北师大版数学八年级下册4.3公式法（平方差公式 完全平方公式 十字相乘法）课件

4.3公式法平方差公式

完全平方公式

十字相乘多项式与整式积有什么关系？我们已学过哪一种分解因式的方法?提公因式法:当m=a－b时，

ma+mb=m(a+b)会变成什么呢？平方差公式：问题1多项式整式积整式乘法因式分解问题2问题3a2－b2

(a+b)(a－b)整式乘法因式分解ma+mbm(a+b)整式乘法因式分解整体思想问题导入

结论：我们可以将

作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做___________.公式法两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.公式左边：1.多项式有两项；2.这两项异号；3.两项是平方差.公式右边：两项整式的和与两项整式的差的乘积的形式a2－b2=(a+b)(a－b)a2－b2=(a+b)(a－b)平方差公式左右两边有什么特征？问题4新知探究例1判断下列各式能否用平方差公式因式分解？若能，请因式分解。

(1)(2)(3)(4)(5)不能转化为平方差形式

不能转化为平方差形式

公式法分解因式步骤：第一步，将两项写成平方的形式；找出a、b第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式(6)

当首项前有负号时.第一步，连同符号交换位置.

新知探究提公因式公式法是否还能因式分解输出结果

还可以继续分解

还可以继续分解反思点等号两边是否相等？去括号法则用对了吗？积的乘方、幂的乘方的逆用对吗？是否转化为了a2－b2的形式？是否转为成几个乘积的形式？是否将因式分解进行到底？是否还能提取公因式是否还能用公式法分解步骤：新知探究提公因式法:平方差公式：a²+2ab+b²(a+b)整式乘法因式分解a2－b2

(a+b)(a－b)整式乘法因式分解ma+mbm(a+b)整式乘法因式分解令a=x+p;b=x+q整体思想令m=a-b令a-b=m

类比思想令m=a+b令a+b=m²完全平方公式：令x+p=a;x+q=b

如何使ma+mb=m(a+b)变成完全平方公式？形式：－=(+)(－)²²•

总结升华我们把a²+2ab+b²和a²－2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.

1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

完全平方式:简记口诀：

首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.形式：

±2+=(+)²²

²完全平方式有什么特征？问题5新知探究3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b练习1：对照a²±2ab+b²=(a±b)²填空mm-33x2m3

是（2）因为它只有两项；不是不是不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.（3）4b²与-1的符号不统一；是新知探究

(3)3ax2+6axy+3ay2

(4)－x2－4y2＋4xy

原式=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2方法：有公因式先提出公因式，再进一步分解因式；当首项的二次项系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数；原式＝－(x2＋4y2－4xy)

＝－(x2－4xy＋4y2)

＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]

＝－(x－2y)2例3

把下列完全平方式因式分解：

（1）x2+14x+49

（2）

(m+n)2-6(m+n)+9原式＝

x2＋2·x·7

＋72

＝

(x＋7)2

原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32

＝(m＋n－3)2整体思想反思点等号两边是否相等？去括号法则用对了吗？积的乘方、幂的乘方的逆用对吗？是否转化为了a2±2ab+b2的形式？是否转为成几个乘积的形式？是否将因式分解进行到底？是否还能提取公因式是否还能用公式法新知探究例4已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1

＝(xy＋1)2多项式既不是两项也不是三项怎么办？问题6凑成两项或者三项（可能需要不断试错）新知探究1.分解因式(2x+3)2

-x2的结果是（）

A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)

D6.因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2(2)(a2＋4)2－16a2(3)y2+2y+1－x2

（4）4x2y－4xy2－x32.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.±83.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为

.-214.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.4

变式应用7.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)当4m+n=40，2m-3n=5时，8.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等边三角形．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，变式应用9.(1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？解：(1)∵

992-1=(99+1)(99-1)=100×98∵n为整数∴(2n+1)2-25能被4整除∴992-1能否被100整除(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2)变式应用1.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：S阴影=（1002-992）+（982-972）+…+（22-12）

=100+99+98+97+…+3+2+1

=5050（cm2）

答：所有阴影部分的面积和是5050cm2开放拓展提公因式法:平方差公式：a²+2ab+b²(a+b)整式乘法因式分解a2－b2

(a+b)(a－b)整式乘法因式分解ma+mbm(a+b)整式乘法因式分解令a=x+p;b=x+q整体思想

令m=a-b令a-b=m

类比思想令m=a+b令a+b=m²完全平方公式：令x+p=a;x+q=b形式：－=(+)(－)²²•±2+=(+)²²

²总结升华类比

23×12的竖式乘法

，

若将数字替换为代数式，如

(2x+3)(x+2)，能否用类似方法计算问题1如何检验式的竖式乘法计算是否正确？问题2数的竖式乘法

式的竖式乘法用多项式乘法法则，即(2x+3)(x+2)=2x2+4x+3x+6=2x2+7x+6问题导入积的二次项系数2与两个因式的一次项系数有着怎样的关系？问题3如何得到积的常数项6？问题4积的二次项系数等于两个因式中一次项系数之积(2x+3)(x+2)先交叉相乘，再相加积的一次项系数7x是如何得到的？问题5积的常数项等于两个因式中常数项之积(2+3)(1

+2)为了研究方便，一般略去字母4x+3x=7x2×2+1×3=7新知探究例1

利用十字相乘法填空(1)(x－5)(x＋6)=

x2

＋

x＋

;

(2)(2a－5)(a＋6)=

a2

＋

a＋

;

(3)(4m＋3)(2m－9)=

m2

＋

m＋

;(4)(5x＋3y)(2x－y)=

＋

＋

.

新知探究两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？问题6

x2

＋mx＋10=(x+

)(x+

)

横线：1和10、2和5、-1和-10、-2和-5m:

11、

7、

-11、-7m的值与哪些因素有关？问题74x2

＋mx＋10=(

x+2)(

x+5)

两条横线分别可以填什么？那么m分别等于多少？问题8横线：1和4、4和1、-1和-4、-2和-2、......m:

13、

22、

-13、-14、......m的值与哪些因素有关？问题9与常数项10的分解有关与二次项系数4的分解有关新知探究例2

利用十字相乘法分解因式

（1）

x2

＋

5x－14（2）2a2－11a＋15

二次项系数与常数项的分解必须满足什么条件?问题10利用十字相乘法分解因式，你有哪些心得体会？问题11需要多尝试几次，有时不能一次成功x2

－9与

x2

－4x＋4能利用十字相乘法分解吗？

问题12十字相乘法仍然适用于平方差式和完全平方式