人教版必修二《第六章 平面向量及其应用》复习教案

人教版必修二《第六章平面向量及其应用》复习教案

6.1平面向量的概念

学习目标核心素养

1理.解向量的有关概念及向量1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入

的几何表示.(重点)向量的概念，提升数学抽象的核心素养.

2.理解共线向量、相等向量的2.类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何

概念.(难点)意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养.

3.正确区分向量平行与直线平3.通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑

行.(易混点)推理的核心素养.

【自主预习】

K新知初探1

1.向量与数量

(1)向量：既有太小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.

2.向量的几何表示

(D具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方囱、近度.

(2)向量可以用有向线段月麻表示.向量力硼大小称为向量4弼长度(或称

模)，记作退.向量也可以用字母&b,c,…表示，或用表示向量的有向线段

的起点和终点字母表示，例如：AB,CD.

思考：(1)向量可以比较大小吗？

(2)有向线段就是向量吗？

［提示］(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量.

3.向量的有关概念

零向量长度为0的向量，记作0

单位向量长度等于L个单位长度的向量

方向相同或相反的非零向非

平行向量

向量a,b平行，记作a"b

（共线向量）

规定：零向量与任意向量平行

长度相等且方向相同的向同

相等向量

向量a与6相等，记作a=b

r~^初;试身

1.正〃边形有〃条边，它们对应的向量依次为国，民,a,…，区，则这〃

个向量（）

A.都相等B.都共线

C.都不共线D.模都相等

D[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相

等.]

2.有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以

看成是向量的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

B[①②③不是向量，④⑤是向量.]

—►—►-►

3.已知|力例=1,|力。|=2,若/4BC=90°,则|比1=

-A

#[△4%是以笈为直角的直角三角形，所以I比1=后不=#.]

4.如图，四边形加如9是平行四边形，则图中相等的向量是（填序

号）.

(1)4〃与6G(2)如与勿;

⑶AC与眇⑷40与宏

(1)(4)［由平行四边形的性质和相等向量的定义可知:

AD=BC,OB^OD,

――►—►-►

AC#BD,AO=OCA

【合作探究】

”型V向量的有关概念

【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|,则a>b；

(2)若向量\a\=\b\,则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|=,若a与。的方向相同，则a=6；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与力方向相同或相反.

［思路探究］解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个

要素.

［解］(1)不正确,因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个

向量不能比较大小.

(2)不正确.由|a|=|引只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关

系.

(3)正确.因为|a|=|引，且〃与6同向，由两向量相等的条件，可得a=

b.

(4)不正确.依据规定：。与任意向量平行.

(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.

规律方法

1.理解零向量和单位向量应注意的问题

(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.

(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向.

2.共线向量与平行向量

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心一一方向和长度.

。跟踪训缄门

1.给出下列命题：

①若a〃6,b//Cy则々〃。；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

­►—>

④向量与勿是共线向量，则4B,C,〃四点必在同一直线上.

其中正确命题的序号是_______.

③[①错误.若b=0,则①不成立；

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个

—►—►

向量力无。必须在同一直线上.]

心型公向量的表示及应用

—

【例2】⑴如图，B,。是线段力〃的三等分点，分别以图中各点为起点和

终点，可以写出________个向量.

A~~B~~CD

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列

向量:

①。1,使I=4镜，点力在点0北偏东45°；

―►­►

②AB,使|43|=4,点夕在点力正东；

—►—►

③BC,使12a=6,点C在点8北偏东30°.

—►—►—►—►—►—►—►—►

(1)12［可以写出12个向量，分别是：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CAf

-►►-►—►

DA,CB,DB,DC.］

(2)［解］①由于点力在点。北偏东45°处，所以在坐标纸上点力距点。的

-►

横向小方格数与纵向小方格数相等.又I以|=4/，小方格边长为1,所以点4

距点。的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点力位置可以确定，画出向

量勿如图所示.

②由于点8在点4正东方向处，且|力8|=4,所以在坐标纸上点8距点力的

横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点8位置可以确定，画出向量力颇

图所示.

③由于点。在点6北偏东30°处，且|a1=6,依据勾股定理可得：在坐标

纸上点。距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为34g5.2,于是点。位

置可以确定，画出向量比如图所示.

规律方法

1.向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的

长度确定向量的终点.

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母ab,c表示，为了联系平面几何

中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB,CD,EF

等.

2.两种向量表示方法的作用

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理

几何问题打下了基础.

(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

颖跟踪训练.

2.某人从1点出发向东走了5米到达3点，然后改变方向沿东北方向走了

1球米到达。点，到达。点后又改变方向向西走了10米到达〃点.

―►­►—►

(1)作出向量力反BC,CDx

—►

⑵求才刑模.

­►""►""►

［解］(1)作出向量力区BC,CD,如图所示：

(2)由题意得，△翁是直角三角形，其中/胸=90°,BC=10阻米,CD

=10米，所以皮=10米.△力劭是直角三角形，其中N45Z)=90°,49=5米，

BD=10米,所以力。=452+1。2=54(米),所以初=5m米.

W型亚相等向量和共线向量

［探究问题］

1.两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

［提示］不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相

等向量，与起点和终点位置无关.

2.箱AB"CD,则从直线48与直线切的关系和45与的方向关系两个方面

考虑有哪些情况？

［提示］分四种情况

—*—►

⑴直线和直线⑦重合，力屿口同向；

­►—►

(2)直线力8和直线⑦重合，力的⑦反向；

-►-A

(3)直线力4〃直线口，力屿切司向；

—►—A

(4)直线小〃直线纲48与切反向.

-►-A-►

【例3】如图所示，。是正六边形力比以沙的中心，且。4=a,OB=b,0C=

⑴与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.

［思路探究］根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量.

［解］(1)与a的长度相等、方向相反的向量有如，B3AO,FE.

—►—►—►—►—►—►—►—►—►

(2)与a共线的向量有9BC,OD,FE,CB,DO,AO,DAfAD.

—►—►—►—►—►—►

⑶与a相等的向量有9DO,CB,与b相等的向量有ZT,E0,q；与c相

等的向量有A9,ED,AB.

［母题探究］

-►

1.本例条件不变，写出与向量比相等的向量.

-A

［解］相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与比相等的向

―►—►-►

量有40,OD,FE.

­►

2.本例条件不变，写出与向量成长度相等的共线向量.

—►—►—►—►―►—►—►-►

［解］与比长度相等的共线向量有：CB,OD,DO,AO,OA,FE,EF.

3.在本例中，若|a|=l,则正六边形的边长如何？

［解］由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△AM

为等边三角形，所以边长力少=lai=1.

规律方法

相等向量与共线向量的探求方法

(D寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确

定哪些同向共线.

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再

构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,

起点为终点的向量.

提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.

f课堂4、结m

1.向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背

景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系.

2.从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和

长度三个要素，因此它们是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的，而向

量是可以自由移动的.向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段.

3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条

直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.

4.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，

单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位

圆.

【课堂达标训练】

1.判断正误

(1)长度为0的向量都是零向量.()

(2)零向量的方向都是相同的.()

(3)单位向量的长度都相等.()

(4)单位向量都是同方向.()

(5)任意向量与零向量都共线.()

［答案］⑴V(2)X(3)V(4)X(5)V

2.汽车以120km/h的速度向西走了2h,摩托车以45km/h的速度向东北

方向走了2h,则下列命题中正确的是()

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

C［速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比

较大小.］

3.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③

共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平

行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是.

④⑥［由向量的相关概念可知④⑥正确.］

4.如图所示，菱形力及力中，对角线力C,而相交于。点，NDAB=60"，分

别以儿B,3D,。中的不同两点为始点与终点的向量中,

(1)写出与为平行的向量；

­►

(2)写出与力模相等的向量.

［解］由题图可知，

――►-►-A

(1)与加平行的向量有：AD,BC,CB；

—►

(2)与力模相等的向量有：

­►―►—►—►—A—►—A—►-►

AD,BC,CB,AB,BA,DC,CD,BD,DB.

6.2平面向量的运算

6.2.1向量的加法运算

学习目标核心素养

1.理解并掌握向量加法的概念，了解

1.教材从几何角度给出向量加法的三角形

向量加法的几何意义及运算律.(难

法则和平行四边形法则，结合了对应的物理

点)

模型，提升直观想象和数学建模的核心素

2.掌握向量加法运算法则，能熟练地

养.

进行向量加法运算.(重点)

2.对比数的加法，给出了向量的加法运算

3.能区分数的加法与向量的加法的联

律，培养数学运算的核心素养.

系与区别.(易混点)

【自主预习】

K新知初探1

1.向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

对于零向量与任意向量a,规定O+a=a+0=g.

2.向量求和的法则

—>—>

三角形

已知非零向量a,b,在平面内任取一点儿作45=a,BC=b,则向量

法则

力6UU做a与6的和，记作旦土力，BPa+b=AB+BC^AC.

C

AaB

-A-A-A-A

已知两个不共线向量a,b,作AB=a,AD=b,以脑”妫邻边作口力成2

平行四

-A

边形法则对角线上的向量0a+b

则D___a

思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？

[提示]不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法.

3.向量加法的运算律

(1)交换律：a+b=b±a.

(2)结合律：(a+力)+c=a+(b+c).

r~^初;试身

1.下列各式不一定成立的是()

A.a+6=6+aB.O+a=a

-►—>—>

C.AC+CB=ABD.\a-\-b\=\a\-\-\b\

D[A,B,C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等,

满足三角形法则.]

—►—►-►

2.应+4?+为等于()

A.DBB.CA

—>—►

C.CDD.DC

C[CB^AIh-BA=CB+BA+AD=CD.]

3.如图，在平行四边形力加9中，DA+DC=

DB［由平行四边形法则可知为+戊=必］

4.小船以1咪km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为

10km/h,则小船实际航行速度的大小为km/h.

20［根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际

速度大小为4(1球)+102=20(km/h).］

【合作探究】

&S型］向量加法的三角形法则利平行四边形法则

［探究问题］

1.求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？

［提示］(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等.

(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等.

—►

2.设4,4,A,…，4,(〃£N,且〃23)是平面内的点，则一般情况下，44

+44+44+…+4-4的运算结果是什么？

-A-►—A-►

［提示］将三角形法则进行推广可知44+A/3+44H----\-An-iAtl=AiA„.

【例1】⑴如图，在△力成中，D,后分别是49,/上的点，F为线段DE

延长线上一点，DE//BC,AB//CF,连接微那么(在横线上只填一个向量)：

A

士

BC

①AB+DF=；

—►—►

②AZFC=；

­►—►―►

③AZBC+FC=

⑵①如图甲所示，求作向量和a+6；

②如图乙所示，求作向量和a+8+c.

［思路探究］(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换,

然后用三角形法则化简.

(2)用三角形法则或平行四边形法则画图.

⑴①然②AB③力。［如题图，由已知得四边形。R加为平行四边形，由

向量加法的运算法则可知：

-A-A―►—►—►

①08+DF=AB+BC=AC.

@AD+FC=49+DB=AB.

③AZBC+FC=AD+DF+FC=AC.]

⑵［解］①首先作向量2=a,然后作向量48=6,则向量仍=a+6.如图所

b_„

0B

②法(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取点。作向量

再作向量力46，则得向量如=a+b,然后作向量8C=c,则向量值'=(&+〃)+c

=a+b+c即为所求.

法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点0,作向量处=

—>—►­►—►―►

a,0B=b,0C=c,以勿，08为邻边作口O4OB,连接加，则〃=%+如=a+6.

再以阳，冗为邻边作口如比；连接0E,贝IJ必=①+庞-8+2+。即为所求.

［母题探究］

1.在本例（1）条件下，求"+成

［解］因为BC〃DF,BD//CF,所以四边形阳叨是平行四边形,

­►-►►

所以⑦+6F=6ZZ

2.在本例（1）图形中求作向量的+力斗以

［解］过/作用〃〃「交6F的延长线于点G,

则的+炉=〃G,作GH=CF,连接加,

规律方法

1.向量求和的注意点

（1）三角形法则对于两个向量共线时也适用.

（2）两个向量的和向量仍是一个向量.

（3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起

点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量

为共起点的“对角线”向量.

提醒：（1）当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则

是统一的；（2）三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.

型2向量加法运算律的应用

【例2】⑴化简：

①BC+AB；

―►-►-A

②DB+CZBC、

③力8+DF+CD+BC+FA.

⑵如图，E,F,G,，分别是梯形力质的边力反BC,CD,物的中点，化简

下列各式:

①DG+EA+CB；

—►—►—►-►

②EG+CG+DA+EB.

［思路探究］根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合

律调整向量顺序后相加.

［解］(1)①比+AB=48+BC=ACx

②DB+CD+BC=BC+CZDB=Q；

—>—►—►—►—►—►-►—>—>—►

③46+DF+CD+BC+FA=48+BC+CZDF+FA=G.

-►—►—>—>—>—>"►-►-►—>—>—>

⑵①〃G+必+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=GE；

—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►-►

②EG+CG+DA+EB=EG+G计DA+AE=EZDA+AE=EA+AE=Q.

规律方法

向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法

则运算的目的.

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以

按照任意的次序、任意的组合来进行.

（2）应用原则：

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加

法的结合律调整向量相加的顺序.

◎跟踪训练

1.向量（力例•匐+（伙7+威）+8化简后等于（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

D[原式=(AB+B附+(PB+BO+OP)=AI/+O=AIZ]

建型3向量加法的实际应用

［思路探究］

作出对应的几何

图形，构造有关

向量

［解］如图所示，设陷"分别表示凡6所受的力，10N的重力用口表示,

则四十gCG.

易得N£，%=180°-150°=30°,

ZFCG=180°-120°=60°.

・・.|四|=|必|•cos300=10X金=5小,

ff1

\CF\=\CG\•cos60°=10X5=5.

乙

・••力处所受的力的大小为5/N,3处所受的力的大小为5N.

规律方法

利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

Q跟踪训练

2.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km

到达3地接到受伤人员，然后又从8地按南偏东55°的方向飞行800km送往。

地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.

［解］设AB,8c分别表示飞机从力地按北偏东35°的方向飞行800km,从

8地按南偏东55°的方向飞行800km,则飞机飞行的路程指的是|力+BC\；

->―►—>

两次飞行的位移的和是48+比三力C

依题意，有|力6|+|况1=800+800=1600(km),

又a=35°,£=55°,/力a=35°+55°=90°,

所以1=^/1^12+।^12=^8002+8002=800^2(km).

其中乙必占45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.

从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为80(h/2km,

方向为北偏东80°.

r~海堂4、结m

1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统

一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选

用平行四边形法则.

2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照

任意的次序和任意的组合去进行.

3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征

是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结

果是零向量，一定要写成0,而不能写成0.

【课堂达标训练】

1.判断正误

(1)任意两个向量的和仍然是一个向量.()

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()

(4)㈤+1引>|a+b|・()

［答案］⑴J(2)X(3)X(4)X

2.对于任意一个四边形力解，下列式子不能化简为比的是()

—►―►—►—►―►—►

A.BA+AD+DCB.BIHDA+AC

—►—►—►—►—>—►

C.AB-^BD+DCD.DC+BA^-AD

-A-A—►—►—►—►—►—►—►-A-A-►

C［在八中，为+4?+%=勿+%=比'；在8中，切+%+力。=为+47=8。；

►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►

在C中，AB+BZDC=AZDC=AC：在D中，DC+BA+AD=DC+BD=BZDC=BC.］

3.若w表示“向东走8km”，6表示“向北走8km"，则|a+b|=___,

a+b的方向是

队「km东北方向［如图所示，作物=a,AB=b,

贝ija+b=OA+AB=OB.

所以|a+b|=\0B\

=yl^+82=8-\[2(km)

因为乙408=45°,

所以a+b的方向是东北方向.］

4.如图所示，设。为正六边形力比肥尸的中心，求下列向量:

⑴办+OC；

②BC+FE.

［解］(1)由题图可知，四边形"比为平行四边形.由向量加法的平行四边

形法则，得的+%=如

⑵由题图可知，BC=FE=OD=AOf

：.BC+FE=力0+0D=AD.

6.2.2向量的减法运算

学习目标核心素养

1.理解相反向量的含义，能用相反向

1.类比数的运算，自然引入向量的减法

量说出向量减法的意义.(难点)

运算是加法运算的逆运算，顺利给出向

2.掌握向量减法的运算及其几何意

量减法的三角形法则，培养数学抽象和

义，能熟练地进行向量的加减运

数学建模的核心素养.

算.(重点)

2.通过对向量的加法的学习，提升数学

3.能将向量的减法运算转化为向量的

运算和逻辑推理能力.

加法运算.(易混点)

【自主预习】

匚新知初探心)

1.相反向量

(1)定义：与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量.

(2)性质：①一(一血=a②对于相反向量有：a+(—a)=0.

③若a,b互为相反向量，则a=—b,a+b=&

2.向量的减法

⑴定义：a—b=a+(—5),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向

量.

(2)作法：在平面内任取一点0,作。=a,OB=b,则向量瓦=a—b,如图

所示.

思考：在什么条件下，\a-b\=\a\+\b\?

［提示］当a,b至少有一者为0或ab非零且反向时成立.

r~^初;试

1.非零向量卬与〃是相反向量，下列不正确的是()

A.m=nB.m=~n

C.\m\=\nD.方向相反

A［由条件可知，当且〃HO时B,C,D项都成立，故选A.］

2.在菱形力发力中，下列等式中不成立的是（）

A.AC-AB=BC

B.AD-BD=AB

C.BD-AC=BC

D.BD-CD=BC

C［如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，BD-AC=

AD-AB-(4?+A£i)=-2Al洋BC,故选C.]

3.化简以）-04■尸S+57的结果等于（）

A.QPB.OQ

C.SPD.S0

B[原式=(*IP&I(PSISP)=OQ\0=0。]

4.如图，在口ABC。中，/IQa,/W=力,用2b表示向量AC,BD,则AC=

BD=

a+bb-a［由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知

AC=a~\-b,BD=b-a.]

【合作探究】

4夫型1向量减法的几何意义

—►—►—►­►

【例1】(1)如图所示，四边形力及笫中，若AB=a,AD=b,BC=c,则〃C=

()

D

n

AaB

A.a—b-\-c

B.b—(a+c)

C.a+b+c

D.b—a-\-c

(2)如图所示，已知向量a,b,。不共线，求作向量a+b—c.

［思路探究］⑴利用向量减法和加法的几何意义，将比向阳BC,4雌化;

(2)利用几何意义法与定义法求出a+8一。的值.

―►—►—►—►—►-►

(DA\DC=AC-AD=(AB+B。~AD=a+c~b.1

—►

(2)［解］法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点。，作为=a,

—►—►—►—►

AB=b,则勿=a+b,再作%=c,则S=a+6—c.

―►―>—►

法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点。，作〃4=a,AB=b,则必

=a+b,再作6。=-c,连接0C,则%=a+6—c.

图①图②

规律方法

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如力，可以先作一6,然后作a+(一

b)即可.

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量

为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

◎跟踪训练

1.如图，已知向量a,b,c,求作向量a—6—c.

［解］法一：先作〃一儿再作a-b—c即可.

如图①所示，以力为起点分别作向量力舜口/使18=4力。=6.连接6得

向量3a—6,再以。为起点作向量微使677=c,连接％得向量〃4则向量施

即为所求作的向量a—b-c.

图①图②

法二：先作一6,一c,再作a+(-b)+(-c),如图②.

⑴作47=—6和比=一c；

(2)作物=a,则0C=a—b-c.

M型2向量减法的运算及简单应用

【例2】⑴如图所示,

①用ab表示能

②用儿c表示EC.

(2)化简下列各向量的表达式:

②(力8一5一(47—孙

(3){AC^BOA-0A)-{DC-DO-OB).

［思路探究］按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时,

必须保证两个向量的起点相同.

［解］(1)由题意知CD=b,DE=c.

①DB=CB-CD=-BC-CD=-a-b.

②EC=—CE=—(。9+㈤=—b—c.

⑵①力8+BC-AD=AC-AD=DC.

②(AB-CD)-(AC-B0)=(AB+B。一(AC+ClJ)=AD-AD=O.

③(〃+%+04)-{DC-DO-Off)

(〃+胡)-{OC-OB)=BC—BC=Q.

⑵②法一：（加法法则）

原式=AB—CD—AC+BD

­►-►

=AD-AD=O；

法二：减法法则（利用相反向量）

—►—►—►—►

原式=AB—CD—AC+BD

-►-A-►-A

=（/4一］0+（〃C-第

—►—►

=CB+BC=O：

法三：减法法则（创造同一起点）

—►►—►—►

原式=AB-CD—AC+BD

―►—►—►—►—►—►—►—►

=（附一切）一（勿一比）一（宓一力）+（勿-如

=OB—OA—0D+OC—0C+0A+OD-OB=0.

规件右法

1.向量减法运算的常用方法

可以通过相反向量，把向量减法的

〔运算转化为加法运算

常

用

运用向量减法的三角形法则，此时

方

要注意两个向量要有共同的起点

法

〕

引入点o,逆用向量减法的三角形法

则，将各向量起点统一

2.向量加减法化简的两种形式

（1）首尾相连且为和.

（2）起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

3.与图形相关的向量运算化简

首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图

形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算.

。跟踪训练

2.化简下列向量表达式：

—>—―*~►

⑴QQQV4•物一胡；

—>—>—>—>

(2){AD-BM)+［BC-MC).

—►—►—►—►—►—►—►—►—►-►

［解］⑴OM—0N+MP—NA=NM+”一NA=NP—NA=AP.

­►―►—►—►—►—►―►—►—►—►—►―►—►

(2){AD-BID+(BC—MO=力什MB+BC+CM=(昭+BC+CM)=力〃+0=

AD.

)委型3一向量减法几何意义的应用

［探究问题］

1.以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a+6和a—

b放在这个图形中？

［提示］如图所示，平行四边形被N中，AB=a,AD=b,则a+b=/iaa

-b=DB.

D

2.已知向量&b,那么|川一|引与|a±b|及|z|+|b|三者具有什么样的大

小关系？

［提示］它们之间的关系为IIal-I引IW|a土引W|印+|”.

(1)当46有一个为零向量时，不等式显然成立.

⑵当a,b不共线时，作6M=a,AB=b,则8+6=如如图①所示，根据

三角形的性质,有||a|一性||<|a+b|<|a|+|4•同理可证||&|一同||<|&-

b\<\a\+\b\.

⑶当a,6非零且共线时，①当向量a与，同向时，作法同上，如图②所示,

此时|a+引=㈤+|力|.②当向量a,b反向时，不妨设|&|>|引，作法同上，如

图③所示，此时|a+引=㈤一|引.

ffl(D嗨

Oa+bBbA

a®

综上所述，得不等式Ila一|引区所土引+

【例3】⑴在四边形心力中，AB=DC,若|49一力创=|a'一为|,则四边

形力腿是（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不确定

—►—►—►—►

⑵己知|明=6,|49|=9,求|45一力〃|的取值范围.

［思路探究］⑴先由四=比判断四边形力腿是平行四边形，再由向量减法

—►—►—►-►

的几何意义将M〃一袖|=|比」胡I变形，进一步判断此四边形的形状.

-►—►―►—►—►-►

⑵由11初一IM|w|48—Mw|阳+IM求范围.

(1)BV：AB=DC,

・・・四边形455为平行四边形，

—►—►―►—►—►-►

又・・,|/〃一力冽=|比一为，：.\BD\=\AC\.

・••四边形/颇为矩形.］

—►—►—►—A—►-►

⑵［解］・・・||力冽一\^\AB-AD\^\AB\+\AD\f

-►-A—►-►

且|力〃|=9,|18|=6,・・.3W|47-4?|W15.

—►—►—►-►

当49与力冏司向时，\AB-AD\=^

—►―►—►―►

当4。与45反向时，\AB-AD\=^.

・・・|加初|的取值范围为［3,15］.

［母题探究］

―►-►—>

1.将本例⑵的条件改为“I48=8,|力〃|=5"，求|初I的取值范围.

—►—►—►—►—►

［解］因为用=力。一板|力冽=8,|力。|=5,

-A-A-A—►—►—►

|\AD\-\AB\\^\AD-AB^\AD\+\AB\f

­►

所以3<M|W13,

—►―►—►

当力g/W同向时，|初1=3；

—►—►-►

当力屿皿反向时，|劭1=13.

所以I切I的取值范围是［3,13］.

—>—*

2.在本例(2)条件不变的条件下，求：|力6+4〃|的取值范围.

―►—►――►—►

［解］^\\AB\-\AD\\^\AB+AD\^\AB\+\AD\9

・・・|力创=6,|初|=9,

—►­►

・・・3W|43+MW15.

-►-A-A-A

当45与49同向时，|/8+力。|=15；

-A—►—►—►

当4g/L2反向时，|4?+初=3.

-►-►—>

3.本例⑵中条件=9"改为，劭|=9"，求|4?|的取值范围.

―►—►—►—►―►

［解］AD=BD-BA,又|胡|=|明，

—►—>—►—>—►—>

由11班|一|附||W|Q-剔<劭|+|为

・・・3W|4〃|W15.

规律方法

1.用向量法解决平面几何问题的步骤

(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.

(2)化归为向量问题，进行向量运算.

(3)将向量问题还原为平面几何问题.

2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键

(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证

明对应有向线段所表示的向量相等即可.

(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问

题的关键.

r课堂4、结m

―►-►

1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，-AB=BA就

可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a一

b=a+(-5).

2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭

头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.

—►—►

3.以平行四边形力用力的两邻边力昆49分别表示向量四=a,AD=b,则两

条对角线表示的向量为力占a+6，BD=ba,DB=ab,这•结论在以后应用非

常广泛，应该加强理解并掌握.

【课堂达标训练】

1.判断正误

(1)0—a=—a；()

⑵一(一向=&()

(3)a+(—a)=0；(

⑷a+0=a；()

(5)a—b=a~\~(—2?)；()

(6)a+(—a)=0.()

［答案］(1)J(2)J(3)V(4)V(5)V(6)X

2.化简胡一。+如一〃6三.

—►—►—►-►

0IBA—CA+DB-DC

—►―►—►-►

=(阴+10+(如一〃0

—►-►

=BC+CB

=0」

3.若a,6为相反向量，且|a|=l,|引=1,则|a+b|=______,\a-b

02［因为a,8为相反向量，，a+b=0,

即\a-\-b\=0,又a=-b,la—b/=\2a\=2.］

4.若aWO,bWO且|川=|引=|a—引，求a与a+8所在直线的夹角.

［解］如图，设勿=a,

B.C

OB=b,

则a~b=BA,

因为Ia|=|b\=\a-b\,

—>-*—

所以I"1=1㈣=1胡I,

所以△勿6是等边三角形，

所以/阴=60°.

因为ga+b,且在菱形力"中

对角线0C①分乙BOA.

所以a与a+b所在直线的夹角为30°.

6.2.3向量的数乘运算

学习目标核心素养

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运

算的几何意义.(重点)

1.通过向量的加法得到向量数乘

2.理解并掌握向量数乘的运算律，会

运算的直观感知，再过渡到数乘运

进行向量的数乘运算.(重点)