河南省部分重点高中2023～2024学年高二数学下学期5月大联考试题含答案

2023~2024学年度5月质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C.4 D.23.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则圆的半径为（）A.2 B.4 C. D.85.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（）A. B. C. D.6.已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知，设函数，若存在，使得，则取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，点，是曲线的两个相邻的对称中心，则（）A.的最小正周期为 B.在区间上的最大值为2C.直线是曲线的一条对称轴 D.在区间上有3个零点10.设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（）A.若，则为等差数列 B.若，则C.若，则是公差为的等差数列 D.若，则的最大值为111.已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（）A.的准线方程为B，，成等差数列C.若在准线上，则D.若在的准线上，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答）13.已知为坐标原点，若双曲线右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________.14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.16.近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视4无近视2合计（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.17.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.（1）证明：；（2）设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）已知有两个极值点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为上的一个动点，求面积的最大值；（3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.2023~2024学年度5月质量检测高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定，再根据集合交集的定义求解.【详解】由，解得，所以；又由，解得，所以.所以.故选：B.2.已知，则（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数四则运算可得，，即可得模长.【详解】由题意可得，则，所以.故选：A.3.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，令，利用导数求的单调递减区间.【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：B.4.若直线与圆相切，则圆的半径为（）A.2 B.4 C. D.8【答案】C【解析】【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C.5.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解.【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而，，故.故选：A.6.已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分析可知，结合投影向量的定义分析求解.【详解】由，则，整理可得，所以在方向上的投影向量为.故选：D.7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数单调性以及奇偶性分大于1或小于1进行讨论即可得解.【详解】由是奇函数及在上单调递增，所以，则关于对称，当时，，此时若，则，即，所以，当时，，此时若，则，即，所以，综上所述，当且仅当或时，.故选：C.8.已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解.【详解】当时，易知的最小值为，当时，，令，解得，若，则在上单调递增，且时，，所以只需，解得或，又，所以，若，则在上单调递减，在上单调递增，成立，所以符合题意，综上，的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，从而即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，点，是曲线的两个相邻的对称中心，则（）A.的最小正周期为 B.在区间上的最大值为2C.直线是曲线的一条对称轴 D.在区间上有3个零点【答案】ABC【解析】【分析】对于A：根据题意结合正弦函数性质分析周期性，即可得结果；对于B：由选项A可知：，以为整体，结合正弦函数求最值；对于C：结合选项B中的最值分析判断；对于D：结合周期性分析判断.【详解】对于选项A：设最小正周期为，且，由题意可知：，可得，，故A正确；对于选项B：由选项A可知：，当时，则，可知当，即时，取到最大值2，所以在区间上的最大值为2，故B正确；对于选项C：由选项B可知：当时，取到最大值2，所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；对于选项D：因为的最小正周期为，且在一个周期长度内至多只有2个零点，故D错误；故选：ABC.10.设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（）A.若，则等差数列 B.若，则C.若，则是公差为的等差数列 D.若，则的最大值为1【答案】ABD【解析】【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解.【详解】当时，，所以为等差数列，A选项正确；，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误；当时，，所以，B选项正确；由可知，，所以，D选项正确.故选：ABD.11.已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（）A.的准线方程为B.，，成等差数列C.若在的准线上，则D.若在的准线上，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式即可判断A，设，，可以用表示，进一步判断B，设直线：，：，从而得到，进一步结合B选项分析可判断C，由抛物线定义结合基本不等式即可得解.【详解】对A，抛物线：，抛物线的准线方程为，A选项错误；对B，设，，∵，∴，，，∴，B选项正确；对C，由上可知直线：，：，解得，，，，C选项正确；对D，，当且仅当时取等号，D选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出，进一步结合，即可顺利判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答）【答案】-80【解析】【分析】直接利用二项式展开式，通过赋值即可得解.【详解】的展开式的通项为，令，的系数为.故答案为：-80.13.已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即，所以，离心率.故答案为：.14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】分析可知，，整理可得侧面积为，换元，结合基本不等式分析求解.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为，则，，可得圆锥侧面积为，设，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以该圆锥侧面积的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.【答案】（1）证明见解析（2）39【解析】【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明；（2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解.【小问1详解】因为，则，且，可得，所以是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）可得：，则，由题意可得：，，即，解得，所以的值为39.16.近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视4无近视2合计（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.【答案】（1）可以认为学生是否近视与体育运动时长有关（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】由题意可知：抽取50人中体育运动时长小于1小时的人数为，据此可得列联表：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视8412无近视23638合计104050零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关.【小问2详解】由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123的期望.17.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.（1）证明：；（2）设为的中点，在棱上，满足平面，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）只需结合已知以及线面垂直的判定定理证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦的坐标公式即可得解.【小问1详解】连接，设与交于点，因为，且，所以，所以，所以，又在直三棱柱中，，平面，平面，故，又，，平面，所以平面，又平面，故；小问2详解】如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，，设，，因为平面，平面，平面，所以，则由，得，解得，所以平面的一个法向量为，设与平面所成角为，，则，所以与平面所成角的正弦值为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）已知有两个极值点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以曲线在处的切线方程为，即.【小问2详解】（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，令，可得，原题意等价于有两个不同的正实数根，因为，当且仅当，即时，等号成立，可知，所以的取值范围；（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，不妨设，可知，当时，；当或时，；可知在，上单调递增，在上单调递减，所以为的极小值点，为的极大值点，对于的极值点，则，可得，设，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在上单调递减，则，可知，则，又因为在区间上单调递增，则，所以的极大值的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左