人教版七年级数学下册培优资料教师版

BOC,ZFOC=-AAOC：.ZEOF=ZEOCZFOC=-ZBOC+-ZAOC=

第12讲与相交有关概念及平行线的判定222

1(/BOC+ZAOC)又ZBOC+ZAOC=180°ZEOF=1xi80°=90°(2)ZBOE

考点•方法•破译

1.了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.的余角是：NCOF、ZAOF；1的补角是：ZAOE.

2.掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何【变式题组】

符号表示它们.01.如图，已知直线A3、CD相交于点O,平分NEOC,且N£OC=100°,^ZBOD

3.掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.的度数是（）

A.20°B.40°

经典•考题•赏析

【例1】如图，三条直线NB、CD、£尸相交于点O,一共构成哪几对对顶角？一共

构成哪几对邻补角？

【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两

边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角.02.（杭州）已知N1=N2=N3=62°,则N4=.

12对邻补角.【例3】如图，直线64相交于点O,4、5分别是小、。上的点，试用三角尺完成下列

【变式题组】作图：

01.如右图所示，直线45、CD、E尸相交于尸、。、R,贝IJ：⑴经过点A画直线人的垂线.

（DZARC的对顶角是⑵画出表示点B到直线A的垂线段.

邻补角是____________【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？【变式题组】

02.当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；01.尸为直线/外一点，AB、。是直线/上三点，且

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；R4=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点尸到直线/的距离

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.为（）

问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.A.4cmB.5cmC.不大于4c加

【例2】如图所示，点O是直线48上一点，OE、。方分别平分N50C、ZAOC.02如图，一辆汽车在直线形的公路43上由4向5行驶，M、N为位于公路两侧的村庄;

⑴求NEO9的度数；⑴设汽车行驶到路48上点尸的位置时距离村庄M最近.行驶到43上点。的位置时,

⑵写出ZBOE的余角及补角.距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点尸、。的位置.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的

定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；M.

【解】⑴OF平分NBOC、ZAOCZEOC=-Z

2

B

N

03.如图，已知于5,DB工EB于B,并且NC8E：：2,请作出

的对顶角，并求其度数.

⑵当汽车从4出发向8行驶的过程中，在的路上距离“村越来越近..在

的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄"越来越远.

【例4】如图，直线AB、CD相交于点O,OFLCD,OELAB,尸=65°,求N

BOE^ZAOC的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依

据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：ZAOF=

90°,OFA.AB.【例5】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们

的名称：

【解】・.・OE_LC。，OFLABAZFOB=ZEOD=90°

N1和N2：是45、麻被直线CD所截而得到的，一组同位角

（垂直定义）:./BOE=NFOD=90°一/。08=65°N1和N3：是45、CZ）被直线CD所截而得到的，一对内错角

・•・ZDOB=25°：,ZAOC=ZDOB=25°（对顶角相等）N1和N6：是45、CD被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

N2和N6：是EF、CZ）被直线45所截而得到的，一对同位角

N2和N4：是EF、45被直线CD所截而得到的，一对同旁内角

N3和N5：是EF、CD被直线45所截而得到的，一对内错角

N3和N4：是45、CD被直线防所截而得到的，一对同旁内角

【变式题组】【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两

01.如图，若于O,直线CZ）过点O,ZEOD：ZEOB=1：3,求N/OC、ZAOE个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两

条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01.如图，平行直线48、8与相交直线ERG”相交，图中的同旁

内角共有（）

A.4对B.8对C.12对D.16对

02.如图，O为直线上一点，ZBOC=3ZAOC,OC平分N4OD02.如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.

⑴求N力OC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

BOA

C.AB//DE()

03.如图，按各组角的位置判断错误的是（）

A.N1和N2是同旁内角

B.N3和N4是内错角

C.N5和N6是同旁内角03.如图，已知NE平分NC45,CE平分N4CD.ZCAE+ZACE=90°,求证：AB//CD.

D.N5和N7是同旁内角

【例6】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？

并说明理由・

⑴NCBD=/ADB；

（2）N3CZ>+ZADC=180°

^）ZACD=ZBAC04.如图，已知N力8C=N4CH,BE平分/ABC,CD

【解法指导】图中有即即有同旁平分NZC5,/EBF=NEFB,求证：CD//EF.

角，有“”即有内错角.

【解法指导】⑴由NCBD=N4DB,可推得根据内错角相等，两直线平行

⑵由N3CD+N/Z）C=180°,可推得/Z）〃5C；根据同旁内角互补，两直线平行.

⑶由NZCZ）=NR4C可推得45〃。。；根据内错角相等，两直线平行.

【变式题组】【例7】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一

01.如图，推理填空.

(DVN4=Z(已知)

:.ACHED()

(2)•・•NC=Z(已知)

J.AC//ED()

(3)VN4=Z(已知)

：.AB//DF()

02.如图，AD平分/BAC,EF平分/DEC,且N1=N2,试说明与45的位置关系.

解：・・・N。是NA4C的平分线（已知）

A

AZBAC=2Z1（角平分线定义）

图⑴图⑵

又♦：EF平分NDEC（已知）

又・・・N1=N2(已知)Ax【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图

)形为图⑵.

C

DF

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31。A.0B.2C.4D.6

则12X31°=372°>360°05.点、A、B、。是直线/上的三点，点尸是直线/外一点，且刃=4皿，PB=5CM,PC=6cm,

这与一周角等于360°矛盾则点尸到直线/的距离是（）

所以这12个角中至少有一个角小于31°A.4cmB.5cmC.小于4c冽D.不大于4cm

【变式题组】06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则N495+NOOC=.

01.平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02.在同一平面内有2010条直线41，a2,…，。2010,如果。2〃的，的~1~。4,。4〃。5.......那

么与。2010的位置关系是•

03.已知n（«>2）个点P1，P2,尸3…P〃.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设s〃

表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：52=1,§3=3,54=6,

・・・S5=10…则Sn=.

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07.如图，矩形45CD沿反对折，且/DEF=72°,则N4EG=.

01.如图，N瓦4C=N4Z）g=90°.下列说法正确的是（）08.在同一平面内，若直线“2_1_。3,〃3〃44,…则Q1aio.（。1与Q10不重合）

A.a的余角只有N5B.。的邻补角是N/14C09.如图所示，直线〃、6被直线c所截，现给出下列四个条件：①N1=N5,②N1=N7,

C.N/CF是a的余角D.a与NZCF互补③N2+N3=180°,④N4=N7,其中能判断。〃6的条件的序号是.

02.10.在同一平面内两条直线的位置关系有.

如11.如图，已知班1平分N/5Z）,平分NCQ5,且NE=N4BE+NEDC.试说明48〃CD?

图，

已知

直线12.如图，已知5E平分N45C,CF平分/BCD,

第4题图AB、=N2,那么直线45与CD的位置关系如何？

CD

被直线班所截，则N瓦I四的同位角为（）

A.ZAMFB.ZBMFC.ZENCD.ZEND

03.下列语句中正确的是（）

A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B.过直线上一点的直线只有一条

C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D.垂线段就是点到直线的距离

04.如图，NR4C=90。，8c于。，则下列结论中，正确的个数有（）

①②4。与4C互相垂直③点C到的垂线段是线段48④线段N8的长度是13.如图，推理填空:

点B到ZC的距离⑤垂线段民4是点B到ZC的距离⑥AD>BD（DVZ^=（已知）

C.AC//ED()02.平面上有10条直线，其中4条是互相平行的,那么这10条直线最多能把平面分成（）

(2)VZ2=(已知)部分.

：.AC//ED()A.60B.55C.50D.45

(3)VN4+=180°(已知)03.平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还

:・AB〃FD.有（）个交点.

A.35B.40C.45D.55

14.如图，请你填上一个适当的条件使04.如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有交

点.

05.如图是某施工队一张破损的图纸，已知〃、6是一个角的两边，现在要在图纸上画一

£条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正

确性.

B

第14题图

06.平面上三条直线相互间的交点的个数是（）

A.35.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3

07.请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直

线相交，并简单说明画法?

08.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办

至IJ?

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01.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）

A.1,3B.0,1,3C.0,2,3D.0,1,09.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线45、AC,那么

2,3D两条对角线的夹角等于（）

A/[

E

C

F

B

B

A.60°B.75°C.90°D.135°02.（安徽）如图，直线。//l2,Zl=55°,Z2=65°,则N3为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？03.如图，已知尸。〃48〃。。Za：/D：NB=2:3:4,试求Na、ND、的度数.

⑴任意两条直线都有交点；

⑵总共有29个交点.【例2】如图，已知N3〃CD〃£RGCLCF,Z5=60°,ZEFC=45°,求N8CG的度

数.

第13讲平行线的性质及其应用【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平i______________B

分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置./

考点•方法•破译【解】:.NB=/BCDNF=NFCD（两//G

1.掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；条直线平行，内错角相等）又・.・/8=60。Z£FC=45°AZ-D

2.初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；38=60。ZFCD=45°XVGCLCFjNGC尸=90。（垂

3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受直定理）・・・NGCQ=90。一45。=45。AZ5CG=60°-45°=EF

转化思想在解决数学问题中的灵活应用.15°

【变式题组】

经典•考题•赏析

01.如图，已知/尸〃5C,且Z尸平分NE45,N5=48。，则NC的的度数=

［例1］如图,四边形48c。中，AB//CD,BC//AD,ZA=38C

【解法指导】

两条直线平行,同位角相等；

两条直线平行,内错角相等；

两条直线平行,同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识

别角的关系式关键.

【解】：'JAB//CDBC//AD

・•・N/+N5=180。ZB+NC=180。（两条直线平行，同旁内角互补）02.如图，已知N48C+N4C5=120°,BO、CO分别N/5C、ZACB,。月过点。与5。平

ZA=ZCVZA=38°.\ZC=38°行，贝ljN50C=

【变式题组】03.如图，已知48〃MP〃CD,MN平分/AMD,ZA=40°,ZD=50°,求NMV/P的度

01.如图，已知点、E在BD的延长线上，若NZZ）E=155。,则NDBC的度数为（）数.

A.155°B.50°C.45°D.25

【例3】如图，已知N1=N2,ZC=ZD.

【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明N2=N产，即要证明。/〃ZC证明：'：EGLBC,ADLBC：.ZEGC=ZADC=90°

要证明。/〃ZC,即要证明NQ+NQ5C=180°,（垂直定义）・•・EG〃4。（同位角相等，两条直线平行）

即：NC+NQBC=180°；要证明NC+NQ5CVZ1=Z3・・・N3=NB4Q（两条直线平行，内错角相等）

=180°即要证明。5〃EC.要证明Z>5〃EC即要・・・力。平分NA4c（角平分线定义）

证明N1=N3.【变式题组】

证明：VZ1=Z2,Z2=Z3（对顶角相等）所以N1=N3・・・。5〃£。（同位角相等・01.如图，若AE上BC于E,Z1=Z2,求证：DCLBC.

两直线平行）・・・NQBC+NC=180°（两直线平行，同旁内角互补）・・・NC=N。:./DBC

+ZD=180°J。尸〃4C（同旁内角，互补两直线平行），/4=/斤（两直线平行，内错

角相等）

【变式题组】

01.如图，已知尸G,Z1=Z2,求证：DE//FG

02.如图，在△48C中，CELAB于EQFUB于F,AC〃ED,CE平分NACB.求证:

ZEDF=ZBDF.

02.如图，已知Nl+N2=180°,N3=N5.

3.已知如图，AB//CD,N8=40°

03.如图，两平面镜呢尸的夹角仇入射光线40平行数.

于尸入射到。上，经两次反射后的出射光线05平行

于则角。等于.

d

【例4】如图，已知EGL5C,ADLBC,N1=N3.

求证：4。平分NA4C.

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析【例5】已知，如图，AB//EF,求证：NABC+NBCF+NCFE=360。

条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论【解法指导】从考虑360。这个特殊角入手展开联想，分析类比,

的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

Z1=Z3）过点。作CD//AB即把已知条件尸联系起来，这是

EF

关键.C.Na+N£—Ny=90°D.Z^+Zy-Za=90°

【证明】：过点。作'JCD//AB.*.Z1+Z^5C=18O°

（两直线平行，同旁内角互补）又VAB〃EF,：,CD〃EF（平行02.如图，已知，AB//CD,NNBE和NCDE的平分线相交于点尸，Z£=140°,求NBFD

于同一条直线的两直线平行）・•・N2+NCFE=180。（两直线平行，的度数.An

同旁内角互补），ZABC+Z1+Z2+ZCFE=180°+180°=360°

即ZABC+ZBCF+NCFE=360。

【变式题组】

01.如图，已知，AB//CD,分别探究下面四个图形中N4PC和NF45、NPC。的关系，请

你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.cD

结论：⑴____________________________⑵____________________________

（3）____________________________（4）____________________________【例7】如图，平移；角形NBC,设点N移动到点/,画出平移后的三角形/ML.

二，¥【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”一定，找，移，连.

⑴定：确定平移的方向和距离./

⑵找：找出图形的关键点.//

⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点./八

⑷连：按原图形顺次连接对应点.皮乙

【解】①连接44'②过点5作出1，的平行线/③在/截取55'=44，/

c（DDC（2）DC（3）DC⑷

则点B’就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点d.连接

【例6】如图，已知，AB//CD,则Na、d、々、N犷之间的关系是L）就得到平移后的三角形//d.B-

Na+/?+/〃―/£=180。A_____________B【变式题组】

【解法指导】基本图形,________i7^01.如图，把四边形48co按箭头所指的方向平移2"加，作出平移后的图形.

1E；

CD/

CD

C

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.

【解】过点万作即〃45.过点尸作尸G〃/瓦-：AB//EH.•.Na=Nl（两直线平02.如图，已知三角形45。中，NC=90。,5c=4,4C=4,现将△NBC沿C2方向平移到△

行，内错角相等）又•：FG//ABJ.EH//FG（平行于同一条直线的两直线平行）.1/2=/3/ML的位置，若平移距离为3,求△/BC与△/8V的重叠部分的面积.

又＜AB〃CD.,.尸G〃CD（平行于同一条直线的两直线平行）.•./（（/+N4=180。（两直线平

行，同旁内角互补）.•.Na+Ny+NV/-N£=Nl+N3+N4一y一/1一/2=/4+勿=180。

【变式题组】/（

01.如图，AB//EF,ZC=90°,则Na、N£、Ny的关系是（）"歹B

TOD

EF

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

03.原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着5C方向平移3E的距离，就得到①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行;

此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）④内错角相等，两直线平行.

A.①②B.②③C.③④D.①④

06.在4、5两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.

现48两地要同时开工，若干天后,公路准确对接,则B地所修公路的走向应该是（）

A.北偏东52°B.南偏东52°C.西偏北52°D.北偏西38°

07.下列几种运动中属于平移的有（）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转

动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

种种种种

演练巩固反馈提高4.15.2C.3O.4

08.如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上

01.如图，由力测5得方向是（）角的位置（不能出格）

A.南偏东30°B.南偏东60