清晰数学及其应用

清晰数学及其应用

文［2］内容简介

本书系统地总结了用来表达和处理模糊信息新的数学工具——清晰集理论的研究结果。第•章分析了模糊

数学儿个重要的基本概念相等、包含、取大、取小等错在什么地方；第二章在第一章讨论的基础上提出了清晰

集及其相关概念的新定义，给新理论开了头；第三章用清晰集理论分析了几卜年来模糊论者和概率论者的争论

的实质，说明了谁对谁非；第四章说明模糊数学的错误所引起的第四次数学危机；第五章至第八章研究了模糊

集理论应用的三个重要方面：模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊综合评判以及模糊控制、模糊逻辑的重要理

论基础的模糊关系矩阵合成公式的错误。第七章证明了历史上用直尺和圆规研究三等分•角成为平面几何的三

大难题之一，后来被人们证明是不可能的。三十多年来，那么多人致力于无为的，-范数的研究中，企图解决

模糊关系矩阵的合成问题，这里证明了不但用，-范数的思想解决不了合成问题，而且进一步证明用S-范数和

/-范数的思想也不能解决此问题。这就是说要想解决其合成问题，必须抛弃L.A.Zadeh的6-范数和范数

思想，再找它途。第八章利用第七章的结果，说明了模糊综合评判的严重错误，第十章和第十一章说明模糊模

型识别的严重错误，这些也是在为清晰集的应用做准备。第九章综合前各章指明模糊数学体系的错误，说明模

糊数学的危机狼烟四起！

综上所述，可知清晰集理论虽然刚产生不久，但它是从事模糊信息的数学表达和处理的研究者们人手一册

的必读材料，尤其世界上那么多国家，那么多从事模糊数学研究的人。若不然，他们将会在错误的路上狂奔，

对人力和物力会造成多大的浪费。相信，不论创始人、院士、博导、……只要看了即懂。连21岁的大学生王

肖看了还能写出《贴近度公理定义讨论》，用以否定了模糊数学中几十年来推广应用的距离贴近度公式见这样

有理论价值的文章，难道名人却看不懂了，连一个普通大学生也不如！本来我不当说这些，可是近几年一些权

威们的态度，实在让人感到不易接受。反动宗教势力烧死哥白尼的弟子布鲁诺、Pythagoras处死Hippasus的

事，如今不会重现。尤其在以胡锦涛主席为首的党中央提倡科教兴国的大好环境下，更不会出现长期阻止真理

的发展！

说明：本书第一，二，十二，十四章的引文指文【2】的参考文献。见P159-160《清晰集及其应用》的参考

文献。

11

作者简介

王商女，1985年1月出生于河北省保定市，大学本科毕业正在攻读硕士学位。于2004年加入未确知数学研

讨班，在吴和琴教授的带动下，开始研究模糊数学。在2007年，发现了模糊模型识别中贴近度公理在实践应

用中的错误，并举出反例，写成论文《贴近度公理定义讨论》现已发表。在此期间，先后发表论文《未确知决

策在股票风险投资决策中的应用》、《浅析太空材料的应用》、《清晰数的概念和运算》、《清晰有理数的减法运算》

和《清晰有理数的乘法运算》等多篇文章。现今在结合《清晰集及其应用》的基础上，建立了清晰数学的基本

理论体系，为实际应用中处理模糊信息提供了一定的帮助，经过不断修正得到此书稿——清晰数学及其应用。

吴上蓼男，1933年11月生，河南汝阳人，大学文化，河北工程大学不确定性数学研究所名誉所长、教授，

国际一般系统研究会中国分会不确定性系统专业委员会理事，中国管理科学研究院终身研究员等职。在科研中

乐意与人合作，在每个研究方向都有一批人与其共同努力，自己写的文章和书稿在未发表前就让别人看，征求

别人的意见，这样既有益自己也有益他人，工作进展都较快，同时也是推广。长期与人合作从事函数的周期性、

灰色数学、未确知数学、不确定性信息的综合处理的研究，各方向都发表有•批论文和写有专著。现在主要的

研究方向为不确定性信息的综合处理，合理使用专家的数学理论，即专家意见的不确定性量化法及其在各种领

域中的应用与清晰集理论。其研究项目为国家自然科学基金会资助项目“未确知信息处理方法研究”和河北省

自然科学基金资助项目“处理未确知信息理论与方法”，国内曾获河北省自然科学奖三等奖、教委科技进步奖

二等奖等。撰写论文《复三角多项式周期性的判定和最小周期点的计算》、《灰数》、《未确知有理数的定义、运

算及在建筑工程中的应用》、《信息混沌和盲数》、《再与模糊数学创始人L.A.Zadeh商榷》、《清晰集》、《第四次

数学危机》、《评”模糊数学与概率论的无休止论战”》、《模糊数学危机狼烟四起》、《向其作品已被SCI引用1269

次作者请教》、《模糊关系矩阵合成公式再讨论》等近百篇；专著《函数周期性初论》、《灰色数学引论》、《未确

知数学》、《未确知有理数论》、《不确定性信息数学处理及应用》、《合理使用专家的数学理论》。晚年，义务为

年轻人办研讨班十年之久，使参加者许多人发表了论文，在科技活动竞赛中获奖。2006年还被评为“优秀指导

教师”。从2004年开始和吴华英、王肖等共同研究表达和处理模糊信息的新的数学工具一清晰集理论。其事迹

先后在中央电台、河北电台等电视、杂志和报纸上广播和刊载过，在国外曾被美国传记学会列为四分之一世纪

中世界上五百个有影响的先驱者之一载入名人录。

吴华英女，1977年4月生，河南汝阳人，大学毕业。在父亲吴和琴指导下搞未确知数学研究。2004年又

开始研究表达和处理模糊信息的新的数学工具——清晰集理论。先后发表论文《未确知数学在工程管理中的应

用》、《不确定性量化法与不确定性决策》、《清晰集及其运算》、《清晰集和模糊集的关系》、《清晰集》、《再与模

糊数学创始人L.A.Zadeh商榷》、《第四次数学危机》、《评“模糊数学与概率论的无休止论战”》、《模糊矩阵合

成公式有误》、《模糊集理论推出的一个错误定理》等10多篇。2005年又系统地总结了近年来清晰集理论的研

究成果，为未确知数学研讨班学员写了作为研讨讲义的《清晰集初论》，后加补充完善即得《清晰集及其应用》

一书。2009年又对《清晰数学及其应用》讲义进行整理和增补，即得此书稿。

地址：河北省邯郸市河北工程大学家属楼12-2-2

邮编：056038电话/p>

111

序1

工作背景和成果意义：模糊信息是普遍存在的，但是用怎样的数学形式来表达和处理则是人们要考虑解决

的问题。1965年模糊数学创始人L.A.Zadeh提出模糊集而引出的模糊数学,则是人们要用来解决此问题的工具,

此以理论发展很快，应用遍及许多领域。

任何一门学说，都是由开始、发展和逐步完善的过程，开始会有不完善的地方，处理和表达模糊信息的数

学形式的有关理论，也不例外，本书正是考虑了近些年来一些人在模糊数学的理论研究和应用研究中发现的一

些问题的基础上给出用来表达和处理模糊信息的新的数学工具——清晰集理论的。清晰集对于模糊集来说，就

相当于历史上罗巴切夫斯基否定欧氏几何的平行公理，建立罗氏儿何进而证明欧氏儿何是罗氏儿何在某点附近

的近似一样，在这里要否定模糊集的有关基本概念，建立“清晰集”，进而阐明模糊集是清晰集中的某种等价

类，指出在模糊集的理论和应用研究中出现问题时应如何回到清晰集中找原因，解决问题。因此，可以说就表

达和处理模糊信息来说，清晰集理论要比模糊集更有效，理论基础更踏实。这是人类在表达和处理模糊信息方

法研究中的一次突破和创新。我国广大学者跟在别人后面做后继研究的局面将会改变，我国在此方面一定会居

于领先水平！

模糊集理论中的取大、取小运算、相等、包含关系的不完备性引出的问题及乎形成数学中的第四次危机，

得出了莫大的谬误：例如学过点模糊数学的人都知道：F集合不满足排中律，即：

A\JAC=X,AHA1=</>

一般不再成立，这样的谬误人们不但不去找其产生的原因，反而认为这是模糊性的特征所致，真像健康人脸上

长个大脓包，不是去找医治病，反而说脸上戴了朵大红花！难怪，Zadeh的接班人王立新教授呼出：雾茫茫，

模糊理论是不是正确的前进方向？

本书除分析了模糊集理论存在的问题和提出清晰集的基本理论之外，还将这些理论用于分析模糊集理论引

起的第四次数学危机。清晰集理论的进一步的工作将是它在各个领域中的应用。这将是一个很大的研究领域，

需要众多的人去努力发展它。但一定会成功！

本书的重点就是通过引入清晰数及其运算的概念，进而在此基础上建立了•系列应用模型。可以说清晰数

及其运算的概念在清晰集理论体系中的地位如同牛顿―莱布尼兹公式在微积分学中的地位，它将清晰集理论与

实际应用架起了一座美丽的桥梁，而这一重要工作主要是一位23岁的年轻人王肖完成的！

吴和琴

2008.8.25

序2

本书在《清晰集及其应用》中指出模糊数学的错误、提出清晰集理论的基础上，进一步建立

了清晰数学及其应用理论。它与模糊数学理论的目的是相同的，都是用来处理模糊信息，但是它

在实际应用中却更加合理。

本书建立了一套比较完整的清晰数学理论体系，包括：清晰有理数的运算法则及其性质、清

晰有理数的CUM模型、清晰有理数的均值、清晰综合评判和清晰综合评比等理论。有助于清晰

数学理论在实践中的应用，可以更方便、更有效地处理模糊信息。

由于作者水平有限，书中存在一定的错误和不足，希望读者多多指教。

如有疑问请联系我们：

王肖

通讯地址：上海市杨浦区军工路516号上海理工大学机械工程学院

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E-mail：wangxiao751512@163.com

吴和琴

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E-mail：linda77008@sina.com

吴华英

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目录

第一章模糊集概念讨论0

§1.1概念原理0

§1.2经典集合0

§1.3模糊子集及其运算2

§1.4模糊集举例分析3

§1.5小结4

第二章清晰集5

§2.1清晰集的概念5

§2.2清晰集的运算5

§2.3清晰集的量化6

§2.4清晰集并、交、余的隶属函数7

§2.5特征函数、清晰集和模糊集的关系7

§2.6小结8

第三章清晰有理数的概念9

§3.1清晰有理数的定义9

§3.2清晰有理数概念再讨论10

§3.3清晰有理数与实数的关系：13

第四章清晰有理数的加法运算及运算性质14

§4.1清晰有理数的加法运算14

§4.2清晰有理数加法的运算性质18

第五章清晰有理数的减法及运算性质20

§5.1清晰有理数的减法20

VI

§5.2清晰有理数减法的运算性质24

第六章清晰有理数的乘法及运算法则27

§6.1清晰有理数的乘法27

§6.2清晰有理数乘法的运算性质31

第七章清晰有理数的除法及运算性质37

§7.1清晰有理数的除法37

§7.2清晰有理数除法的运算性质42

第八章清晰数的可信度及CUM方法45

§8.1清晰有理数可信度的概念45

§8.2CUM方法46

第九章清晰有理数的均值48

§9.1均值的定义48

§9.2清晰有理数的均值的性质50

第十章清晰综合评判和清晰综合评比55

§10.1清晰综合评判55

§10.2清晰综合评判的运算模型56

§10.2清晰综合评比57

第H■一章清晰有理数的应用58

§11.1应用概述58

§11.2清晰数学中CUM模型在生产机械更新决策中的应用58

§11.3机械系统的可靠性预测60

§11.4机械传动系统方案的清晰综合评判66

第十二章第四次数学危机70

§12.1经典集合的有关知识70

§12.2构造性举例分析71

§12.3结束语72

VII

第十三章&ZQ拓扑学错了怎么办73

§13.1序73

§13.2"以◎拓扑空间的概念73

§13.3A/zzy拓扑学怎么错了73

§13.4清晰拓扑空间的概念74

第十四章模糊数学危机狼烟四起76

§14.1序言76

§14.2经典集合的有关知识77

§14.3构造性举例分析78

§14.4模糊矩阵合成公式引发的问题79

§14.5二元关系及其合成概念引出的悖论83

§14.6对为模糊数学建立公理化体系的四大学派工作的一些想法86

§14.7结束语86

参考文献87

附录88

附录1：再论第四次数学危机88

附录2：试说模糊数学危机原因分析与启示93

附录3：模糊数学危机不能用公理法和逻辑法解决98

附录4：中介数学系统已建立，为什么还会产生模糊数学危机104

附录5：可信性测度能扮演概率测度的角色吗110

附录6：模糊控制理论错在哪里119

附录7：模糊推理机研制理论基础错在哪里126

附录8：模糊逻辑错了132

附录9：第一次数学危机和第四次数学危机的比较138

附录10：向证明映射与与A是相互唯一确定的作者请教145

V111

附录11：向BelIeman请教148

附录12：清晰集和模糊集的比较153

后记161

ix

第一章模糊集概念讨论

模糊信息是普遍存在的，但是用怎样的数学形式来表达和处理则是人们要考虑解决的问题。

1965年模糊数学创始人LA.Zadeh提出模糊集而引出的模糊数学，则是人们要用来解决此问题的

工具，此以理论发展很快，应用遍及许多领域，如模糊控制、模糊模式识别、模糊综合评判、模

糊神经网络、模糊计算机等［5］［6］［7］。

Zadeh关于模糊集概念的提出是对人类的一巨大贡献，此理论应用广泛遍及众多领域，随着

研究的深入，一些问题也浮出水面。例如一段时间来就不只一个人对模糊集的包含和相等提出疑

意，即对

A=BoA(x)=B(x),

A=B=4(x)WB(x),

产生疑意。

本文根据文献［2］中的概念原理举例说明包含和相等的不完备性。

§1.1概念原理

数学概念实质上是性质的集合，但也不能随便凑儿条性质以构成概念，必须遵守一定规律一

一概念原理。

概念原理包括三条规律：

第一条概念的无矛盾性：所谓无矛盾性是指提出的概念的外延中确有其物，否则外延是一

个空集，那么建立的概念将毫无意义，概念的无矛盾性是通过构造模型来证明的，此规律也叫言

之有物。

第二条概念的独立性：所谓独立性是指任何一个性质都不可以用其中的其它性质推

出，独立性是通过构造其具有其它性质而不具有某一性的模型来证明的，此规律保证概念的

简炼。

第三条概念的完备性：完备性相对于建立概念者的事先目的，建立概念者在提出概念之前,

自己认为此建立的概念的外延中的每一个都应具有某性质，当建立概念之后，确能保证其每一个

都具有此性质时，则说此概念相对于此性质是完备的，此性质保证了不出现词不达意的错误。本

文的目的是要说明模糊集中的包含和相等这两个定义(概念)都不具有完备性，即产生了词不达

意，应当改正。

概念的不完备性在数学领域也屡有出现，这是由于人们开始对事物了解不详或由于疏忽造成

的，例如文献［2］中提到的周期函数的定义(概念)就不完备，然而上千年来人们一直沿用着这•

错误的定义，造成这一领域出现一系列错误定理。

本文根据文献［2］中的概念原理举例说明包含和相等的不完备性。

§1.2经典集合

1、集合及其表示

集合是现代数学中的一个基础概念，一些不同对象的全体称为集合，常用大写英文字母，X,

V，等表示，本文有时称集合为经典集合，这是为了区别于模糊集合等，集合内的每个对象称为

o

集合的元素，常用小写英文字母a,b,c,…表示，。属于A,记为awA；a不属于A,记为aeA。

不含有任何元素的集合称为空集，记为0。

只含有限个元素的集合，称为有限集，有限集所含元素的个数称为集合的基数，包含无限个

元素的集合称为无限集，以集合作为元素所组成的集合称为集合族，所谓论域是指所论及对象的

全体，它也是一个集合，常用X,丫，U,V,等表示。

2、集合的包含

集合的包含概念是集合之间的一种重要相互关系。

定义1设集合A和8,若集合A的每个元素都属于集合8,即xeAnxeB,则称A是8

的子集，记为A=5或83A。读作“4包含于B中”或“8包含4”。

显然AqA。空集0是任何集合A的子集，即又若则AqC。

定义2设集合A和8,若AqB且BgA,则称集合A与集合3相等，记为4=8。

定义3设有集合U,对于任意集合A,总有4=则称U为全集。

全集是个具有相对性的概念。

例如，实数集对于整数集、有理数集而言是全集，则整数集对于偶数集、奇数集而言是全集。

定义4设有集合4,A的所有子集所组成的集合称为A的嘉集，记为7(A),

即T(A)={B|BCA}O

由定义4知，基集是集合族。

3、集合的运算

定义5设4,BeT(X),规定

AU8AA或xe6},称为4与8的并集；

A[18白A且xe8},称为A与6的交集；

4屋卜卜2},称为A的余集。

4、集合的特征函数

定义6设4eT(X),具有如下性质的映射力A:X-{0,1}称为集合A的特征函数：

1,XGA;

然(x)=<一

0,XGA.

由定义可知，集合A由特征函数心唯一确定，以后总是把集合A与特征函数％A(X)看作是同

一的。

下面是特征函数与集合之间的几个基本关系：

(1)A=UO%A(X)=1,4=00心(X)三0；

(2)A鼠8eT(U)oZ⑴〈力B(X)；

(3)A=8eT(U)。/A(X)=%B(X)。这个性质表明U的任一子集A完全由它的特征函数确

定。

特征函数还满足：

%AUB(X)=—A(X)V%B(X)；

%AnB(x)=—4(x)A%B(X)；

ZAe(X)=l-ZA(X)o

此处“V”是上确界“sup”，“A”是下确界“inf”。

i

§1.3模糊子集及其运算

1、模糊子集的概念

经典集合A可由其特征函数%唯一确定，即映射ZA：X-｛0,1｝,X^XA(X)=\'-'确定

0,xeA

TX上的经典子集A。/A(x)表明x对-A的隶属程度，不过仅有两种状态：一个元素x要么属于A,

要么不属于A。它确切地、数量化地描述了“非此即彼”现象。但现实世界中并非完全如此。比

如，在生物学发展的历史上，曾把所有生物分为动物界与植物界两大类。牛、羊、鸡、犬划到动

物界，这是无疑的，而有一些生物，如猪笼草、捕蝇草、茅膏菜等，一方面能捕食昆虫，分泌液

体消化昆虫，像动物一样；另一方面又长有叶片，能进行光合作用，自制养料，像植物一样，并

不完全是“非动物即植物”，因此，不能简单地一刀切，可见在动物与植物之间存在有“中介状

态”。为了描述这种“中介状态”，需要将经典集合4的特征函数X'(x)的值域｛0,1｝推广到闭区间

[0,1]上，这样，经典集合的特征函数就扩展为模糊集合的隶属函数。

定义1设U是论域，称映射

1],

1]

确定了一个U上的模糊子集4,映射外称为4的隶属函数，〃式X)称为x对d的隶属程度，使

〃八*)=0.5的点x称为4的过度点，此时该点最具模糊性。

由定义可以看出，模糊子集&是由隶属函数从唯一确定的，以后总是把模糊子集d与隶属函

数4看成是等同的，还应指出，隶属程度的思想是模糊数学的基本思想。

当4的值域为｛0，1｝时，模糊子集4就是经典子集，而外就是它的特征函数，可见经典子

集是模糊子集的特殊情形。

U上所有模糊子集所组成的集合称为U的模糊累集，记为T(U)。

为简便计，今后用出外来代替4(》)，模糊子集简称为模糊集，隶属程度简称为隶属度。

2、模糊集的运算

现将经典集合的运算推广到模糊集，由于模糊集中没有点和集之间的绝对属于关系，所以其

运算的定义只能以隶属函数间的关系来确定。

定义2设A,B"U),则有

包含：A=6oA(x)WB(x),VxeU；

相等：A=BoA(x)=B(x),Vxel/o

定义3设d，BeT(U)

并：dug的隶属函数〃a)为

(AuB)(x)△A(x)V8(x),VxeU；

交：dng的隶属函数〃(X)为

(dng)(x)Ada)Ag(x),vxeu；

2

余：A，的隶属函数〃(x)为

Ac(x)Al-A(x),Vxet/o

§1.4模糊集举例分析

1举例

为了便于说明问题，先给出两个模糊集的例子，设论域U由三个元素构成，第一个为半

红，半黑的黑红园，记作〃|；第二个为:红色，；黑色，；白色的园记作〃2；最后一个为全

白色的园，记作〃3,即

半红半黑园）〃2（（红:黑；白园）〃3（白园）｝

首先U中元素具有的颜色这种性质构成集合

/=｛黑红白｝。

产的子集

片=4=｛黑｝鸟=42=｛红｝

构造函数"：

瓦（对）=3,眼（的尸；’"4（内尸。

"4（%）=：，"4（%尸o

在这里我们给出了2个函数：

"4（M）、"&（〃），它们的定义域为。=｛〃”〃2，"3｝，其值在［0,1］上，以这些函数为隶属函数，

相应地有论域U上的2个模糊集，相应的模糊集用耳，用表示。

这里和"小（〃）虽然定义域和值是相同的，但含义不同，"M"）表示〃属于黑园的程度，

而"人（“）表示〃属于红园的程度，它们分别对应着园的黑色部分和红色部分为整个园的程度。

2集合相等的完备性

在康托集合中两个集合4和8相等指A中的所有元素都在8中，而8中的所有元素也在A中,

即xeA-xeB且XGB-这是两个集相等的真实含意，也叫集合相等的完备性。而模糊

集,和无相等的真实含意应是指所有元素属于4的部分都在无中，而无中所有元素的部分也在

%中，这应是模糊集相等的真实含意，也叫模糊集相等的完备性。按照完备性的要求4和凡是

不可能相等的。因为4中元素的部分为黑色的，入中元素的部分是红色的，根本没有相同部分,

但按模糊集相等的定义由RA,（X）="&（》），得％=&，从而知模糊集相等的定义是不具备完备性

的，即产生了词不达意，应当改正，否则在理论研究中或实际应用中会产生一系列问题。

3集合包含的完备性

在康托集合中集合A包含于集合8是指A中的元素都在8中，即xeAfxeB。这是包含的

真实含意，也叫集合包含的完备性，而模糊集％之用的真实含意应该是指所有元素属于4的部

分都在西中，这应该是模糊集包含的真实含意，也叫模糊集包含的完备性。按照完备性的要求

4项用是不可能的，因为4中元素的部分是黑色的，孔中元素的部分是红色的，根本没有相同

3

部分，怎么黑色部分会在红色部分中呢？但按照模糊集包含的定义，由"A(X)W"4(X)，得

X,Cx2,从而知模糊集包含的定义是不具备完备性的，即产生了词不达意，应当改正。

类似地讨论可知模糊集中，并、交运算都不具备概念的完备性[4]o

这里引出的例子称为“有色园模型”。

§1.5小结

模糊集怎么了？它的相等、包含、并、交运算都不具备概念的完备性，尽管1973年Belleman

特别给出定理证明L、A、Zadeh给出的并、交运算的合理性[5],因为那是就错证错，根本没考

虑概念的完备性，也应该改正，如何改正，在这里我们像罗巴切夫否定欧氏几何中的平行公理，

建立罗氏儿何进而证明欧氏儿何是罗氏儿何在某点附近的近似一样，在这里我们要否定模糊集的

有关基本概念，建立“清晰集”，进而阐明模糊集是清晰集中的某种等价类。从而指出在模糊集

的理论研究和应用中出现问题时，应如何回到清晰集中找原因，解决问题。在下一章中我们引入

清晰集概念。

4

第二章清晰集

§2.1清晰集的概念

在有色园模型中，论域。=｛4（半黑半红园）火（；黑%j白园）小（白园）），在〃中任意

取出若干个新组成的集合，如4=｛必，4｝或8=｛〃2,4｝等就是U的经典子集。当在u中取出若

千个元素的一部分时，例如取从中黑色的那一部分记作八4（黑半园），取〃2中红色的那一部分，

记作△/（；红园）组成集合4=04，△4｝，就叫做论域。的一个清晰子集。一般地，有

定义1设论域

U=｛〃/，=1,2,…“｝△勺是勺的一部分，或者△勺叫勺的某一个子集，则集合

«=｛△〃/0<j<n｝

叫做。的一个清晰子集，简称清晰集。

指出以下几点：

（1）论域U中元素从这里理解为一个经典集合，它的子集就是它的一个部分△4，A从="

时清晰集成为经典集，故是其推广。

（2）这里我是用经典集合来定义清晰集的，抛开了特征函数。

（3）对于每个从对清晰集A来说可以是部分属于，部分不属于，这就是从的亦此亦彼的模

糊性，这表明清晰集可以用来描述亦此亦彼的模糊性。

定义2设A、旦是论域U的两个清晰子集，当对于U的任意元素〃，有〃的在A中的部分

,即都有△出三△'/e旦时，称A包含于旦或自包含A，记作A1旦，当A工旦

且旦之幺时，称A等于封，记作A=旦，在这里我们定义清晰集A和旦的包含和相等时抛开了特

征函数的概念。

§2.2清晰集的运算

设论域u=以,修,…,〃”｝，而它的清晰集

其中某A从或△'n可能不存在，这时认为△〃,.或"从是M的空子集。则其并、交分别为:

AU旦=｛八〃1M2UA'"2,…,｝,

An旦=仙必nA4,A〃2n，…，n△%｝，

即若△从wA，A>.eB,«=1,2,・一,〃）贝1」

（△%u△%）€（«u一）,（A；/,n△>,.）£（4n一）,

而A的补集A'=｛（Mly,（A〃2广…,（Mj｝。

例（为方便理解，仍举有色圆模型），设

5

U=,（g黑；红园），〃2（g黑；红g白园）,〃3（白园）的子集

黑园），△外,黑园）｝

皂=｛"44红园），红园））

则AU旦=1A"从己黑!红园），△〃〃2d黑1红半园）］

I2222

=｛△%（半黑半红园），△"?（半黑半红半园）｝

"£=｛△73）,A%®）｝=。

度=｛△〃%（；红园），NR,“白园）｝

=｛半红园，90"红180"白的扇形,人（白园）｝

其中A">2是也去掉:黑色部分所成的扇形。

和经典集合一样可讨论其封闭性、交换律、结合律，单位元的存在性、吸收律、分配律、>

等律、两极律、对合律、对偶律等，这里暂不讨论。

§2.3清晰集的量化

在经典集合中论域U上的子集，有一个定义在U上取值在｛0,1｝上的函数叫做子集的特征函

数，函数由子集唯一确定，子集也由函数唯一确定，从而我们既可以把子集看做函数也可以把函

数看做子集。L.A.Zadeh当初就是从这里把取由｛0,1｝变为［0,1］来推广经典集合而得模糊集的，

而我们这里是将眸卜变为邛以来推广经典集合而得清晰集的。清晰集的量化就是想找一个定义

域为论域U而值在［0,1］中的函数，做为清晰集A的量化值，用怎样的函数做为A的量化值，若随

便给以定义在U上取值在［0,1］中的函数作为A的量化值，那是很容易的，但要使它的值能反映均

属于A的程度且在集之间的运算中能在函数之间反映出来，那就需要认真地确定了。下面给出儿

种清晰集的量化方法：

<i>清晰集的儿何量化法

设论域

它的一个清晰集

当其中某时，认为其没在A中出现。当均为平面图形时，也用多表示其图形的面积，同样

用△多表示其面积，则定义在U上取值于［0,1］中的函数

AY

A（x）=——x=u.（i=l,2,…）

x

叫做A的量化值，也叫A的隶属函数。

当％为任意曲面、任意曲线、任意儿何体时，可类似定义A的量化值，不同的仅在于巴为任

意曲面的面积，任意曲线的长度、任意儿何体的体积。

6

＜ii＞清晰集的物理量化法

设论域U={ui,u2,,un}

它的一个清晰集

A={AW,,AM2

当均为某一物体时，也用吃表示该物体的重量，同样用A%表示其重量，则定义在U上取值于［0,1］

中的函数

Ar

A(x)=x=u(i=l,2,)

x'

叫A的量化值，也叫A的隶属函数。当％表示物体的质量时，类似地，也可以定义4的量化值。

＜iii＞清晰集的概率量化法

设论域

U={ul,u2,,un}

设%是已定的概率样本空间，而％的子集即事件，它的概率为尸(△从)。而U的清晰集

4={AMI，AM2

则定义在U上取值于［0,1］中的函数

XJC

A()=P(A)x=ui(i=l,2,…)

叫做A的量化值，也叫A的隶属函数。当尸尸领时，

%

即为＜i＞、＜ii＞中几何量化值和物理量化值，量化值即隶属函数。这里可以看出，由于不同的事件,

可以有相同的概率，所以不同的清晰集A和旦，它们的隶属函数A(x)和旦(x)可以相同：

A(x)=5(x),所以，在清晰集中和经典集合不同，在经典集合中，隶属函数可以确定唯一集合，

集合唯一确定隶属函数，而清晰集中•个隶属函数可以是不同清晰集的。正因为如此，在经典集

合中隶属函数也叫特征函数，而在清晰集中只谈隶属函数，不叫特征函数。

§2.4清晰集并、交、余的隶属函数

根据清晰集A、丘的定义，AUfl,AQB,定义和概率量化法定义得

(AUB)(x)=A(x)+B(x)—(AABXx)

(@)(x)=l—A(x)

连同(AnE)(x)都是完全确定的，不像模糊集的取大取小都是人为设定的。文［4］中指出L.A.Zadeh

的取大、取小运算的不完备性正是根据这里的运算公式构造出反例的。在文［4］中也指出了在

△%工△%，.或"/gA%时，取大、取小是合理的，否则是不成立的。

§2.5特征函数、清晰集和模糊集的关系

设论域

当%(i=l,2,…,〃)是已定义的概率空间时，U的清晰子集4则已取概率量化值。这时U的

每个清晰集4都有隶属函数4(x),而且不同的乙与4可以有相同的隶属函数，将具有相同隶

属函数的清晰集分成一类。于是U的所有已量化的清晰集被分成了若干类，每类中的清晰集有共

7

同的一个隶属函数，这个隶属函数叫做该类的特征函数。特征函数是定义域为U而取值在［0,1］中

的函数，每一类有确定的特征函数，而每一个特征函数也对应着一个类，将模糊集的定义与之比

较，可以看出模糊集实质上可看作是这里的类，在文［4］中举例说明L.A.Zadeh给出模糊定义的

取大、取小，运算的不完备性，正是根据这里的类中有许多不同的清晰集为依据造出有色园模型

这种反例的。可见模糊集原为清晰集的一种等价类，对模糊集的研究就是对清晰集的等价类的研

究。

§2.6小结

模糊集虽有很大价值，但它的出现至今才不到40年，所以难免有不完善的地方，清晰集是

在考虑了一些人对模糊集的理论和应用研究中提出的疑义的基础上提出的，所以它有利于模糊集

中一些问题的澄清。再者，由于模糊集是清晰集的等价类，所以对模糊集的研究也是对清晰集的

研究，模糊集的价值也是清晰集的价值，且清晰集会比模糊集有更多的理论价值和应用价值，所

以值得人们去研究和发展。

另外，在本文的成文中，由于某些原因许多地方写得非常简略，这些地方要想写得完美些，

需要人们去加工，去写文章，本人认为本文简直是个研究提纲。

本文的讨论仅限在U为有限集，实际其方法和结论对任意论域U都是成立的。

8

第三章清晰有理数的概念

从2004年开始，一批清晰集理论文章的发表，特别是2007年6月专著《清晰集及其应用》

的出版，清晰数学已基本现形。但是，其实际应用除说明模糊数学理论及其应用的错误之外就很

少见，为研究实际应用，这里从建立清晰数及其运算开始。

§3.1清晰有理数的定义

定义3.1.1对于任意的实数a,对应地有一个有限元素的经典集合从=｛%,%，…，，

其子集=也，,其%且）（「=1,2,…次，f=1,2,…,一）时，%产气，

则论域

U=｛〃JawR（实数集）｝的清晰子集

A=卜㈤&eR｝的量化法取概率量化值

P（Ma）=f¥，其中|回“|、底|表示其集合元素的个数时，我们得定义域为U，取值在［0,

1］的函数，当我们把〃"用a表示的时候便得一个定义域为实数集R,取值在［0,1］的函数，此函

数记作A（x），被称作清晰数。当AGO的值仅有有限个为非零值时，则AGO为清晰有理数，这时:

A(七)X=x]

AG)x=x2

A(x)=

A(x,)X=Xn

oX~E,x2,…，xn}_0jieR

其中，〃叫做A（x）的阶数，也说A（x）是〃阶清晰有理数，AQ）叫做玉的隶属度，（i=l,2「・・,〃）,

而£a（X）叫做AQ）的隶属度，特别指出0W&（匕）W1,而0<£9（七）<+8,当〃=1时，

Z=1i=\

A（M）x=x,

幺（%）=1-"_.

［0xe｛xJJLxGR

是一阶清晰有理数。特别当

（A（X］）=1X=X|

~~C）0x忑｛%｝且xeR

时，清晰有理数A（x）就用实数玉表示，从而我们可以看出清晰数是实数的推广，实数是清晰数的

特例。

例3.1.1设某水库某年可供农田灌溉的水量，让两组专家估定，专家组45=①，的，%｝估

为15个单位，其中两人表示赞成，一人没表态，赞成者具体构成集合△从5=｛%,%｝，专家组

9

47=机，打，a，4}估为17个单位，其中三人表示赞成，一人没表态，赞成者具体构成集合为

△〃17={A，%，"}，于是得论域(定义域)

U={〃JaeR},其中

4a=。，«e{15,17)

取值在［0，1］的函数,当从以a表示时，则得函数

2二|{%,的}|

x=15

3|{«i，%，出}|，

3二|{济，％，/)|

A(x)=,,x=17

4|fe,b2,b3,b,1

0,xe{15,17}5.xe/?

陷=0是个设定。

A(x)即是一个清晰数，且为清晰有理数。在这里当|4|=0时,

清晰有理数的运算法则在清晰集理论体系中的作用如牛顿一莱布尼茨公式在微积分学中的

作用，它为清晰集理论与实际应用架起了一座方便的桥梁，在后续的研究中可以清楚的看到这一

点。

§3.2清晰有理数概念再讨论

从2004年开始，一批清晰集理论文章的发表，特别是2007年6月专著《清晰集及其应用》

的出版，清晰数字以基本现行。但是，其实际应用主要是说明模糊数学理论及其应用的错误，为

研究实际应用，这里从建立清晰集及其运算开始，§3.1节已给出了“清晰数”的概念，那么为

什么又要给出清晰数的概念呢？为了人们加深对“清晰数”的理解。实质上是一样的。

一、清晰有理数

例3.2.1现有三组专家，第一组由q,a2，%三人组成，记作集合出={%，出，%}，第二组由

丽打，打,久四人组成，记作集合〃3=折，%，%,4}，第三组由c“C2二人组成，记作集合

4={c1,c2}。现让这三组专家对某商品估价出估为2,具体赞成为2者集合

△〃2={%，出}。%无表态。〃3估为3，具体赞成者为A〃3=物，4}，匕2，”无表态。4估为4,

具体赞成者为4者集合△〃,={C2}，G无表态

当论域U={“2，M3，“4}时，其U的清晰子集

A={△〃2，八〃3，八〃4}

的隶属函数

10

A(X)=<^1=；,X=〃3

网4

即」一隹}IJi

I闻|{C1,c?}|5'4

当〃2，〃3，〃4用它的估值2,3,4代替时得

2

x=2

3

A(x)W，

x=3

4

5'x=4

可以看做定义域为{2,3,4}[R取值在=[0,1]的函数，此函数A(x)叫作三阶清晰有理

数。三阶的“三”意思就是三个专家组。

例3.2.2现有两组专家，第一组由生,&两人组成，记作集合4={%，%},第二组由配打,4

三人组成，记作集合4={仇，与，与}。现让这两组专家对某商品估价，从估为4,具体赞成者为四

者集合A〃4={ai}，的无表态。"估为4,具体赞成者为必={%,4},可无表态

当论域

U={“4，-4}时,其U的清晰子集

A={△〃4，△〃力的隶属函数

〕△闯」_

可？“一儿

叫回_2一

,M

当〃4,4用其估值4、4代替时，得

工

x=4

A(所；

x=4

,3

可以看作定义域为{4,4}=R取值在[0,1的函数。此函数A(x)叫作二阶清晰有理数。

二阶的“二”的意思就是两个专家组。在这个例子中要注意作为自变量x在定义域{4,4}qR中取

两次相同的值4是两个专家组的估价值都为4.

II

一般的，有如下定义

定义3.2.1现有n个有限个元素组成集合玲，饱…4，其中(1,2,…，”)，论域

U=｛%,%,｝的清晰子集

4=可分”｝的隶属函数%

M

krX=%

IM

A(x)=,院「

M

；院「

当〃外,〃”,，…,〃〃“相应的用/，a”代替时,得:

Maj

x=ax

\u|'

Ma21x=a

A(x)=<同‘2

M

JTx=%

可以看作定义域为｛%，%，…

此函数叫做n阶清晰有理数。

3讨论

在§3.1节中，清晰有理数

A*1)X=X]

A(>2)X=%2

4(x)="

A(x“)x=x〃

0XG-{x,,x,••

2•,xn}l.xeR

A(xJX=X]

6(X2)X=X2

时当我们把A(x)简记为A(x)=

A(x“)x=x“

12

注意到省占）=94

时便看出这里的定义和§3」节的是一致的，从而就会更好的理解在运算中

同

为什么会出现七=与（iwj）的现实背景。

§3.3清晰有理数与实数的关系

由清晰有理数的定义可知，任一实数a,都有惟一一个清晰有理数与其对应，即

1x=a

A(x)=a=<

0X至｛〃｝目/€R

它与实数a是一一对应的，是实数a的又一种表示形式。

由清晰有理数的运算可知，其和实数的运算定义和性质是保持一致。因此，清晰有理数是实

数的推广，实数是清晰有理数的特例。

13

第四章清晰有理数的加法运算及运算性质

§4.1清晰有理数的加法运算

对于实数来说，人们愿意使用，其主要原因之一是它有运算，为了便于应用清晰数也应有运

算，为此，我们以最简单的实例来探讨加法运算。

例4.1.1设有两水库A和8,专家组Ms=｛q,%，%｝估计A水库的存水量为15个单位，其

中两人赞成，一人没表态，具体为△/%=缶”％｝，而专家组〃17=｛4，％，%,为｝估计8水库存水

量为17个单位，其中三人赞成，一人没表态，具体为A47=｛仇，％,仇｝,那么要问根据专家们意

见两个水库共存水量如何？

关于这个问题即清晰数的加法运算问题，显然会想到共存水量为15+17=32,但这个32隶属

度是多少？而〃32=?、4〃32=?、尸（修，32）=?