人教版九年级上数学第二十四章 圆（同步测试）（包含答案）

第二十四章圆

24.1圆的有关性质

24.1.1圆

基础题

知识点1圆的定义

1.下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)

A.以点0为圆心

B.以2cm长为半径

C.以点。为圆心，5cm长为半径

D.经过点A

3.如图，在00中，点B在。0上，四边形A0CB是矩形，对角线AC的长为5,则。。的半径长为立.

知识点2与圆有关的概念

4

C

R

4.如图所示，在。。中，弦有AC,AB,

直径是空，优弧有赢，笳,劣弧

有黄，就.

5.下列命题中正确的有(A)

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

6.过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为(A)

A.1条B.2条

C.3条D.无数条

知识点3圆中的半径相等

7.如图所示，MN为。0的弦，NN=52°,则NM0N的度数为(C)

A.38°

B.52°

C.76°

D.104

8.如图，AB为。0的直径，点C,D在。0上，已知/B0C=70°,AD〃OC,则/A0D=40°.

9.如图，有五个小朋友在一个圆周上做抢红旗的游戏，把这面小红旗放在什么位置，才能使这个游

戏对五个小朋友公平？并说明理由.

解：把小红旗放在圆心处，才能使这个游戏对五个小朋友公平.因为圆上各点到圆心的距离相等,

都等于半径.

中档题

10.下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形.其中四个顶点在同一个圆上的有⑻

A.1个B.2个

C.3个D.4个

11.下列5个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③一条弦把圆分成

两条弧，这两条弧可能是等弧；④半径不相等的圆中不可能有相等的弦；⑤半径不相等的圆中不可

能有等弧.其中真命题的个数为(D)

A.0B.1

C.2D.3

12.如图，。。的半径0A=6,以A为圆心，0A为半径的弧交。。于B,C点，则BC=(A)

A.6小

B.6^2

C.3y[3

D.3y[2

13.(本课时T3变式)如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M,N

重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA'+PB?的值(C)

A.变大

B.变小

C.不变

D.不能确定

解析：,连接0P,在直角4PAB中，AB2=PA2+PB2,又：矩形PAOB中，OP=AB,.\PA2+PB2=AB2=

OP2.故选C.

14.己知A,B是半径为6的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0VABW12.

15.如图所示，AB是。。的弦，半径OC,0D分别交AB于点E,F,且AE=BF,请写出线段0E与OF

的数量关系，并给予证明.

解：OE=OF.

证明：连接OA,0B.

VOA,0B是。。的半径,

/.OA=OB,

Z0AB=Z0BA.

又：AE=BF,

.,.△OAE^AOBF(SAS).

.*.OE=OF.

16.(教材P80例1变式)如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,点E,F,G,H分别是AB,

BC,CD,DA的中点，求证：E,F,G,H四个点在以点。为圆心的同一个圆上.

证明：连接0E,OF,0G,0H.

•••四边形ABCD为菱形,

；.AB=BC=CD=DA,且点。为AC,BD的中点.

VE,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,

1

.,.OE=OF=OG=OH=-AB.

/.E,F,G,H四个点在以点。为圆心、%B的长为半径的圆上.

O©O0连接半径构造等腰三角形

【方法指导】圆中的半径相等，所以连接圆心和圆上任意两个不构成直径的点就会组成等腰三角形.

1.如图，AB是半圆。的直径，D是半圆上的一点，/DOB=75°,DC交BA的延长线于点E,交半圆

于点C,且CE=AO,则NE=25°.

D

G

EA\~]B

2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点0在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB,

A0分别交半圆于点C,D,点B,C,D对应的读数分别为160°,72°,50°,则NA=24°.

3.如图，点D,E在AABC的边BC,AB上，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆

的圆心为点D.如果/A=57°,那么/B=22°.)

24.1.2垂直于弦的直径

基础题

知识点1圆的对称性

1.下列说法正确的是(B)

A.直径是圆的对称轴

B.经过圆心的直线是圆的对称轴

C.与圆相交的直线是圆的对称轴

D.与半径垂直的直线是圆的对称轴

知识点2垂径定理

2.(孝义期中)如图，。。的弦AB=8,OM±AB,垂足为M,且0M=3,则。。的半径等于(D)

A.8B.2C.10D.5

3.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB,垂足为M,下列结论不一定成立的是(D)

A.CM=DMB.CB=DB

C.ZACD=ZADCD.0M=MB

4.如图，在。。中，半径0C与弦AB垂直于点D,且AB=8,0C=5,则CD的长是(C)

A.3B.2.5C.2D.1

5.(大同期中)如图，AB是。。的直径，弦CDLAB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是班.

知识点3垂径定理的推论

6.如图，。。的半径为10,M是AB的中点，且OM=6,则。0的弦AB等于(D)

A.8

B.10

C.12

D.16

知识点4垂径定理的应用

7.如图，小丽荡秋千，秋千链子的长0A为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离

AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米.

8.(金华中考)如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的

长为(C)

A.10cm

B.16cm

C.24cm

D.26cm

9.如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是多

少米？

解:连接0A.

VCD1AB,且CD过圆心0,

；.AD=；AB=1米，NCDA=90。.

设。。的半径为R,则

0A=0C=R,0D=5—R.

在Rt^OAD中，由勾股定理，得

OA2=OD2+AD2,即

R2=(5-R)2+l2,解得R=2.6.

故圆拱形门所在圆的半径为2.6米.

易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”

10.下列说法正确的是(D)

A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧

B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，不一定过圆心

C.过弦的中点的直径垂直于弦

D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦

中档题

11.已知。。的半径0A=10cm,弦AB=16cm,P为弦AB上的一个动点，则0P的最短距离为(B)

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

12.(呼和浩特中考)如图，CD为。。的直径，弦ABLCD,垂足为M.若AB=12,0M：MD=5：8,则

。。的周长为(B)

A.26几

B.13n

13.【分类讨论思想】(农大附中期末)。。的半径是13,弦AB〃CD,AB=24,CD=10,贝UAB与CD

的距离是(C)

A.7B.17C.7或17D.34

提示：分AB,CD在圆心的同侧和异侧两种情况去求值，如图所示.

14.如图，在。。中，AB,AC是互相垂直的两条弦，OD_LAB于点D,OEJ_AC于点E,且AB=8cm,

AC=6cm,那么。0的半径0A长为5cm.

15.如图，在AABC中，已知/ACB=130°,ZBAC=20°,BC=2,以点C为圆心，CB为半径的圆

交AB于点D,则BD的长为班.

16.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧蓝.若蓝的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,则屈

所在圆的半径为50m.

17.【关注数学文化】（乐山中考改编）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了

东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋

在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸），

问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC.

解：设。。的半径为r.由题意，M0EXAB.

VOE±AB,AB为弦,

11

/.AD=~AB=-X10=5.

在RtZkADO中，OA2=AD2+OD?.

V0D=0E-DE=r-L0A=r,AD=5,

.*.rz=52+(r—l)2,解得r=13.

；.。0的直径AC为26寸.

18.已知在以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D（如图所示）.

（1）求证:AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心0到直线AB的距离为6,求AC的长.

解：（1）证明：过点0作OELAB于点E.

则CE=DE,AE=BE.

.\AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

⑵连接OA,OC.

由（1）可知，OE±AB1.OE±CD,

/.CE=^/0C2-0E2二代一6?=2小，

AE=^/0A2-0E2=^/102-62=8.

综合题

19.(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,

D在以0A为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2,6).

20.太原市城市风貌提升工程正在火热进行中，检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现

准备制作一批新的候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后(如图1),设计师画出了如图2所示的

侧面示意图，FG为水平线段，PQXFG,点H为垂足，FG=2m,FH=1.2m,点P在用上，且用所在

圆的圆心0到FG,PQ的距离之比为5：2,则PH的长为0.6m.

图1

图2

24.1.3弧、弦、圆心角

基础题)

知识点1圆心角的概念及其计算

1.下面图形中的角是圆心角的是(D)

2.如图，已知AB为。0的直径，点D为半圆周上的一点，且而所对圆心角的度数是丽所对圆心角

度数的2倍，则圆心角NB0D=60°.

3.已知。。的半径为5cm,弦AB的长为5cm,则弦AB所对的圆心角/AOB=「.

知识点2弧、弦、圆心角之间的关系

4.如图，AB,CD是。0的两条弦.

⑴若NAOB=NCOD,则蔡=而，AB=CD；

(2)若蕊=丽，则NAOB=QCOD,AB=CD；

⑶若AB=CD,则NAOB=NCOD,AB=®.

5.如图，在。0中，点C是葩的中点，ZA=50°,则/BOC=(A)

A.40°B.45°C.50°D.60

6.如图，AB是。。的直径，BC=CD=DE,ZC0D=34°,则NE的度数是(A)

A.51°B.56°C.68°D.78°

7.（孝义期中）如图，AB,CD是。。的两条弦，要使AB=CD,需补充的条件是/AOD=/BOC（答案不

唯一）.

8.（毕节中考）如图，AB是。。的直径，C,D为半圆的三等分点，CELAB于点E,则NACE的度数为

30°.

9.如图，AB,DE是。0的直径，C是。0上的一点，且而=“.BE与CE的大小有什么关系？为什么？

解:BE=CE.理由如下：

VAB,DE是。。的直径,

.\ZAOD=ZBOE.

.*.AD=BE.

VAD=CE,

.\BE=CE.

；.BE=CE.

10.（牡丹江中考）如图，在。。中，AC=CB,CDL0A于点D,CEJ_0B于点E,求证：AD=BE.

证明：连接0C,

VAC=CB,

ZA0C=ZB0C.

•.•CD_L0A于点D,CE_L0B于点E,

.,.ZCD0=ZCE0=90°.

在△COD和△«)£中，

2DOC=NEOC,

<ZCD0=ZCE0=90°,

CO=CO,

/.△COD^ACOE(AAS).

/.OD=OE.

VA0=B0,

.*.AO-OD=OB-OE,

即AD=BE.

易错点对圆中的有关线段的关系运用不当而致错

11.如图，在00中，慈=2与，试判断AB与2CD的大小关系，并说明理由.

解：•..在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等，，当蔡=2而时，AB=2CD.

以上解答是否正确？若不正确，请改正.

解:不正确.AB<2CD.

理由：取蔡的中点E,连接AE,BE,

VAB=2CD,

.\AE=BE=CD.

.\AE=BE=CD.

VAE+BE>AB,

.\AB<2CD.

中档题

12.如图，在。0中，已知弦AB=DE,OC±AB,OF±DE,垂足分别为C,F,则下列说法：①NDOE

=NAOB；②蔡=施；③OF=OC；④AC=EF.其中正确的个数为（D）

A.1B.2C.3D.4

13.如图，点A,B,C是。。上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFLAB交。。于点F,则/

BAF等于(B)

A.12.5°B.15°

C.20°D.22.5°

14.如图，AB是半圆0的直径，E是0A的中点，F是0B的中点，MELAB于点E,NFLAB于点F.在

下列结论中:

①福=施=而；②ME=NF；③AE=BF；@ME=2AE.

正确的有①②③.

15.（教材P84例3变式）如图，AB是。。的直径，AC=CD,ZC0D=60°.

⑴AAOC是等边三角形吗？请说明理由；

(2)求证：0C/7BD.

解：（l）ZXAOC是等边三角形.

理由：VAC=CD,

；.NA0C=NC0D=60°.

又：OA=OC,

.,.△AOC是等边三角形.

(2)证明:VZA0C=ZC0D=60,,

；.NB0D=180°—(/AOC+/COD)=60

,?OD=OB,/.AODB为等边三角形.

.,.Z0DB=60°.

.\Z0DB=ZC0D=60°.

；.OC〃BD.

16.如图，在。。中，M,N分别是半径0A,OB的中点，且CM_LOA,DN_LOB.求证：AC=BD.

证明：连接OC,0D,则OC=OD.

VM,N分别是半径0A,OB的中点,.\OM=ON.

VCM±0A,DN±OB,

.,.Z0MC=Z0ND=90°.

在RtAOMC和RtAOND中,

OM=ON,

OC=OD,

.,.RtAOMC^RtAOND(HL).

•,.ZM0C=ZN0D.

.".AC=BD.

综合题

17.（牡丹江中考）如图，在。0中，AB=2AC,ADLOC于点D.求证：AB=2AD.

证明：延长AD交。。于点E.

VOC1AD,

.\AE=2AC,AE=2AD.

VAB=2AC,,\AE=AB.

；.AB=AE.；.AB=2AD.

24.1.4圆周角

第1课时圆周角定理及其推论

基础题

知识点1圆周角的概念

1.下列图形中的角是圆周角的是(B)

)

ABCD

知识点2圆周角定理

2.如图，A,B,C是。。上的三点，NB=30。，则NA0C的度数是(A)

A.60°B.55°C.50°D.40°邑・

3.如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在。。上,，边AB,AC分别与。0交于

点D,E,则ND0E的度数为(D)

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.(大同期末)如图，AB,CD是。0的弦，且AB〃CD,若NBAD=36°,则NAOC=(B)

A.90°B.72°C.54°D.36°

三,4/------

5.如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m,测得圆周角NACB=

30°,则这个人工湖的直径为迎m.

.0

C

'n

A

知识点3圆周角定理的推论

6.如图，已知AB是。0的直径，点C在。0上，ZA=35°,则/B的度数是(C)

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.(黔西南中考)如图，在。。中，AB=AC,ZBAC=50°,则/AEC的度数为(A)

A.65°B.75°

C.50°D.55°

8.如图，把直角三角板的直角顶点0放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M,N,

量得OM=8cm,0N=6cm,则该圆玻璃镜的半径是(B)

A.y[~LQcmB.5cm

C.6cmD.10cm

9.(吉林中考)如图，A,B,C,D是。0上的四个点，病=曲.若NA0B=58°,则ND=29°.

10.(济南中考)如图，AB是。。的直径，ZC=25°,求NBAD的度数.

解：TAB为。。的直径,

・・・NADB=90°.

VZC=25

・・・NB=NC=25°.

AZBAD=90°—NB=65°.

中档题

11.（巴中中考）如图，在。0中，半径OC_L弦AB于点D,点E在。0上.若NE=22.5°,AB=4,

则半径OB等于（C）

A.72B.2C.2y[2D.3

12.（阳泉孟县月考）如图，若AB是。0的直径，CD是。0的弦，NABD=55。，则NBCD的度数为

(A)

A.35°B.45°C.55°D.75°

13.如图，A,B,C三点均在。。上，若NA=a,则N0BC等于（D）

R

A.180°-2a

B.2a

C.90°+a

D.90°-a

14.（杭州中考）如图，AB是。。的直径，点C是半径0A的中点，过点C作DELAB,交。。于D,E

两点，过点D作直径DF,连接AF,则NF=30。.

15.如图，OC经过原点，并与两坐标轴分别交于A,D两点，已知N0BA=30°,点A的坐标为⑵

0）,则点D的坐标为（0,2斓）.

16.（教材P87例4变式）（大同期中）如图，AB是。。的直径，弦CD与AB相交，D为血的中点.

（1）求/ABD的大小；

⑵若AC=6,BD=5巾，求BC的长.

解：(1)：D为丽的中点，

.•.而=丽.

.*.AD=BD.

TAB是。0的直径，

AZACB=ZADB=90°.

NABD=NDAB=45°.

(2)VBD=5^2,；.AD=BD=5镜.

/.AB=\l(5^/2)2+(572)2=10.

；AC=6,

.\BC=^/102-62=8.

17.如图，在AABC中，AB=BC=2,以AB为直径的。。分别交BC,AC于点D,E,且点D为边BC

的中点.

⑴求证：AABC为等边三角形;

⑵求DE的长.

解：（1）证明：连接AD.

VAB是。0的直径,

ZADB=90°.

:点D是BC的中点，

AAD是BC的垂直平分线.，AB=AC.

又：AB=BC,.,.AB=AC=BC.

/.△ABC为等边三角形.

⑵连接BE.

：AB是。0的直径，

NAEB=90°.ABEXAC.

VAABC是等边三角形，

.\AE=EC,即E为AC的中点.

又是BC的中点，

ADE是4ABC的中位线.

11

DE=_AB=-X2=l.

综合题

18.如图，在。。中，AB是。。的直径，AB=8cm,AC=CD=BD,M是线段AB上一动点，CM+DM的

最小值为8cm.

19.(山西模拟)数学课上，老师让测量三角形纸板中NACB的度数，圆圆把三角形纸板按如图所示

的方式放置在一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，点A,B处的读数分别为65。，20。，则

ZACB的度数为(C)

A.45°B.32.5°C.22.5°D.20°

第2课时圆内接四边形

基础题

知识点圆内接四边形的性质

1.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，若NDAB=60°,则NBCD的度数是(D)

A.60°B.90°

C.100°D.120°

2.如图,四边形ABCD内接于。0,若NBAD=70°,则四边形ABCD的外角NDCE的度数为(D)

A.140°B.110°

C.220°D.70°

3.(牡丹江中考)如图，四边形ABCD内接于。0,AB经过圆心，NB=3NBAC,则NADC等于(B)

A.100°B.112.5°

C.120°D.135°

4.(广东中考)如图，四边形ABCD内接于。0,DA=DC,ZCBE=50°,则NDAC的大小为(C)

A.130°B.100°

C.65°D.50°

5.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知NC=ND,则AB与CD的位置关系是AB〃CD.

6.如图，AB是半圆0的直径，NBAC=30°,D是筋的中点，则NDAC的度数是300.

7.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分NBDF.求证:

AB=AC.

证明：：AD平分NBDF,.\ZADF=ZADB.

VZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADF=180°,/ADF=/ABC.

VZACB=ZADB,

.\ZABC=ZACB.

；.AB=AC.

8.已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2：1：7,求这个四边形各内角的度数.

解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2：1：7：8.

设这四个内角的度数分别为2x°,x°,7x。，8x°,则

2x+x+7x+8x=360.解得x=20.

则2x=40,7x=140,8x=160.

答：这个四边形各内角的度数分别为40°,20°,140°,160°.

9.如图，四边形ABCD内接于。0,/B=50°,NACD=25°,/BAD=65°.求证:

(1)AD=CD；

(2)ABMOO的直径.

证明：(1)：四边形ABCD内接于。0,

.*.ZD=180o-ZB=130°.

,/ZACD=25O,

.,.ZDAC=180°-ZD-ZACD=180°-130°-25°=25°.

/.ZDAC=ZACD.

AAD=CD.

(2)：NBAC=NBAD-NDAC=65°-25°=40°,ZB=50c

；.NACB=180°-ZB-ZBAC=180°-50°-40°=90°.

.,.AB是。0的直径.

易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错

10.已知。0的弦AB的长等于。0的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°.

中档题

11.(兰州中考)如图，四边形ABCD内接于。0,四边形ABC0是平行四边形，则/ADC=(C)

A.45°B.50°C.60°D.75°

12.如图，四边形ABCD内接于。0,F是加上一点，且即=能，连接CF并延长交AD的延长线于点E,

连接AC.若NABC=105°,NBAC=25°,则NE的度数为(B)

A.45°B.50°C.55°D.60°

13.(黄石中考)如图，已知。。为四边形ABCD的外接圆，0为圆心.若NBCD=120°,AB=AD=2,

则。0的半径长为(D)

14.如图，。0经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上

一点，NBM0=120°.求。C的半径.

解：:四边形ABM0内接于。C,

.\ZBA0+ZBM0=180°.

VZBM0=120°,

・・・NBA0=60°.

在RtZkABO中，A0=4,ZBA0=60°,

AAB=8.

VZA0B=90°,

AAB为。C的直径.

：.QC的半径为4.

15.(苏州中考)如图，AB是。。的直径，D,E为。。上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,

使得CD=BD.连接AC交。。于点F,连接AE,DE,DF.

(1)求证：NE=NC；

(2)若/E=55°,求NBDF的度数.

解：(1)证明：连接AD.

VAB是。0的直径，

.".ZADB=90°,即AD_LBC.

VCD=BD,；.AD垂直平分BC.；.AB=AC.，/B=NC.

又；NB=/E,.\ZE=ZC.

(2)：四边形AEDF是。0的内接四边形，

.\ZAFD=180°-ZE.

又：/CFD=180°-ZAFD,

；./CFD=/E=55°.

VZE=ZC=55°,

.,.ZBDF=ZC+ZCFD=110°.

综合题

16.【类比思想】如图，。。的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.

(1)若NE=/F,求证：ZADC=ZABC；

(2)若NE=NF=42°,求/A的度数；

⑶若NE=a,NF=B,且aWB.请你用含有a,B的代数式表示/A的大小.

解：（1）证明：VZDCE=ZBCF,ZE=ZF,

又・.・NADC=NE+NDCE,NABC=NF+NBCF,

・・・NADC=NABC.

（2）由（1）知NADC=NABC,

•・,四边形ABCD内接于。0,

・・・NADC+NABC=180°.

.\ZADC=90°.

在RtZXADF中，ZA=90°—NF=90°-42°=48°.

⑶连接EF.

,/四边形ABCD为。0的内接四边形，

・・・NECD=NA.

VZECD=ZCEF+ZCFE,

・・・NA=NCEF+NCFE.

VZA+ZCEF+ZCFE+ZDEC+ZBFC=180°，

A2ZA+a+8=180°.

a+B

・・・NA=90°———

oeo⑥0。

17.（太原二模）如图，AB为00的直径，BC为。0的弦，点D是劣弧前上一点.若点E在直径AB另

一侧的半圆上，且NAED=27°,则/BCD的度数为117°.

E

山西高频考点专题14与圆的基本性质有关的计算

类型1求角度

（荷泽中考）如图，在。。中，OC±AB,ZADC=32°,则NOBA的度数是（D）

64°B.58°C.32°D.26

2.如图，OA过点0,C,D,点C的坐标为（m，0）,点B是x轴下方。A上的一点，连接BO,BD,

已知N0BD=30°,则。A的半径等于L

类型2求长度

3.（咸宁中考）如图，已知。。的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是NAOB,NCOD.若NAOB

与NCOD互补，弦CD=6,则弦AB的长为（B）

A.6B.8C.572D.5小

4.如图，。。的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点，连接0P.若0P=4,ZAP0=30°,贝弦

AB的长是班.

5.（北京中考）如图，点A,B,C,D在。0上，CB=CD,ZCAD=30°,ZACD=50°，则/ADB=Z^

6.（南京中考）如图，四边形ABCD是菱形，。。经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.

若ND=78。，则/EAC=27°.

A.D

7.(山西省适应性考试)如图所示，半圆。的直径AB=10cm,弦AC=6cm,将半圆沿着过点A的直

线折叠，折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上，则折痕AD的长为”后cm.

8.(山西百校联考一)阅读与思考:

婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍.他

的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》,

而他的负数乘除法则在全世界都是领先的.他还提出了著名的婆罗摩笈多定理.该定理的内容及部

分证明过程如下：

D

图1

已知：如图1,四边形ABCD内接于。0,对角线ACLBD于点P,PM_LAB于点M,延长MP交CD于点

N,求证:CN=DN.

证明:在z\ABP和△BMP中,VAC±BD,PM±AB,

.,.ZBAP+ZABP=90°,

ZBPM+ZMBP=90°.

/.ZBAP=ZBPM.

VZDPN=ZBPM,NBAP=/BDC,

⑴请你阅读婆罗摩笈多定理的证明，完成剩余的证明部分；

(2)已知：如图2,△ABC内接于。0,ZB=30°,ZACB=45°,AB=2.点D在。0上，ZBCD=60°.

连接AD,与BC交于点P.作PMXAB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为L

图2

解：・・・NDPN=ZPDN,

・・・DN=PN.

同理：CN=PN.

・・・CN=DN.

山西常考点专题15教材P90习题T14的变式与应用

【教材母题】（教材P90习题T14）如图，A,P,B,C是。0上的四个点，NAPC=/CPB=60°.判

断AABC的形状，并证明你的结论.

解：△ABC为等边三角形.

证明：：NAPC=/ABC,NCPB=NBAC,

又；NAPC=/CPB=60°,

；.NABC=/BAC=60°.

；.NACB=60°.

/.△ABC为等边三角形.

【问题延伸1】求证：PA+PB=PC.

证明：在PC上截取PD=AP,连接AD,如图.

VZAPC=60°,

/.△APD是等边三角形.

；.AD=AP=PD,NADP=60°,ZADC=120°.

VZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

-,.ZADC=ZAPB.

"ZABP=ZACD,

在AAPB和AADC中，＜ZAPB=ZADC,

AP=AD,

/.△APB^AADC（AAS）.

；.BP=CD.

又：PD=AP,；.PA+PB=PD+CD=PC.

证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短法”，具体做法是：在某一条线段上截取一

条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质

加以说明.

【问题延伸2】若BC=2/,点P是姮上一动点（异于点A,B）,求PA+PB的最大值.

解：由上题知PA+PB=PC,要使PA+PB最大，则PC为直径，作直径BG,连接CG.NG=NBAC=

60°,ZBCG=90°.VBC=2^3,.*.BG=4,即PA+PB的最大值为4.

直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论.

变式训练

1.（大同期中）如图，A,P,B,C是半径为8的。0上的四点，且满足/BAC=NAPC=60°.

⑴求证：AABC是等边三角形；

⑵求圆心0到BC的距离0D.

A

解：(1)证明：VZABC=ZAPC=60°，ZBAC=ZAPC=60°,

.,.ZABC=ZBAC=60°.

.,.△ABC是等边三角形.

⑵连接OB,OC.

可得NB0C=2NBAC=2X60°=120

V0B=0C,

.,.Z0BD=Z0CD=|x(180°-120°)=30°.

VZ0DB=90°,,・・0D=^B=4.

2.（广州中考改编）如图，点A,B,C,D在同一个圆上，且C点为一动点（点C不在血b上，且不与

点B,D重合），NACB=NABD=45°.

（1）求证：BD是该圆的直径；

⑵连接CD,求证：斓AC=BC+CD.

证明：(1)VZACB=45°,

・・・NADB=NACB=45°.

VZABD=45°,

.\ZBAD=90°.

・・・BD是该圆的直径.

⑵在CD的延长线上截取DE=BC,连接EA,

NABD=ZADB,AAB=AD.

VZADE+ZADC=180°,ZABC+ZADC=180°,AZABC=ZADE.

在AABC和AADE中，

'AB=AD,

<ZABC=ZADE,

、BC=DE,

AAABC^AADE(SAS).

・・・NBAC=NDAE，AC=AE.

JZBAC+NCAD=ZDAE+ZCAD.

・・・NBAD=NCAE=90°.

ACE2=AC2+AE2=2AC2,艮|3CE=/AC.

镜AC=DE+CD=BC+CD.

周测(24.1)

(时间：40分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1.下列说法正确的是(B)

A.平分弦的直径垂直于弦

B.半圆(或直径)所对的圆周角是直角

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.相等的弦所对的圆心角相等

2.如图，在。0中，AB=A(>NADC=20°,则NAOB的度数是(A)

A.40°B.30°

C.20°D.15°

©A

3.如图，AB是。。的直径,弦CD_LAB于点E,0C=5cm,CD=8cm,则AE=(A)

A.8cmB.5cm

C.3cmD.2cm

T

4.如图，AB是。。的直径,BC,CD,DA是。0的弦,且BC=CD=DA,则NBCD的度数为(C)

A.100°B.110°

C.120°D.135°

-匕----《

5.在。。中，ZA0B=84°,贝1］弦AB所对的圆周角的度数为(D)

A.42°B.138°

C.69°D.42°或138°

6.如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°,则NACD

的度数为(D)

A.46°B.23°

C.44°D.67°

7.如图，在。0中，AB=BC,直径CDLAB于点N,P是同上一点，则/BPD的度数是(A)

A.30°B.45°C.60°D.15°

8.如图，AB是。。的直径，AB=8,点M在。0上，NMAB=20°,N是施的中点，P是直径AB上的

一动点.若MN=1,则ARMN周长的最小值为(B)

A.4B.5C.6D.7

二、填空题(每小题4分，共24分)

9.如图，在00中，弦AB=6,圆心0至IJAB的距离OC=2,则。0的半径长为而.

10.如图，AB是。。的直径，点C是。0上的一点.若BC=6,AB=10,0DLBC于点D,则0D的长

为生

11.如图，在。0的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上.若NA=50°,则NBCE=50°.

12.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外,其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球

的半径为此厘米.

13.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点，点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),

则点B的坐标为(6,0).

14.已知半径为2的。0中，弦AC=2,弦AD=2s，则NCOD的度数为150°或30°.

解析：如图，连接0A.

：0A=0C=AC=2,

.\ZA0C=60°.

：0A=0D=2,AD=2隹，22+22=（2^/2）2,

ZA0D=90°.

ZCOD=ZAOD+ZAOC=150°,

或/COD=/AOD—/A0C=30°.

故答案为：150°或30°.

三、解答题（共44分）

15.（8分）如图，AB是。。的直径，点C,D是。。上的两点，且AC=CD.求证：OC〃BD.

证明：：AC=CD,

.\AC=DC.

-,.ZABC=ZDBC.

V0C=0B,

.\Z0CB=ZABC.

・・・NOCB=NDBC.

・・,OC〃BD.

16.（10分）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心0,另一边

所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径0C=5cm,弦DE=8cm,求直尺的宽.

解：过点0作0MLDE于点M,连接0D.

1

ADM=-DE.

VDE=8cm,.*.DM=4cm.

在RtZXODM中，V0D=0C=5cm,

0M=^/0D2-DM2=^/52-42=3（cm）.

直尺的宽为3cm.

17.（12分）如图，点D是等腰AABC底边的中点，过点A,B,D作。0.

（1）求证：AB是。。的直径；

⑵延长CB交。0于点E,连接DE,求证：DC=DE.

证明：(1)连接BD,

VBA=BC,AD=DC,

；.BD_LAC.；.NADB=90°.；.AB是。0的直径.

(2)：BA=BC,/.ZA=ZC.

由圆周角定理，得/A=/E,

；.NC=/E.，DC=DE.

18.（14分）如图，以AABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且丽=

BE.

⑴试判断△ABC的形状，并说明理由；

⑵已知半圆的半径为5,BC=12,求AD的长.

解：（D/XABC为等腰三角形.

理由：连接AE.

VDE=BE,

.\ZDAE=ZBAE.

TAB为直径，.,.ZAEB=90°,BPZAEC=ZAEB=90°.

"ZBAE=ZCAE,

在AABE和AACE中，«AE=AE,

、NAEB=NAEC,

/.△ABE^AACE(ASA).

.\AB=AC,即△ABC为等腰三角形.

(2)AABC为等腰三角形，/DAE=/BAE,

11

.\BE=CE=-BC=-X12=6.

在RSABE中,VAB=10,BE=6,

.,.AE=AJ102-62=8.

；AB为直径,ZADB=90°.

11

SAABC=•BC=]BD,AC,

在RtZXABD中，・・・AB=10,BD=—,

5

AD=-^AB2—BD2

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

基础题

知识点1点和圆的位置关系

1.00的半径为5cm,点A到圆心0的距离0A=3cm,则点A与。0的位置关系为(B)

A.点A在圆上B.点A在圆内

C.点A在圆外D.无法确定

2.(吕梁孝义市期中)已知。。是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为(3,-4),则点

P与。0的位置关系是(B)

A.点P在。。外B.点P在。。上

C.点P在。。内D.无法确定

3.设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：(1)点P在圆外。切；

(2)点P在圆上od=r；

⑶点P在圆内0位.

4.已知。。的半径为7cm,点A为线段OP的中点，当0P满足下列条件时，分别指出点A与。。的

位置关系.

(l)0P=8cm；(2)OP=14cm；(3)0P=16cm.

解：(1)在圆内.(2)在圆上.(3)在圆外.

5.如图，已知△ABC,AC=3,BC=4,ZC=90°,以点C为圆心作。C,半径为r.

⑴当r在什么范围时，点A,B在。C外；

⑵当r在什么范围时，点A在。C内，点B在。C外.

解：(1)当0<r<3时，点A,B在0c外.

(2)当3<r<4时，点A在。C