函数及其表示

PAGE1函数及其表示【目标】1、理解映射、函数的定义、及二者的区别与联系，正确地求出函数的定义域和值域。2、能用不同的方法表示一个函数，及灵活地求函数的解析式。【重点难点】重点：函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法。难点：求解函数的解析式。【内容】背景：1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。映射的定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都存在唯一的一个元素与之对应，那么，就称对应为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一多对一注意：为某种对于关系集合A中的任意元素（即所有元素）集合B中都存在唯一元素3、函数的定义设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合A中的任意一个数，在集合B中都存在唯一确定的数与之对应，那么，就称对应为集合A到集合B的一个函数。记作。其中叫自变量，的取值范围A叫函数的定义域；而与的值相对应的y值叫函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。那么函数的值域与集合B的关系呐？函数的三要素：（1）定义域（2）值域（3）对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。注意：函数是特殊的映射函数的三要素区间的概念：设,且.我们规定：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨函数的表示方法三种表示方法：（1）解析法（2）图像法（3）列表法分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。小结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消除参的方法求出。【例题讲解】例1设，,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足,试确定这样的映射的种数.例2已知，,求.例3已知函数，求（1）函数的定义域；（2）、的值；（3）当时，求。例4已知：，求的值。例5根据条件求下列各函数的解析式：已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求【过手练习】1、下列函数是否是同一个函数：（1）（2）（3）2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为3、求函数，则的值域为4、已知函数满足，则【拓展训练】1、已知函数满足：，，则.2、已知，试求的最大值。3、设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.【课后作业】（1）已知集合，下面从A到B的对应关系不是映射的是（）A.B.C.D.（2）已知函数，那么集合中所含元素的个数是（）A.0B.1C.0或1D.1或2（3）（2009江西卷文）函数的定义域为 （）A．B．C．D．2.函数，求其定义域和值域. 3.回忆映射、函数的