华科附中2026届高二3月月考数学试题（解析）

华科附中2023级高二年级下学期三月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某校高二年级6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分步乘法即可.【详解】对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法，故选：D.2.已知曲线上一点，记为函数的导数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导可得，进而求解.【详解】，，所以，所以.故选：D3.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果.【详解】，，在点处的切线方程为：，令得：，.故选：D.4．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．已知，若=，，则b的值可以是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】A【详解】令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被4除余3．故选A.5.数列满足，且对任意的都有，则下列表述不正确的是（）A. B.数列的前项和为C.数列的前项和为 D.数列的第项为5050【答案】C【解析】【详解】因为，所以，又，当时，所以，也满足，故对任意，.所以数列的第项为，故A正确，D正确；所以，所以数列的前项和为，故B正确，C错误．故选：C.6.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（）A.26 B.28 C.29 D.30【答案】C【解析】【分析】依据题意列出不同情况，再利用分类加法计数原理求解即可.【详解】满足的自然数有四组，分别是：；；；；那么有序数组有：个.故选：C7.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2ex－2e－x+1，其中e为自然对数的底数，记等差数列的前项和为，若，，则（）A.-2025 B.-4050 C.2025 D.4050【答案】A【详解】令g(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2ex－2e－x，则的定义域为，又为奇函数，g′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2eq\r(4ex·e－x)＝x2≥0，∴g(x)在R上是增函数.，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以.故选：A8.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C【点睛】关键点点睛：的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围，属于难题.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在上单调递减C.函数在处取得极小值D.函数在处取得极大值【答案】AD【解析】【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.10．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”就是其对称中心。已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（

）A．B．方程有三个根C．若关于的方程在区间上有两解，则或D．若函数在区间上有最大值，则【答案】ABD【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可.【详解】对于三次函数，则，，若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点），令，则，所以，依题意的极大值点和极小值点分别为，且有，所以的对称中心为，对于A，由，可得，，所以，即，解得，故A正确；对于B，因为，，当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，则的图象如下所示：

由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确；对于C，又，若关于的方程在区间上有两解，即与在区间上有两个交点，则，故C错误；对于D，由，若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确.故选：ABD11.下列不等式中，正确的是（）A. B. C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对①构造函数，，利用其单调性即可判断；对②和④分别利用正切函数和余弦函数单调即可比较大小，对③利用函数，的单调性即可.【详解】【详解】对A，令，则，当e时，，此时在（0，e）上单调递增，当e时，，此时在（e，）上单调递减，所以，，所以，故A正确；对B，设，，则，再令，则，，则在上恒成立，则在上单调递减，则，则在上恒成立，则在上单调递减，因为，则，则成立，故B不正确；对C，由时，所以，令，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，所以，所以，当时取等号，所以，即，又，所以，所以，故C正确对D，令，，f'(x)=(，则在上恒成立，则，即，故D正确；第II卷（非选择题）填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法。(用数字作答)【答案】【解析】【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,所以一共有种分派方案.故答案为:.13.已知数列：1，1+2，1+2+4，1+2+4+8，，依此类推。记数列的前项和为，则=_____。【答案】2n+1-n-214．汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，记至少移动的次数为，例如：，则H（3）=，H（n）=。【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：，共7次，故；由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,所以，而，故为等比数列，故即.解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分13分）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中系数最大的项。【答案】(1)证明见解析(2)第二项和第三项【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.②假设第r+1项系数最大，根据和，解出的范围，进而可求解.【详解】（1）证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，（舍）或.二项展开式中第项，令，所以展开式中没有常数项得证.（2）由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项16.（本小题满分15分）若函数.（1）若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=-4x+m，求实数a，m的值；（2）已知，（e为自然对数函数的底数），若f(x)在区间上的最小值为，求实数的值。【详解】（1），又，所以．（2）.当时，.当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，于是，解得.【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.17.（本小题满分15分）东湖高新区为提高市民的健康水平，拟在半径为20米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，，，三点在圆弧上，中点恰好在圆心．设，健身广场的面积为．

(1)求出关于的函数解析式；(2)当角取何值时，健身广场的面积最大？其最大面积是多少？【答案】(1)(2)；【分析】（1）借助三角函数将矩形的长与宽，三角形的底与高表示出来，利用面积公式求解面积再相加即可.（2）借助导数研究函数的单调性，求出的最大值，进而得到的最大值即可.【详解】（1）由已知得，等腰底边上的高为，而，，，得到.（2）设，则，令，由，可得，令，可得，故在上单调递增，在上单调递减，则时，有，故，即时，健康广场的面积最大，最大值为.18．（本小题满分17分）设是等差数列，数列的前项和为，满足2Sn+3=3bn，且，，.(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围。【答案】(1)，(2)(3).【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．【详解】（1），．（2）当为奇数时，，记，则有，，得：，，，当为偶数时，，记，，．（3）由与恒成立，可得恒成立，恒成立，即求的最大值，设，，单调递增，又，，．（本小题满分17分）已知函数.（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；（2）当时，讨论方程的根的个数.（3）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由。【答案】（1）；（2）.（3）满足条件的两点不存在【解析】【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围；（2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零