人教版八年级数学下册全册教学设计

人教版八年级数学下册全册教案（完整版）教学设计

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范

围.

【过程与方法】

经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括

能力.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的

快乐，并提高应用意识.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的概念，二次根式有意义的条件.

【教学难点】

求二次根式中字母的取值范围.

教学过程

环节1日学提纲.牛成问题

[5min阅读】

阅读教材P2〜P3的内容，完成下面练习.

【3min反馈】

1.一个正数有两个平方根；。的平方根为5在实数范围内，负数没有平方根.因此,

在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或。

2.一般地，我们把形如F（a20）的式子叫做二次根式，“厂”称为二次根号.

3.下列式子中，不是二次根式的是（B）

A.B.A/—3

C.。才+3D.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

E，7-72,源,弋士一上,

班一x（后3）,，—x（x—O）,川~a—\~,

K-5,yl~a—b~立（0）.

【互动探索】（引发学生思考）要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,

二是看被开方数是不是非负数.

【解答】因为y/Ti,7~-7~1=*\/表,^3—x（启3）,7—a—\~电,«―a—b2

（加20）中的根指数都是2,且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.标的根指数不是

2,.-5,劣―彳（*20）,义一人一5的被开方数都小于0,所以不是二次根式.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是

否具备以下条件：（1）带二次根号；（2）被开方数是非负数.

【例2】当x_______,[x+3T■―二在实数范围内有意义.

/II1

【互动探索】（引发学生思考）二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他

条件？

【分析】要使，不+4?在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x+320和分

XIJL

母x+lKO,解得*2—3且挣一1.

【答案]二一3且挣一1

【互动总结】（学生总结，老师点评）使个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考

虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幕的底数不为

零.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列式子中，是二次根式的是（A）

A.一币B.跖

C.yj~xD.x

2.使式子―x—5~5有意义的未知数彳有（B）

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

3.当x是多少时，恒王在实数范围内有意义?

2x+3M,

解：依题意，得

・,•当才2—5且杼。时，"2：+3+丫2在实数范围内没有意义

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】若实数*、y满足2+^6—3*+3,求|y-—x—y?的值.

I：互动探索】要求Iy-3I—丁一.一的值,需确定出x、y的取值范围.根据式子y

>^/7^+、6-3叶3,可以确定出x、y的取值范围.

【解答】由题意，得2川且6—3x20,

解得x=2,则y>3.

故|y-3|一~~x—y2=y-3-y+2=2—3=-1.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式有意义的条件求出>的值，从而确定

y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

一皿一「概念

一I有意义的条件一一被开方数是非负数

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次根式的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解/Q20）是一个非负数、（、同2=&（&20）和6=ag2o）,并利用它们进行计算

和化简；了解代数式的概念.

【过程与方法】

在明确（、「）2=a（a20）和=a（a20）的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小

组合作交流，培养学生的合作意识.

【情感态度与价值观】

通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的性质.

【教学难点】

运用二次根式的性质进行有关计算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P3〜P4的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.(1)当a>0时，丘表示a的算术平方根，因此Fr；

(2)当a=0时，表示0的算术平方根，因此班三。.

概括：一般地，,—(a2。)是一个非负数.

2.教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：

(1)(^4)2=4；(*)2=&

(羽(啊河

(2)一般地，(/)2=g(&20).

3.教材P4“探究”，填空：

⑴卷=2；、/O.Oko.oi；

(2)一般地，，J=g(a20).

教师点拨：二次根式的三个性质：(D、「(a20)是一个非负数；(2)(、-)2=a(a20)；

4.用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数空

5.计算：-\/0.0196X22500=21.；y^二；.

环节2合作探究，解决问遨

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】计算:

(i)(vn)2；(2)(2乖此

(3)*\/76；(4)d~—5一".

【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的

被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？

【解答】(1)(-VT75)2=1.5.⑵(2m)2=2?X(m)2=4X5=20.⑶(声)

=4.

⑷«（-5）2=夜=5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当

a(a2O)；

二次根式的被开方数是一个完全平方数时,夜=I='

-a(a<0).

【例2】化简下列二次根式.

⑴620）；

（2）^/-36X169X~-9.

【互动探索】（引发学生思考;根据开方的定义化简.注意：二次根式的结果是最简二次

根式.

【解答】（1）击/仁山?•J•2ab=[~2a~52ab=2匐2ab.

（2）-36X169X~-9=[36X169X9=6X13X3=234.

【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数;

（2）将二次根式尽量化简，使被开方数（式）中不含能开得尽方的因数（式），即化为最简二次

根式.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列各式正确的是（D）

A.7—4X-9~=^-4X^—9

D.^/4X9=V4X^/9

2.计算：

（1）（A/9）2；⑵一（小此

（3）^64；（4），a'+2a+L

解：（1）9.（2）-3.（3）8.

（4）.才+2a+l=d（a+l）2=|&+11.当a2一1时,原式=々+1；当水一1时，原式

=­a—1.

3.已知

实数不。在数轴上的位置如图所示，化简：7a+l5-12_以_4.

IIIIQIII勺IIII

-5-4-3-2-I0I2345

解：从数轴上a、。的位置关系，可知-2V&V-1,1V6V2,且。>a,故a+lVO,b

-1>O,a—b<Q,原式=|a+11+21b—11—|a—引=—(a+1)+2(6-1)+(a—b)=8—3.

活动3拓展延伸(学生对学)

[例3]己知a、b、c是'ABC的三边长，化简Ma+1+c，―#b+c—a?+

7c—b—a2.

【互动探索】根据三角形的三边关系，得出6+c>协〃+a>c.根据二次根式的性质得

出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可.

【解答】b、。是△力8c的三边长，b+a>c,，原式=|a+b+c|一|b

+c-a|+1c-b-a\=a+〃+c-(b+c—a)+(6+a-。)=a+〃+c—b-c+a+b+a-c=

3a+Z?-c.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等

关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

y[a2=a

二次根式的性质(

〔夜l=臼{a水a20O

练习设计

请完成本课时对应训练！

16.2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解F♦巾=^^(90,620),y[ab=y[a•Z?20),并利用它们进行计算

和化简.

【过程与方法】

经历“探索一一发现一一猜想一验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的

相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创

新，感受数学的严谨性.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的乘法运算法则.

【教学难点】

运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P6〜P7的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

⑴木义力=g,^4X9=6；

（2）716X^25=20,（16X25=跑;

⑶心义相=跄，（25X36=32.

规律：一般地，二次根式的乘法法则是雨•立=向Qeo,力20）.

2.把几反过来，就得到，兄=爪•铜，利用它可以进行二次根式的化简.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

⑴小x乖;⑵雄乂师

⑶mX匹;（4）靖义季.

[互动探索]（引发学生思考）利用二次根式的乘法运算法则进行计算.

【解答】⑴地

⑵义顺=、/之义27=木=3.

⑶小X囱=^9X27=A/92X3=9^3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数.

【例2】化简:

(1)9X^16；(2).16X81；(3)81X100；

⑷、4，凡(5)^54.

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注

意什么?

【解答】(D.9X16=:义标=3乂4=12.

(2)-\/16X81=Vi6X*781=4X9=36.

(3)^81X100=^/81X^/100=9X10=90.

(4):4a%1=y[4•,yjl/=2•a,•b=2ab\[l).

⑸舸=啊*=平义#=3#.

【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意

被开方数必须是非负数.

活动2巩固练习(学生独学)

1.等式冷刀+1♦1彳-1成立的条件是(A)

A.B.*2—1

C.-IWxWlD.或xW—1

2.计算：

(1)V12X^3;

⑶2#X17T^X

解：(1)6.(2)3^10.(3)18.

3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

解：(1)不正确.

改正：y/-4X--9=A/4X9=V36=6.

⑵不正确.

112

改正：-25~

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】比较大小:

(1)3季与虫「；(2)—4仃与一听.

【互动探索】由于根号外的因数不为1,可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开

方数的大小.

【解答】（1）3季=/义乖=参，

5小=平又小=近.

因为梅〈赤，所以3、1<5小.

⑵一4皿=一代X"=-或诵

-5yJIi=-y/25Xy[li=-yj275.

因为西§<也而，所以一弧§>一，市，所以一445>—5[五.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式

的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

I二次根式的乘,落法制力2°）

逆用

I；聚术•向心。…）

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次根式的除法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解专力°）

（a20,b>0）及利用它们进行运算:

2.理解最司一次根式的概念，并运用它把不是最同一次根式的亿成最简一次根式.

【过程与方法】

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果

是否满足最简二次根式的要求.

【情感态度与价值观】

在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣.

二、重难点目标

【教学重点】

最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则.

【教学难点】

二次根式商的算术平方根的运用.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P8〜P10的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

（一）二次根式的除法

1.教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?

a0).

2.把专=反过来，就得到

g0,核0）,利用它可以进行二次根式的

化简.

（二）最简二次根式

1.观察教材P8〜P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如久回，兴,

可以发现这些式子有如下两个特点：

（D被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做量他二次根式.

2.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最值二次根式，并且分母中不含三次

根式.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】计算：

[互动探索】（引发学生思考）利用二次根式的除法运算法则进行计算.

（3）原式=

（4）原式=

【互动总结】（学生总结,老师点评）利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式.

【例2】化简:

3

⑵

⑴64'

【互动探索】（引发学生思考）利用一次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将

二次根式进行化简.

【解答】（1）原式=患=平.

8b

（2）原式=

（3）原式=

邓一琳X邓一5•

小义（镜+1）2+/

=2+应

（4）原式=(^2-1)(^2+1)-2-1

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的

性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式.

C.

2.如果、/1（冷°）是二次根式，那么化为最简二次根式是（C）

A.卓(y>0)B.

C.手(y>0)D.以上都不对

3.化简：

⑴需⑵河;⑶舟⑷

解：(1)4.(2)噜.(3)/+1.(4)11-2^30.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例"已知晤=若，江一5丁+4

且X为偶数，求（1+x）的值.

V/-1

【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式f确定X的取值范围f化简所求式子

9一众0,xW9,

【解答】由题意，得即

A-6>0.>>6,

・・・6＜后9.

,・”为偶数，，x=8,

二原式二（1+x）\l对（1+X）（1+力/与="

Nl+xx-4.

・••当x=8时，原式=［笳历=6.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方

数是非负数，分母中被开方数是正数.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

二次板式的

除法去则：

二次根式的m最简三次植式

叵=匹化简与计理也分母有理化一

（心0力＞0）

।逆用

商的算术平方根:

7Jb

（心0力＞0）

练习设计

请完成本课时对应训练!

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.

【过程与方法】

在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根

式的计算和化简.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性.

二、重难点目标

【教学重点】

会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.

【教学难点】

运用二次根式的加减运算解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P12〜P13的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最直二次根式，再将被开方数相

同的二次根式进行合并.

2.计算下列各式.

(1)2也+3蛆；⑵2木-3木+5木;

(3)/+2、「十五3；(4)3、「一2、月十、「.

解：⑴原式=(2+3)*=5m.

⑵原式=(2—3+5)m=4m=8小.

⑶原式=