向量组的线性表示与线性相关性

1大家好2班级：

星期：节年月日第八讲：向量组的线性表示与线性相关性3友情提示本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性；下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；下次上课时交作业P25－P264第八讲：向量组的线性表示与线性相关性5一、向量组及其相关概念1.向量:(1)向量的定义(2)向量与矩阵

n维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写成一列—列向量，也称列矩阵因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算（3）向量的记法：

1）列向量用用字母表示；行向量用表示.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性62.向量组的概念（1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：如矩阵：有n个m维列向量（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量第八讲：向量组的线性表示与线性相关性7（2）矩阵与向量组：由m个n维行向量所组成的向量组构成一个

m×n矩阵因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵矩阵A组成的向量组称为矩阵

A

的列向量组；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.由m个n维列向量所组成的向量组构成一个n×m矩阵();,,,21maaaAL=第八讲：向量组的线性表示与线性相关性83.线性组合的概念：定义2给定向量组A：，对于任何一组实数向量称为向量组A

的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.4.线性表示的概念：给定向量组A：和向量，如果存在一组数使则向量是向量组A的线性组合，这时称向量能由向量组A

线性表示。线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲：向量组的线性表示与线性相关性9即向量能由向量组线性表示.例如：5.向量组由向量组线性表示概念定义3设有两个向量组A：及B：，则称向量组B

能由向量组A

线性表示。6.向量组的等价：向量组A

与向量组B

能相互线性表示，则称这两个向量组等价。这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，第八讲：向量组的线性表示与线性相关性107.向量组的线性相关概念(1)定义给定向量组A：，如果存在不全为零的数使则称向量组A

是线性相关的，否则称它线性无关“否则”只有当时，式才成立。或若向量组A：，线性无关，且式成立，则必有第八讲：向量组的线性表示与线性相关性11二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数向量能由向量组A

线性表示，也就是方程组有解证：将方程组变形为：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性12第八讲：向量组的线性表示与线性相关性13（1）秩的等式定理2:的秩等于矩阵向量组:能由向量组:

线性表示的充分必要条件是矩阵的秩.即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组A

与向量组B所构成的矩阵依次记作B组能由

A组线性表示，即对每个向量第八讲：向量组的线性表示与线性相关性14第八讲：向量组的线性表示与线性相关性15特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立第八讲：向量组的线性表示与线性相关性16（4）线性表示秩的解法的概括：例2：设向量组证明:能

由向量组线性表示,并求出表达式.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性17证：～R(A)=R(B)=2,因能

由向量组线性表示.所以(其中C可取任意值)第八讲：向量组的线性表示与线性相关性18第八讲：向量组的线性表示与线性相关性19第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例3（05，2，9分）20第八讲：向量组的线性表示与线性相关性21继续往行阶梯化下去：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性22三、用方程组判定线性相关无关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性23（1）按照定义判定。思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，即系数行列式不等于零证:设有使即因线性无关，故的系数只有零解4.线性相关性的判定：例4

已知向量组线性无关，试证向量组线性无关.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性24此方程组的系数行列式为方程组只有零解所以向量组线性无关.定理4（2）按照向量组的秩判定：向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩R(A)<m；向量组线性无关的充分必要条件是

R(A)=m.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性25例5已知试讨论向量组及向量组的线性相关性.解对矩阵施行初等行变换，则R向量组R=2,线性无关.向量组线性相关；第八讲：向量组的线性表示与线性相关性26（3）按照整体与部分的关系判定定理5（1）若向量组

A：线性相关，则向量组

B：也相关；反言之，若向量组

B

线性无关，则向量组A

也线性无关.（4）用向量的维数判定：

m个n

维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.（5）线性表示与相关性的关系定理：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性27证明：记由秩的定理，有R(A)≤R(B).因A

组线性无关，有R(A)=m；因B

组线性相关，有R(B)<m+1.所以m≤R(B)<m+1,

即有R(B)=m.由R(A)=R(B)=m,及线性方程组秩的解法定理，知方程组有唯一解，即b能由A组线性表示且表示唯一.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性28证:1)因线性无关,由定理线性无关,又线性相关,由定理能由线性表示.所以2)设能由线性表示.由(1)能由线性表示.线性无关矛盾.与证明:1)能由线性表示.2)不能由线性表示.分析：1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性表示，2.否