﹣5a﹣2．又c＞0，∴﹣5a﹣2＞0．∴a＜﹣．∴①正确．∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数有最大值为4a﹣2b+c．∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c．∴am2+bm+2b≤4a，即am2+（m+2）b≤4a．∴②正确．∵对称轴为x＝﹣2，抛物线开口向下，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c．∴③错误．故选：C．5．（2分）（2023•明水县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3：④4a+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b，其中结论正确的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个解：由题意可得，a＜0，﹣＝1，c＝3＞0，即a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，∴结论①符合题意；∵该抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜b2，∴结论②符合题意；∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），由抛物线的对称性可得该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，∴结论③符合题意；∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵该抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝a﹣（2a）+c＝3a+c＝0，∵a＜0，∴4a+c＝a+（3a+c）＝a+0＝a＜0，即4a+c＜0，∴结论④不符合题意；∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该二次函数的最大值为a+b+c，∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c，∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b，∴结论⑤符合题意，故选：B．6．（2分）（2023•广东模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．∴abc＜0，a﹣b+c＝0．∴①错误，②正确．∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝a﹣2a+（﹣3a）＝﹣4a，其值与a有关，∴③错误．∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．∴④正确．∵抛物线过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴4a+c＝a＜0，∴⑤正确．故选：C．7．（2分）（2023•古丈县一模）在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5 B．m≤5 C．m≥﹣5 D．m≤﹣5解：原抛物线开口向上，对称轴为：x＝，绕原点旋转180°后得到抛物线C'的开口向下，对称轴为：x＝﹣，∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴﹣≥1，∴m≤﹣5．故选：D．8．（2分）（2023•黑龙江一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（2c，0）．由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，①∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，∴＜0．故①正确；②把B（2c，0）代入解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac+2b+1＝0，即2b+4ac＝﹣1，故②正确；③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，由韦达定理可得：x1•x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，∴a＝﹣．故③正确；④∵a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，∴c＝2b+1．故原抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．∴对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，∴PQ＝AB＝[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．综上所述，正确的有4个，故选：D．9．（2分）（2022•烟台一模）表中所列x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中﹣3＜x1＜x2＜x3＜x4＜1，n＜m．x…﹣3x1x2x3x41…y…m0c0nm…根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣≤k＜；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：①由表格可知，当x＝﹣3和x＝1时，函数值相等，∴对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，即b﹣2a＝0，故①正确，符合题意；②由表格可知，﹣1＜x3＜x4＜1，且0＜n＜m，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴a＞0，∴b＝2a＞0，由表格可知，当x＝x1和x＝x3，函数值相等，又∵a＞0，x1＜x2＜x3，∴c＜0，∴abc＜0，故②正确；③由上分析可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，又∵b＝2a，∴y＝3a+c＞0，故③正确；④当x3＝，c＝﹣时，可知函数过点（，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线跟x轴的另一个交点（﹣，0），∴函数的解析式可设为y＝a（x﹣）（x+），∵c＝﹣，∴﹣×a＝﹣，解得a＝1，∴函数解析式为：y＝（x﹣）（x+），画出函数图象如下图所示：当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣）（﹣3+）＝，当x＝0时，y＝c＝﹣，又抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣），∴当k＝﹣时，直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点；∴若直线y＝k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣＜k≤或k＝﹣；故④不正确．故选：C．10．（2分）（2022•市中区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w＝S△ABG：S△BGP，则w的最小值是（）A． B． C． D．解：∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，如图：设P（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3，设直线AP的解析式为y＝cx+d，∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），∴，解得：，∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3．设直线BE的解析式为y＝ex+f，∵B（3，0），E（0，﹣2），∴，解得，∴直线BE的解析式为y＝x﹣2，联立方程组，得：，解得：，∴yG＝，∵0＜m＜3，∴24﹣8m＞0，3m﹣11＜0，∴＜0，∴w＝＝＝＝，令z＝﹣3m2+8m+3＝﹣3（m﹣）2+，∵﹣3＜0，∴当m＝时，z取得最大值，w取得最小值为＝，∴w有最小值，最小值为．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•张店区校级二模）若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为﹣1或．解：有两种情况：①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，则m+1＝0，m＝﹣1；②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，则Δ＝0，∴（﹣3）2﹣4×（m+1）×2＝0，解得m＝．故答案为﹣1或．12．（2分）（2023•硚口区模拟）函数y＝|x2﹣2x+m|（m为常数且m＜0）有下列结论：①该函数图象与y轴交于点（0，﹣m）；②若m＝﹣8，当x＞3时，y随着x的增大而增大；③该函数图象关于直线x＝1轴对称；④若方程|x2﹣2x+m|＝4有三个实数根，则m＝﹣3．其中正确的结论是①③④．（填写序号）解：由题意得，要求函数图象与y轴的交点，可令x＝0，则y＝|m|．又∵m＜0，∴y＝﹣m．∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣m）．故①正确；当m＝﹣8时，函数为y＝|x2﹣2x﹣8|．令y＝0，则x1＝4，x2＝﹣2，故图象与x轴交点为（4，0），（﹣2，0）．令x＝0，则y＝8，故图象与y轴交点为（0，8）．又对称轴为x＝1．则函数y＝|x2﹣2x﹣8|的图象大致如下：∴x＞3时，图象变化是这样的：当3＜x＜4时，y随x的增大而减小；当x＞4时，y随x的增大而增大．故②错误；由题意可得，无论m为何值，对称轴均为x＝1，故③正确；当m＝﹣3时，函数为y＝|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|．如图2，方程|x2﹣2x﹣3|＝4的根可以看作图象y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝4的交点，如图2三个交点，故方程的解有三个，故④正确．故答案为：①③④．13．（2分）（2023•上杭县模拟）已知直线y＝2x+t与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有两个不同的交点A（3，5）、B（m，n），且点B是抛物线的顶点，当﹣2≤a≤2时，m的取值范围是m≤4或m≥4．．解：由题意，将A（3，5）代入y＝2x+t，则t＝﹣1．∴直线为：y＝2x﹣1．∵在B（m，n）在直线y＝2x﹣1上，∴n＝2m﹣1，B为（m，2m﹣1）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B，∴抛物线解析式可以表示为y＝a（x﹣m）2+2m﹣1．又A（3，5）在抛物线上，∴5＝a（3﹣m）2+2m﹣1．∴a（3﹣m）2＝6﹣2m＝2（3﹣m）．即a（3﹣m）2＝2（3﹣m）．∵A、B两点不同，∴m≠3．∴3﹣m≠0．∴a（3﹣m）＝2．∴m＝3﹣．∵﹣2≤a≤2，且a≠0，∴当﹣2≤a＜0时，可得m≥4；当0＜a≤2时，m≤2．故答案为：m≤2或m≥4．14．（2分）（2022秋•嵩县期末）已知函数y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过第二象限．解：由题意得：|m|+1＝2且m+1≠0，∴m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1，∴一次函数y＝x﹣1的图象不经过第二象限，故答案为：二．15．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是y3＜y2＜y1（用“＜”连接）．解：∵y＝x2+x+1＝（x+）2+，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，∵A（﹣3，y1）关于直线x＝﹣的对称点是（2，y1），B（﹣2，y2）关于直线x＝﹣的对称点是（1，y2），∵＜1＜2，∴y3＜y2＜y1．故答案为：y3＜y2＜y1．16．（2分）（2023春•昌江区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（—1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①a+b+c＞0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4，其中正确的有①③④．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），∴抛物线与x轴的另一交点B的坐标为（3，0），∴当x＝3时，y＝0，结论①成立；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3．∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+b＝﹣＜0，结论②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴a＝﹣．∵2≤c≤3，∴﹣1≤a≤﹣，结论③正确；④当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣a+c＝c＝n，∵2≤c≤3，∴≤n≤4，结论④正确．故答案为：①③④．17．（2分）（2023•东坡区模拟）已知抛物线，当x＝1时，y＜0：当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞c；②若c＞0时，则b＞；③已知点A（m1，n1）B（m2，n2），在抛物线上，当m1＜m2＜2b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞1．其中正确的为①②③．解：∵a＝＞0，∴该抛物线开口向上．当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0；∴该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×c＝b2﹣c＞0，∴b2＞c．故①正确．∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0；∴，整理得．∴若c＞0时，则b＞．故②正确．∵抛物线的对称轴为x＝＝2b．∴A（m1，n1）、B（m2，n2）均在抛物线对称轴左侧，其函数值随x的增大而减小．故③正确．∵方程两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝＝4b．∵b的范围无法确定，∴④不正确．故答案为：①②③．18．（2分）（2023•浠水县模拟）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足a2+2ac+c2＜b2.若当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同；当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，则二次项系数a的取值范围是＜x＜．解：∵当x＝t+2和x＝﹣t+2（t为任意实数）时ax2+bx+c的值相同，∴﹣＝＝2，∴b＝﹣4a，∵当x＝﹣2时，ax2+bx+c的值为2，∴函数y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，2），∴4a﹣2b+c＝2，∴4a+8a+c＝2，∴c＝2﹣12a，∵a2+2ac+c2＜b2，∴（a+c）2＜b2，∴（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，∵b＝﹣4a，c＝2﹣12a，∴（a+2﹣12a﹣4a）（a+2﹣12a+4a）＜0，∴（2﹣15a）（2﹣7a）＜0，∴＜a＜．故答案为：＜a＜．19．（2分）（2023•静安区校级一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为y＝﹣x2．解：该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣3）在函数图象上，代入得：100a＝﹣3，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；故答案为：y＝﹣x2．20．（2分）（2021•黄梅县模拟）在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为﹣2≤n＜1或n＝2．解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0或，解得，﹣2≤n＜1或n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2023•西湖区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．①求该二次函数表达式；②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．解：（1）①由题意，∵图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3），∴．∴．∴所求二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．②由题意，∵A、B在抛物线上，∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．上述两式相减得，﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．显然A、B是两个点，∴x1≠x2．∴x1﹣x2≠0．∴x1+x2＝2．∴s＝2．又C（s，t）是抛物线上的点，∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．即t＝﹣3．（2）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，∴a＜0，．∴b≤0．∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a过点（1，3），∴b＝2a+3≤0．∴a≤．又a＜b，∴a＜2a+3．∴a＞﹣3．∵a≤，∴﹣3＜a≤．又4a+b＝6a+3，∴﹣15＜6a+3≤﹣6．∴﹣15＜4a+b≤﹣6．22．（8分）（2023•双柏县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（2）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围．解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．如图1，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1．∵BC∥x轴，∴B、C故对称轴x＝1对称，BC＝4．∴点B的横坐标为﹣1．∴B（﹣1，3）．（2）如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，∴PQ＝PN＝MN＝2m．∴正方形的边MN在y轴上．当点M与O重合时，由，解得或．∴A（3，3）．观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3．23．（8分）（2023•锡山区模拟）为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/棵）0.410.4（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．解：（1）∵AB＝x，∴BC＝36﹣2x，y＝x（36﹣2x），∵0＜36﹣2x≤18，∴9≤x＜18．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）．（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，解得x1＝10，x2＝8，∵x2＝8时，36﹣2×8＝20＞18，不符合题意，舍去，∴x的值为10．（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∴x＝9时，y有最大值162（m2），设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，∴a+7b＝1500，∴b的最大值为214，此时a＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．24．（8分）（2022秋•临湘市期末）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件．（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？解：（1）设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，解得：x1＝12，x2＝16．答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．（2）设利润为y，则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝﹣20x2+560x﹣3200＝﹣20（x﹣14）2+720，∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．25．（8分）（2023•嵩县一模）如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m的D点时，与M点的水平距离EM为6m．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC与点M的水平距离为9m，高度为2.43m．球场的边界距M点的水平距离为18m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．解：（1）如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A，E，D的坐标分别为（0，2），（6，0），（6，2.6）设球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k由题意知抛物线的顶点为（6，2.6）故y＝a（x﹣6）2+2.6将点A（0，2）代入得2＝36a+2.6∴a＝﹣，故此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+2.6（2）该球员的判断不对，理由如下：当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43∴球能过网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0解得：x1＝6+＞18，x2＝6﹣（舍）故球会出界．26．（10分）（2023•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），∴解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．设直线BC的解析式为v＝kx+4，则0＝4k+4，解得k＝﹣1．直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设E（x，﹣x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），GH﹣EF＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴解析式的对称轴为﹣，∴H（2﹣x，﹣x2+x+4），∴GF﹣EH＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣2，依题意得2（﹣x2+2x+2x﹣2）＝11．解得x＝5（舍去）或x＝3．∴EH＝4，（3）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．∴A（﹣2，0）．同理，直线AC的解析式为y＝2x+4，∵四边形OENM是正方形，∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，∠OPE＝∠MQO＝90°，∠OEP＝90°﹣∠EOP＝∠MOQ．∴△OEP≌ΔMOQ（AAS）．∴PE＝OQ，PO＝MQ．设E（m，﹣m2+m+4），∴PE＝OQ＝﹣m，PO﹣MQ＝﹣m2+m+4．则M（m2﹣m+4，m），∵点M在直线AC上，∴m＝2（﹣m﹣4）+4．解得m＝4或m＝﹣1当m＝4时，M（0，4），E（4，0），即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：当m＝﹣1时，M（﹣，﹣1），E（﹣1，），点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，N（﹣1﹣，﹣1），即N（﹣，）．当OM沿着点O逆时针旋转90°得到OE，设M（a，b），则点E（吧，﹣a），∵点M在y＝2x+4，∴b