选择性第七章随机变量及其分布专题一-条件概率与全概率公式

选择性必修第三册第七章随机变量及其分布条件概率与全概率公式知识构建知识点一条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．知识点二概率乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则为概率的乘法公式．知识点三条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．知识点四．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．二、类型归纳类型一条件概率的定义及计算 类型二条件概率的性质及应用类型三利用全概率公式求概率类型四条件概率和全概率公式的综合问题类型应用【例1】（2324高二下·天津北辰·期中）已知，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】计算条件概率【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】因为,所以.故选：C.【跟踪训练11】（2425高二上·河南·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】计算条件概率【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.【详解】由，故选：B【例2】（2425高二下·全国·课后作业）若，，则．【答案】/【知识点】计算条件概率【分析】利用条件概率公式求解即可.【详解】因为，所以．故答案为：【跟踪训练21】（2425高二下·天津·阶段练习）已知，，则.【答案】/【知识点】计算条件概率【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：.【跟踪训练22】（2425高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算条件概率【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】由，则.故选：A.【跟踪训练23】（2425高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（

）A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解【答案】A【知识点】条件概率性质的应用、独立事件的乘法公式【分析】根据相互独立事件的定义可得.【详解】相互独立，，．故选：A.【跟踪训练24】（2425高二下·江西吉安·阶段练习）某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是．【答案】【知识点】计算条件概率【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师，则，，而设女数学教师被选到的概率是，由条件概率公式得．故答案为：.【例3】（2324高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】条件概率性质的应用【分析】根据条件概率公式进行计算.【详解】设第一次取到白球为事件，则，设第二次取到白球为事件，则，所以.故选：B【跟踪训练31】（2223高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算条件概率【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”，则，所以.故选：A.【跟踪训练32】（2324高二下·山东泰安·期末）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为．【答案】/0.5【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，则，，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.故答案为：.【跟踪训练33】（2425高二下·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为.【答案】【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，由已知根据条件概率的计算公式求解即可.【详解】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，因为，，所以.故答案为：.【例4】（2324高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】分别写出事件和事件包含的基本事件，由条件概率计算公式得到.【详解】记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，事件，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，所以．故选：D.【跟踪训练41】（2324高二下·天津河东·期中）某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：团员非团员合计男生16925女生14620合计301545如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算条件概率【分析】运用条件概率公式求解即可.【详解】设事件表示选到团员，事件表示选到男生，则．故选：A.【跟踪训练42】（2425高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可.【详解】记“派出的2人中有男生”为事件A，“另一人恰好是女生”为事件.则.故选：C.【跟踪训练43】（2324高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为.故选：B.【跟踪训练44】（2324高二下·天津·期中）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则.【答案】【知识点】计算条件概率【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】，，所以.故答案为：.【跟踪训练45】（2425高二下·全国·课堂例题）已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题：(1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率；(2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率.【答案】(1)(2)【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得；（2）根据条件概率公式可得.【详解】（1）由题意共有30个学生，喜欢长跑的有18人，设“所抽到的学生喜欢长跑”为事件，则.故所抽到的学生喜欢长跑的概率为（2）设“所抽到的学生为男生”为事件，则由题意，,故，即已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率为【例5】（2425高二下·陕西渭南·开学考试）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球.(1)求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.(2)求第二次才取到红球的概率.【答案】(1)(2)【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式【分析】（1）利用条件概率的定义并结合古典概型即可得到答案；（2）利用条件概率公式即可.【详解】（1）若第一次取出红球，此时袋中有3个红球，5个白球，则第二次取出红球的概率为.（2）用表示第次取到红球，则第二次才取到红球的概率为.【跟踪训练51】（2425高二下·全国·课后作业）若，，，则；.【答案】/0.22/0.55【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率【分析】由对立事件、条件概率计算公式即可求解；【详解】因为，所以，所以，，所以.故答案为：0.22；【跟踪训练52】（2324高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则..【答案】//【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果.【详解】由概率的乘法公式得，因为，，则，所以由条件概率公式得，故答案为：；【跟踪训练53】（2425高三上·贵州贵阳·阶段练习）对于随机事件，若，，，则.【答案】【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用【分析】利用条件概率公式得到，从而.【详解】，又，所以，因为，所以.故答案为：【跟踪训练54】（2425高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可.【详解】因为，即，解得，又因为，即，解得，且，可得，所以.故选：A【例6】（2025·湖北·模拟预测）小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.21【答案】A【知识点】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式计算即可得到结果.【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为，故选：A.【跟踪训练61】假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为．【答案】0.85/【知识点】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式求解．【详解】由题意可知，这个灯泡是合格品的概率为．故答案为：0.85．【跟踪训练62】（2425高二上·江西赣州·期末）某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（

）A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88【答案】C【知识点】利用全概率公式求概率【分析】利用全概率公式求解.【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”，“从车间中随机取出一件产品是合格品”，则，所以，故选：C【跟踪训练63】（2324高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为．【答案】【知识点】利用全概率公式求概率【分析】直接由全概率公式即可求解.【详解】由全概率公式可知，所求概率为.故答案为：.【跟踪训练64】（2324高二下·天津·期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率【分析】根据条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式，即可求出结果.【详解】由题知，产品是次品的概率是，故选：D.【跟踪训练65】（2324高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9【答案】B【知识点】利用全概率公式求概率【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】依题意李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，即选择、、路线的概率均为，又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，所以堵车的概率.故选：B【例7】（2425高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（

）A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12【答案】A【知识点】利用全概率公式求概率【分析】根据全概率公式，即可求得答案.【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，与互斥．依题意得，，．由全概率公式，得，故选：A【跟踪训练71】（2425高二上·辽宁沈阳·期末）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（

）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25【答案】A【知识点】利用全概率公式求概率【分析】应用全概率公式求答对题目的概率.【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且，所以.故选：A【跟踪训练72】（2324高二下·天津·期中）为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（

）A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30【答案】B【知识点】利用全概率公式求概率【分析】由题意转化为全概率公式，即可求解.【详解】设事件为选到一位男同学，事件为选到一位女同学，事件位擅长中华诗词朗诵，则，，，,所以，.故选：B【跟踪训练73】（2425高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（

）A．0.08 B．0.15 C．0.1 D．0.9【答案】C【知识点】利用全概率公式求概率【分析】根据全概率公式，即可求解.【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件，则，，且，，则.故选：C【跟踪训练74】（2324高二下·天津·期末）甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为.【答案】【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率【分析】分析可知3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况，根据古典概型分析求解；设相应事件，根据题意可知相应的概率，利用全概率公式运算求解.【详解】若A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况，所以3个球颜色不全相同的概率为；记“一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”为事件，“B同学摸到红球”为事件，则，所以.故答案为：；.【例8】（2425高二下·全国·课后作业）已知，，，则（

）A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47【答案】D【知识点】利用全概率公式求概率【分析】由全概率公式即可求解；【详解】由，可得所以：．故选：D【跟踪训练81】（2324高二下·天津河西·期中）某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则小李第二天去乙家餐厅的概率为．【答案】/0.3【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率【分析】先将事件用字母表示出来，再利用条件概率和全概率公式即可解决.【详解】解：设A1＝“第1天去甲餐厅用餐“，B1＝“第1天去乙餐厅用餐”，A2＝“第2天