2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高二下学期期中考试数学试卷（人教版）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.我国新能源汽车产销量连续5年居世界首位.某客户欲购买一辆新能源汽车，已知A品牌有5种不同型号的汽车，B品牌有10种不同型号的汽车，C品牌有6种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为(

)A.21 B.40 C.56 D.3002.已知X服从两点分布，若3P(X=1)=4P(X=0)，则P(X=0)=(

)A.14 B.13 C.373.在等比数列{an}中，若a2a5=A.13 B.3 C.±134.(x+y−z)5的展开式中含x2yA.60 B.30 C.−30 D.−605.已知直线l:4x+3y+6=0与圆C:x2+y2A.−3 B.−2 C.−1 D.06.某质检部门对一家超市中A，B，C三种食品进行质量抽查，从这三种食品中任取一件，质量合格率为97.5%，据该超市反馈，A，B两种食品的质量合格率分别为99%，98%，且A，B，C三种食品的件数之比为5:3:2.根据上述信息推断，C种食品的质量合格率为(

)A.90% B.93% C.95% D.96%7.将字母A，B，C，D，E，F排成一排，若要求D，E相邻，且D不在两端，则不同的排列方法共有(

)A.228种 B.192种 C.240种 D.168种8.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点O，O1分别为正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心，A.53417 B.43417二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n∈N，且n≥m≥2，则下列等式一定正确的是(

)A.C20251=C20252024 B.A10.已知随机事件A，B满足P(A)=14，P(B)=13A.事件A，B互相独立 B.P(AB)=23

11.已知函数f(x)=xex−A.当a=0时，f(x)有极大值 B.当a>0时，f(−2)<f(−1)

C.∀a∈R，f(x)≥0恒成立 D.当f(x)有且仅有两个零点时，a=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知ξ，η是两个离散型随机变量，且ξ=2η+7，若E(ξ)=2025，则E(η)=

．13.现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有

种.14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为32，若等边三角形An−1AnBn(n∈N∗)的边An−1An在x轴的非负半轴上，A0与原点O重合，点A四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知随机变量X的分布列为X−4−3013P111m1(1)求实数m的值;(2)求X的数学期望;(3)设随机变量Y=2X−10，求D(Y)．16.(本小题15分)已知(x−3y)(1)求a0(2)若i=1n(ⅰ)求n的值;(ⅱ)求(x−3y)n的展开式中含x17.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，过点F的直线l(1)求双曲线C的离心率;(2)若直线l的倾斜角为π4，且C经过点D(3,0)，M为双曲线C18.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx−ax−(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−x+6垂直，求实数a的值;(2)若F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围;(3)证明：i=1nii+1>n−19.(本小题17分)若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间Ω上的离散型随机变量，则将(X,Y)称为二维离散型随机变量，将(X,Y)取值为(xi,yi)的概率记作P(X=xi,Y=yi甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得−1分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为12，抽中签者点球，进球得1分，不进球得−1分;未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为12，23，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X(1)求P(X=1,Y=0)，P(X=−2,Y=1);(2)求P(Y=0|X=1);(3)已知随机事件X=−1发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.D

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.1009

13.60

14.2n

15.解：(1)由随机变量分布列的性质，得14+16+(2)E(X)=(−4)×1(3)D(X)=(−4+1)2×14+(−3+1)2×

16.解：(1)令x=1，y=0，得a0=1；

(2)(i)令x=1，y=−1，得

4n=a0+i=1n|ai|=1+1023=1024，解得n=5;

(ii)

(x−3y)5的展开式的通项为

Tr+1=

C5r

−3r

x5−r

yr17.解：(1)由题意，x=c时，y=±b2a．

因为当l⊥x轴时，|AB|=23a，所以2b2a=23a，

所以b2a2=13，

所以e2=1+b2a2=43，所以e=233；

(2)由题意，a=3，b=1，c=2，双曲线C:x23−y2=1，F(2,0)，

直线l的倾斜角为π4，所以直线l的方程为x−y−2=0，

与双曲线方程联立，消去y整理可得2x2−12x+15=0，

设A(x1y1)，B(x2,y2)，x118.解：(1)对函数f(x)=lnx−ax−2x求导可得f′(x)=1x−a+2x2，

那么f′(1)就是曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率，将x=1代入f′(x)得f′(1)=3−a，

已知直线y=−x+6的斜率为−1，

因为曲线在该点处的切线与直线y=−x+6垂直，

根据两垂直直线斜率之积为−1，

所以(3−a)×(−1)=−1，解得a=2;

(2)因为F(x)=xf(x)=xlnx−ax2−2，对F(x)求导得F′(x)=lnx+1−2ax；

由于F(x)在(0,+∞)上单调递减，所以F′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，

即lnx+1−2ax≤0，即2a≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立；

设g(x)=lnx+1x，对g(x)求导，则g′(x)=−lnxx2，

令g′(x)=0，即−lnxx2=0，解得x=1；

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

所以g(x)在x=1处取得最大值g(1)=ln1+11=1；

那么2a≥1，即a≥12，所以实数a的取值范围是[12,+∞)；

(3)由(2)可知，当a=1219.解：(1)X=1，Y=0的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，所以P(X=1,Y=0)=12×23×12×(1−23)=1