83实数及其简单运算第1课时教案人教版(2024)七年级数学下册

第八章实数8.3《实数及其简单运算》第1课时

一、教材分析本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章实数8.3实数及其简单运算，内容包括：第1课时无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系.本节课在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围，本章的内容在中学数学中占有重要地位，它不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是高中数学学习函数、不等式等知识的基础.学生在七年级上学期学习了有理数，在本章前两节的学习过程中知道了许多正有理数的算数平方根都是无限不循环小数.本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入无理数，揭示出有理数和无理数的联系与区别，有助于学生理解实数定义，随着无理数的引入，出现了实数概念，数的范围由有理数扩充到实数，接着类比用数轴上的点表示有理数，指出实数与数轴上的点的一一对应的关系，实数的概念贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的.基于以上分析，本节课的教学重点是：理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类.

二、学情分析无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的数学定义非常高深，再加上初中生对无理数几乎没有任何感性认识，甚至对无理数是否真正存在还有质疑，因此认识无理数就成了初中数学学习中的一个难点，为了突破这一难点，应从学生熟悉的有理数入手，通过与有理数对照的方法引入无理数的概念，进而揭示出有理数和无理数的联系和区别.基于以上分析，本节课的教学难点是：对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.

三、教学目标1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类；2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系；3.体会“数形结合”的数学思想，通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用.4.通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神.

四、教学重难点重点：理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类.难点:对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.

五、教学过程复习回顾问题1：我们在第一章学过有理数，请大家回忆有理数的定义及分类.答：定义：整数和分数统称为有理数.分类：将有理数按定义分类：将有理数按性质分类：填一填，回答问题.答：问题2：上表中所填的这些数都是有理数吗？答：±1，±2，−1，1这些是有理数，±2，32，追问：±2，32，师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.探究新知活动一：探究无理数的定义问题3：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么?4，52，−35，274，师生活动:学生在学案上把这些分数写成小数的形式并观察特征，完成后，师生共同评价.教师进一步引导，通过刚刚的探究整数和分数都能写成有限小数或无限循环小数的形式，整数和分数统称为什么数?分析：4=4.0，52=2.5，274=6.75，119提示：整数可以写成小数点后为0的小数.归纳：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数的本质特征是有限小数和无限循环小数的形式.问题4：把2，35，π师生活动:如果学生回答起来有困难，教师进一步引导：这几个数中哪个数的小数形式见过?并展示2写成小数形式的图片，然后得出结论，这几个数写成小数的形式都是无限不循环小数.答：2=1.41421356237309504⋯35π=3.1415926535897932384⋯结论：这些都是无限不循环小数，不能写成两个整数之比(分数)的数.归纳：无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.常见的无理数的形式:①开方开不尽的数的方根，如32，5②π及化简后含π的数，如π+1等；③有规律但不循环的小数，如0.3030030003⋯(相邻两个3之间依次多一个0)注意：像有理数一样，无理数也有正负之分，例如，5是正无理数，−5我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数.《九章算术》公元1世纪初成书，标志着中国古代数学体系的形成.全书采用问题集形式，共246问，列为九章.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”.活动二：探究无理数的分类问题5：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？师生活动:先回忆有理数按定义分类的方式，然后类比得出实数按定义分类的方式，先让学生独立完成，然后小组讨论，接着让学生类比有理数按正负分类的方式，独立得出实数按正负分类的方式，最后在教师的引导下共同完成实数思维导图.答：按定义分：按正负分：由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以非0实数也有正负之分，于是实数也可以这样分类:活动三：探究实数与数轴上点的对应关系问题6：有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？同学们能在数轴上找到表示2，π这样的无理数的点吗?以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O’，点O师生活动:学生独立思考，教师提示学生思考π在几何图形上的作用：π可以用于计算圆的周长和面积.教师展示半径为1的圆上的点滚动一周的运动路径，顺势指出：因为半径为1的圆的周长为π，所以数轴上点O’表示的数是无理数π从图中可以看出，OO’的长是这个圆的周长π，所以点O’对应的数是π.这样，数轴上的点问题7：你能把2和−2师生活动:学生独立思考，因为之前学习2是利用正方形边长进行探究，学生容易联想到边长为1的正方形的对角线长就是2.教师引导学生利用尺规作图,自己在数轴上尝试画出2和−2如图，把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为2可知其边长为2.从而说明边长为1的小正方形的对角线长为2.画法：以原点为底边起点，画边长为单位长度的正方形，其对角线长即为2；以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧；与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就表示−2总结：实数与数轴上点的关系：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.活动四：探究实数的大小比较问题8：不用计算器，5与2比较哪个大?与3比较呢?师生活动：教师提出问题，学生独立思考，教师引导，共同分析解决问题.分析：5与2可以分别看作是面积为5和4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此5>同样，因为5<9，所以，因此5<3与有理数一样，实数也可以比较大小：与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.总结：在实数范围内：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.应用新知【经典例题】例1指出下列各数中的有理数与无理数:3.14；π2；0；119；3.14；311；−解：有理数：3.14；0；119；3.14；−无理数：π2；311；总结：①无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，例如，0.3=1②含有根号的数不一定是无理数，例如，9(9=3)是有理数.例2比较下列各组数的大小：(1)π，3.146；(2)3，1.731；(3)5−3，5−22；(4)2解：(1)∵π≈3.142，∴π<3.146.(2)∵3≈1.732，∴3(3)∵5≈2.236，∴5−3<0，5(4)∵222=12，3总结：常见无理数的近似值：π≈3.142；235师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.课堂练习【教材练习】1.判断题.(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)用根号表示的数都是无理数；(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数.答：(1)×无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数.无限循环小数是有理数.(2)√(3)×例如：16=4，16(4)×所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点都表示实数.(5)√2.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根与立方根中，哪些是有理数?哪些是无理数?解：∵0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根分别是0，1，±2，±3，±2，±5，±6，±7，立方根分别是0，1，32，33，34，35，36，37，∴0，1，4，9的平方根是有理数；2，3，5，6，7，8，10的平方根是无理数.0，1，8的立方根是有理数；2，3，4，5，6，7，9，10的立方根是无理数.3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接):−2，2，32，−π分析：根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大可得答案.解：下列实数表示在数轴上如图所示：大小：−π<−2<2<3总结：①数轴上的任何一点表示的数不是有理数就是无理数；②在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置，而不能标出其准确位置.师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.【限时训练】1.下列实数中，无理数是()A.17B.7C.0.1010010001D.答：B2.无理数10在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间分析：∵9<∴3<10故选B.答：B3.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为2和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A.6个B.5个C.4个D.3个分析：∵1<2<2，∴A，B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个.故选C.答：C4.如图，在数轴上表示实数15的点可能是()A.点PB.点QC.点MD.点N分析：∵9<15<∴在数轴上表示实数15的点可能是点M.故选C.答：C5.已知a为57的整数部分，则a−323分析：∵49<57<64，∴7<57∴a=7.∴a−32∵1<3<4，∴1<3∴a−32故答案为:大于.答：大于课堂总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.1.本节课你学到了什么？2.无理数和实数的概念是什么？3.按照定义和正负如何对实数进行分类？4.实数与数轴的关系是什么？

六、板书设计

七、教学反思本节课首先梳理有理数的相关知识，类比有理数的研究思路，明确实数的学习方法.然后将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引出无理数，揭示出有理数和无理数的区别，有助于学生理解实数的定义.随着无理数的引入，得到实数的概念，数的范围从有理数扩充到实