第五节函数的周期性对称性

考点一：判断函数的周期性及对称性1．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．3．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．4．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．注意：函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称．◆典例分析◆例1设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，故f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).例2已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是()A．2024B．2023C．1D．0答案D解析因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.例3(多选)下列说法中，正确的是()A．函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)D．函数y＝eq\f(x－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2答案ABC解析对于A，f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)＝eq\f(2x＋2－5,x＋2)＝2－eq\f(5,x＋2)，其图象可以由y＝－eq\f(5,x)的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－eq\f(5,x)的图象关于原点对称，故f(x)＝eq\f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；对于D，函数y＝eq\f(x－1,x－b)＝eq\f(x－b＋b－1,x－b)＝1＋eq\f(b－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－b＝0，,c＝1，))解得b＝3，c＝1，所以b＋c＝4，D不正确．◆对点练习运用◆1.已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则()A．f(2)＝0B．f(x＋4)为偶函数C．f(x)为周期函数D．f(x)的图象关于点(－4,0)对称答案ACD解析因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确．2.已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\f(x,2024)，则f(2024)等于()A.eq\f(3,2024)B.eq\f(1,2024)C.eq\f(1,1012)D．0答案D解析因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2024)等于()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.4.设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.5.函数f(x)＝eq\f(x＋1,x)的图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)答案B解析因为f(x)＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，由y＝eq\f(1,x)的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq\f(1,x)的图象，又y＝eq\f(1,x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋eq\f(1,x)的图象关于点(0,1)对称．考点二利用周期对称性求函数解析式或函数值1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．◆典例分析◆例1奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2023)＋f(2024)＝__________.答案－2解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2023)＋f(2024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2023)＋f(2024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.例2已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝eq\f(x,2024)，则f(2024)等于()A.eq\f(3,2024)B.eq\f(1,2024)C.eq\f(1,1012)D．0答案D解析因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.例3已知函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，满足对任意x∈R，都有f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，若f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))) D．(－∞，2]答案C解析由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝eq\f(3,2)，因为函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递增，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递减，因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≤\f(3,2)，,a<2a－1，))解得1<a≤eq\f(5,4).所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).◆对点练习运用◆1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于()A．－3B．－1C．1D．3答案C解析∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋6＝0，,4a＋12＝0，,10＋4a＋2b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))2.)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2024.5)等于()A.eq\f(17,16)B.eq\f(5,4)C．2D．1答案B解析由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，∴f(2024.5)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2024＋\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4).3.已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－1D．－eq\f(1,2)答案D解析设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x′＝2m，,y＝y′，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2m－x′，,y＝y′，))则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－eq\f(1,2).4.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(0)＝1C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0 D．f(1)＝1答案B解析因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.5.(多选)设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)为奇函数C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1,0)对称答案ABD解析∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误．考点三利用周期对称性比大小或解不等式◆典例分析◆例1已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则()A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)答案A解析因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3)．例2已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________．答案(－1,1)解析∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集为(－1,1)．例3已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为()A．0B．mC．2mD．4m答案C解析依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1＋x2＋…＋xm＝4×eq\f(m,2)＝2m.◆对点练习运用◆1.已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．2.已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案D解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．答案(－2,0)∪(0,2)解析根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．4.已知函数f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)答案C解析因为f(－x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又因为当x>0时，y＝2－x和y＝eq\f(2,x2＋11)单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋eq\f(2,x2＋11)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展开可得3m2－2m－1>0，解得m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)．5.已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3或x>\f(5,3)))))解析∵y＝f(x＋3)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝3对称．∵当x≥3时，f(x)＝log2x，∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，解得x<－3或x>eq\f(5,3).6.已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2，②f(x－2)为奇函数，③当x∈[0,1)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立．则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))，f(4)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))的大小关系为()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))B．f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))>f(4)答案C解析因为f(x－2)为奇函数，f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数，因为当x∈[0,1)时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)＋2×4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)－2×3))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>f(0)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,2)))>f(4)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2))).考点四局部奇偶性◆典例分析◆例1已知非常数函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有()A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称B．g(2023)＝0C．g(x)的最小正周期为4D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)答案ABD解析因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x)关于(0,0)中心对称，且直线x＝1为对称轴，所以直线x＝－1也是对称轴，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，则g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B正确；但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．例2(多选)已知奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x－1)为奇函数D．函数f(x)在[5,6)上单调递增答案ABC解析对于选项A，B，∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则－f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，由此可知选项A，B正确；对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)．在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，∴选项C正确．对于选项D，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则函数f(x)在[5,6)上的单调性等价于函数f(x)在[－1,0)上的单调性，又奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1,0)上单调递减．∴选项D不正确．例3(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是()A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称答案ABD解析对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确．◆对点练习运用◆1.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足f(x＋1)为奇函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝－coseq\f(πx,2)，下列结论正确的是()A．f(1)＝0B．f(x)的周期为2C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2)))＝－eq\f(\r(2),2)答案ACD解析因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，所以f(1)＝0，A正确；因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－coseq\f(πx,2)，所以f(0)＝－cos0＝－1，因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(2)＝－f(0)＝1，故f(2)≠f(0)，所以2不是f(x)的周期，故B错误；因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，周期为4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×253－\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又当x∈[0,1)时，f(x)＝－coseq\f(πx,2)，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2)))＝－coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，D正确．2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于()A．－3B．－1C．1D．3答案C解析∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(