高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第05讲 总体集中趋势的估计（解析版）

第05讲9.2.3总体集中趋势的估计

课程标准学习目标

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众

①会求样本数据的众数、中位数、平均数。

数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画

②理解用样本的数字特征、频率分布直方图

了一组数据的集中趋势，下面我们通过具体实例进一步

估计总体的集中趋势。

了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根

据样本的集中趋势估计总体的集中趋势．

知识点01：总体集中趋势的估计

（1）平均数

xxxx

①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x，x，xx的平均数为x123n.

123nn

②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均

数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关

于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低.

【即学即练1】（2023下·广东揭阳·高一统考期末）在测量工作中，测得一组数据为2，6，7，5，9，17，

10，则这组数据的平均数为，第75百分位数是．

【答案】810

【详解】把2，6，7，5，9，17，10，从小到大排列为：2，5，6，7，9，10，17，

256791017

平均数为8，

7

这组数据共7个，775%5.25，则这组数据的第75百分位数是第6个数10.

故答案为：8，10.

（2）众数

①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。

②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势.

（3）中位数

①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇

数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.

②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右

边的直方图的面积相等.

【即学即练2】（2022上·贵州黔西·高二校考期末）惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产

的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数

为c，则（）

A．abcB．bcaC．cabD．cba

【答案】D

10121414151516171717

【详解】平均数a14.7，

10

1515

中位数b15，

2

众数c=17，

故cba.

故选：D.

知识点02：三种数字特征的优缺点

名称优点缺点

与中位数相比，平均数反映出样本数任何一个数据的改变都会引起平均数的改

平均数据中更多的信息，对样本中的极端值变．数据越“离群”，对平均数的影响越

更加敏感大

不受少数几个极端数据(即排序靠前

中位数对极端值不敏感

或靠后的数据)的影响

众数只能传递数据中的信息的很少一部

众数体现了样本数据的最大集中点

分，对极端值不敏感

知识点03：在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值

(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积

之和近似代替.

(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.

【即学即练3】（2023下·山东枣庄·高一统考期末）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布

直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.

(1)求频率分布直方图中a，b的值；

(2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数.

【答案】(1)a0.02,b0.01

(2)平均分、中位数分别为81，82.5

0.6

【详解】（1）由已知得a0.040.02，

10

则0.005b0.0250.0400.020101，所以b0.01.

（2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为：

550.005650.01750.025850.04950.021081，

因为0.0050.010.025100.4，

0.0050.010.0250.04100.8，

所以中位数在80,90内.

0.50.4

故中位数为801082.5.

0.4

题型01计算众数

【典例1】（2024上·湖南邵阳·高一统考竞赛）如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，

会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（）

A．中位数和众数都是5B．众数是10

C．中位数是4D．中位数、平均数都是5

【答案】A

【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5，

每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，

这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，BC错误．

5465413510

平均数60，故D错误．

7

故选：A

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作

日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：

63382542564853392847

45525948516248505238

(1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数；

(2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？

【答案】(1)平均数为47.2，中位数为48，众数为48.

(2)答案见解析.

【详解】（1）解：由题意，该组数据的平均数为

1

(6338254256485339284745525948516248505238)47.2，

20

这些数据从小到大排序为：25,28,38,38,39,42,45,47,48,48,48,50,51,52,52,53,56,59,62,63，

4848

所以数据的中位数为48，其中众数为48.

2

（2）根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听48个客户的电话.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数

分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．

A．5，7B．6，7C．8，5D．8，7

【答案】D

【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，

因此，这组数据的众数为8，中位数为7．

故选：D．

【变式2】（2021下·山西·高一统考期末）一组数据共有7个整数，m，2，2，2，10，5，4，且2m10，

若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数

是.

【答案】5

m25

【详解】平均数，众数=2，当4m10时，中位数为4，

7

m25

则有28m17舍掉；

7

m25

当2m4时，中位数为m，则有22mm3.

7

该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，

而且775%5.25，所以这组数据的第三四分位数为5.

题型02计算中位数

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数

分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．

A．5，7B．6，7C．8，5D．8，7

【答案】D

【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，

因此，这组数据的众数为8，中位数为7．

故选：D．

【典例2】（2022下·陕西渭南·高一统考期末）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数

和众数分别为（）

A．95，94B．92，86C．99，86D．95，91

【答案】B

【详解】从茎叶图进行数据分析可得：

把数据从小到大排列得到：76，79，81，83，86，86，87，91，92，94，95，96，98，99，101，103，114

所以中位数是92，众数为86.

故选：B

【典例3】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知实数1,5,x,y的平均数为4，则这四个数的中

位数的取值范围是．

【答案】3,5

【详解】由题意可知15xy16xy10，

若该四个数按大小排列，1,5位于中间，则x,y位于两侧，此时中位数是3；

若该四个数按大小排列，1,x位于中间，则5,y位于两侧，此时x5,y1，不符合题意；

若该四个数按大小排列，1,y位于中间，则x,5位于两侧，同上y5,x1，不符合题意；

x5

若该四个数按大小排列，5,x位于中间，则1,y位于两侧，则有1x53,5；

2

y5

若该四个数按大小排列，5,y位于中间，则x,1位于两侧，同上1y53,5；

2

xy

若该四个数按大小排列，x,y位于中间，则1,5位于两侧，可知xy55；

2

此时中位数是5；

综上所述这四个数的中位数的取值范围是3,5.

故答案为：3,5.

【典例4】（2022·湖北武汉·高三统考阶段练习）已知一组数据10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均

数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为．

【答案】11或3或17

1054222x25x

【详解】由题意可得这组数据的平均数为：，

77

25x

众数为2，若x2，可得24，可得x11；

7

25x

若2x4，则中位数为x，可得2x2，可得x3；

7

25x

若x4，则中位数为4，可得242，可得x17，

7

故答案为：11或3或17.

【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中

国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：

年份2013201420152016201720182019202020212022

占比%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4

则这10年占比数据的中位数为（）

A．40.3%B．40.45%C．40.6%D．41.4%

【答案】B

【详解】把这10年占比数据从小到大排列得

38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，

40.3%40.6%

中位数为40.45%.

2

故选：B

【变式2】（2023上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）已知一组数据为2,3,6,7,8,10,11,13，若在这组

数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则满足上述条件的最小自然数a

是.

【答案】4

【详解】要使得中位数是7，a必须插在7的前面，即a7，

236a78101113

平均数为7，

9

解得a3，a是满足上述条件的最小自然数，则a4.

故答案为：4.

【变式3】（2023·广东·高三统考学业考试）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，

39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是．

【答案】31

【详解】一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，

x30

故=31，解得x32．

2

3230

650%3，数据的第50百分位数是31.

2

故答案为：31.

【变式4】（2023·全国·高一随堂练习）某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作

日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：

63382542564853392847

45525948516248505238

(1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数；

(2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？

【答案】(1)平均数为47.2，中位数为48，众数为48.

(2)答案见解析.

【详解】（1）解：由题意，该组数据的平均数为

1

(6338254256485339284745525948516248505238)47.2，

20

这些数据从小到大排序为：25,28,38,38,39,42,45,47,48,48,48,50,51,52,52,53,56,59,62,63，

4848

所以数据的中位数为48，其中众数为48.

2

（2）根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听48个客户的电话.

题型03计算平均数

【典例1】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的

方式抽取了100万人的样本，其中男性约占51%､女性约占49%，统计计算样本中男性的平均身高为175cm，

女性的平均身高为165cm，则样本中全体人员的平均身高约为（）

A．166cmB．168cmC．170cmD．172cm

【答案】C

【详解】样本中全体人员的平均身高约17551%16549%170(cm)，

故选：C

【典例2】（2023下·河北沧州·高一统考期末）一组数据a，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这

组数据的中位数为（）

A．6.5B．7C．7.5D．8

【答案】C

a567781112

【详解】由题意得8，解得a8，

8

78

故这组数据的中位数为7.5.

2

故选：C.

【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）有4万个大于70的两位数，从中随机抽取了3000个数，统计如

下表：

数据x70x7980x8990x99

个数8001300900

平均数78.18591.9

请根据表格中的信息，估计这4万个数的平均数约为.

【答案】85.23

1

【详解】这3000个数的平均数为78.180085130091.990085.23.

3000

于是用样本的平均数去估计总体的平均数，则这4万个数的平均数约为85.23.

故答案为：85.23

【典例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考开学考试）数据2,4,5,8,a,10,11的平均数是7，则这

组数据的第60百分位数为．

【答案】9

【详解】因为数据2,4,5,8,a,10,11的平均数是7，

1

所以2458a10117，解得a9，

7

因为760%4.2，

所以这组数据的第60百分位数为第5位数，即9.

故答案为：9.

【变式1】（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知甲、乙两个班的学生人数分别为45人和55人，在某次

考试中，甲、乙两个班的数学平均分分别为110分和90分，则这两个班全体学生的平均分为（）

A．98分B．99分C．100分D．101分

【答案】B

【详解】甲班有45人，平均分为110分，乙班55人，平均分为90分．

451105590

所以这两个班全体学生的平均分为99分，

4555

故选：B.

【变式2】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）一组数据3，5，8，a，11，15，18的平均数为

10，则该数据的中位数是.

【答案】10

【详解】因为3，5，8，a，11，15，18的平均数为10，

358a111518

所以10，解得a10.

7

这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，8，10，11，15，18，

该数据的中位数是10.

故答案为：10.

【变式3】（2023上·全国·高三专题练习）某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30

名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分.

【答案】95

【详解】设所求平均成绩为x，由题意得5092309020x，∴x95.

故答案为：95

【变式4】（2023下·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）若五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则

a.

【答案】5

1234a

【详解】由题意，3，解得a5，

5

故答案为：5

题型04平均数的和差倍分性质

【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）设一组样本数据x1,x2,,xn的平均数为1，则数据

3x11,3x21,,3xn1的平均数为（）

A．1B．3C．4D．9

【答案】C

【详解】已知样本数据x1,x2,,xn的平均数为x，

记数据ax1b,ax2b,,axnb的平均数为x，

axbaxbaxbax1x2xnnb

则x12n

nn

anxnb

axb，

n

故数据3x11,3x21,,3xn1的平均数为3x13114.

故选：C.

【典例2】（2022上·河南·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）为了增加学生的锻炼机会，某中学决定

L

每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近10年来，参加足球比赛的学生人数分别为x1、x2、x3、、

L

x10，它们的平均数为y1，已知这10年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为3x11、3x21、3x31、、3x101，

它们的平均数y2为（）

A．3y11B．3y11C．y1D．3y1

【答案】A

xxxx

【详解】由已知可得y12310，

110

3x13x13x13x1

由平均数公式可得y12310

210

3xxxx

1231013y1.

101

故选：A.

【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）样本x1,x2,x3,,x10的平均数为5，则

3x11,3x21,3x31,,3x101的平均数为．

【答案】12

【详解】样本x1,x2,x3,,x10的平均数为5即x5,

则3x11,3x21,3x31,,3x101的平均数为3x135112.

故答案为：12.

【变式1】（2022上·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）已知一组数据

2x13,2x23,2x33,2x43,2x53的平均数是1，那么另一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【详解】解：因为一组数据2x13,2x23,2x33,2x43,2x53的平均数是1，所以

1

2x32x32x32x32x31

512345

21

即xxxxx31，所以xxxxx2，即一组数据x,x,x,x,x的平均数为2；

51234551234512345

故选：C

【变式2】（2022上·辽宁抚顺·高二校考期末）已知一组数x1,x2,x3,x4的平均数为3，则另一组数

2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1的平均数为.

【答案】7

xxxx

【详解】根据题意可得12343，所以xxxx12；

41234

则2x1+12x2+12x3+12x4+12x1x2x3x44212428，

2x+12x+12x+12x+128

所以其平均数为12347.

44

故答案为：7

【变式3】（2023下·河南信阳·高一统考期末）一组数据x1，x1，…，xn，的平均数为7，则数据3x14，3x24，…，

3xn4的平均数为．

【答案】17

xx

【详解】由题意，一组数据1，1，…，xn，的平均数为7，即x7，

则数据3x14，3x24，…，3xn4的平均数为37417．

故答案为：17.

题型05在频率分布直方图中估计平均数，众数，中位数

【典例1】（2024上·重庆·高三统考期末）对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估

计总体集中趋势，则a，b可以分别大致反映这组数据的（）

A．平均数，中位数B．平均数，众数C．中位数，平均数D．中

位数，众数

【答案】A

【详解】由题意得，众数必定在最高的小长方形内，故排除BD，

由中位数和平均数的分布规律得（直方图在左边拖尾），

故在这个频率分布直方图内a是平均数，b是中位数，

故A正确，C错误.

故选：A

【典例2】（多选）（2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）树人中学为了解高二年级学生每天的

体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成

[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下

列结论正确的是（）

A．a0.15

B．这200名学生每天体育活动时间的众数是55

C．这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60

D．这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟

【答案】BCD

【详解】由频率之和为1得：10(0.010.020.032a0.01)1，

解得a0.015，故A错误；

由频率分布直方图可估计200名学生每天体育活动时间的众数是55，故B正确；

由100.010.10.5，100.01100.020.30.5，100.01100.02100.030.60.5,故中位数位于[50,60)内，

故C正确，

由于100.01100.020.3,故200名学生中每天体育活动时间低于50分钟的人数约为2000.360人，故D

正确，

故选：BCD

【典例3】（多选）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试

成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形

统计图所示，则（）

A．90后考生比00后考生多150人B．笔试成绩的60%分位数为80

C．参加面试的考生的成绩最低为86分D．笔试成绩的平均分为76分

【答案】BD

【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有320045%1440人，

00后的考生有320040%1280人，可，所以A不正确；

对于B中，由频率分布直方图性质，可得(0.010.02aa0.01)101，

解得a0.03，则前三个矩形的面积和(0.010.020.03)100.6，

所以试成绩的60%分位数为80分，所以B正确；

对于C中，设面试成绩的最低分为x，由前三个矩形的面积和为0.6，第四个矩形的面积为0.3，则

0.02

801086.687分，所以C不正确；

0.03

对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：

x550.1650.2750.3850.3950.176分，所以D正确.

故选：BD.

【典例4】（2023·全国·模拟预测）2023年，贵州“村超”历时三个月，共进行98场比赛，平均每场比赛超

5000万人次收看，现场观众超5万人，全网流量突破300亿次．某中学暑假社会实践小组随机抽选6000

名网友对“村超”关注度进行问卷调查，并从参加问卷调查的6000人中随机抽取了100人，将他们的问卷成

绩（满分100分）分为6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)记A为事件“从参加问卷调查的所有人中随机抽取一名，该网友的成绩不低于80分”，试估计事件A发生

的概率，并估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数；

(2)用样本估计总体，求参加问卷调查的6000人成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表，结果精确到0.1）．

【答案】(1)0.6，3600

(2)中位数为76.7分，平均数为75.5分

【详解】（1）由题图得成绩不低于80分的频率为0.025100.015100.4，所以PA0.4．

参加问卷调查的网友中成绩低于80分的概率为10.40.6，

所以估计参加问卷调查的网友中成绩低于80分的人数为60000.63600．

（2）由题图知，成绩在40,50的频率为100.0050.05，

在50,60的频率为100.010.1，在60,70的频率为100.0150.15，

在70,80的频率为100.030.3，前3组的频率之和为0.050.10.150.3，

前4组的频率之和为0.050.10.150.30.6，因此样本的中位数位于第4组，设中位数为x分，

则0.050.10.15x700.030.5，所以x76.7．

样本的平均数为450.05550.1650.15750.3850.25950.1575.5（分）．

所以参加问卷调查的6000人成绩的中位数为76.7分，平均数为75.5分．

【变式1】（多选）（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分

布直方图如下，已知成绩在80,90范围内的人数为30人，则下列说法正确的是（）

A．a的值为0.15B．4个班的总人数为200人

C．学生成绩的中位数估计为66.6分D．学生成绩的平均数估计为71分

【答案】BD

【详解】对A，0.0050.0102a0.0250.030101，解得a0.015，故A错误；

对B，成绩在80,90范围内的频率为0.015100.15，故4个班的总人数为300.15200人，故B正确；

对C，因为0.0050.0150.030100.5，故学生成绩的中位数估计为70分，故C错误；

对D，学生成绩的平均数估计为450.005550.015650.030750.025850.015950.01010

450.05550.15650.30750.25850.15950.1071分，故D正确.

故选：BD

【变式2】（多选）（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分

成50,60、60,70、70,80、80,90、90,100五组（成绩均在50,100内），成绩的频率分布直方图如

图所示，则下列说法正确的是（）

A．a的值为0.035

B．估计这100名学生成绩的众数是75

C．估计这100名学生成绩的平均数为78

540

D．估计这100名学生成绩的中位数为

7

【答案】ABD

【详解】由题意知0.0100.015a0.0300.010101，解得a0.035，故A正确；

7080

估计这100名学生成绩的众数是75，故B正确；

2

估计这100名学生成绩的平均数为550.1650.15750.35850.3950.176.5，故C错误；

m70540

设这100名学生成绩的中位数为m，所以，0.350.250.5，解得m，故D正确．

107

故选：ABD．

【变式3】（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的

质量（单位：g）都在区间90,110内，将这200个脐橙的质量数据分成90,95,95,100,100,105,105,110

这4组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)试问这200个脐橙中质量不低于100g的个数是多少？

(2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.

【答案】(1)110

(2)100.75g

【详解】（1）不低于100g的频率为0.070.0450.55，

所以这200个脐橙中质量不低于100g的个数是2000.55110.

（2）平均数为92.50.197.50.35102.50.35107.50.2100.75g.

【变式4】（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵

有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队

15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮

都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm至185cm之间；女性身高普遍在163cm至175cm之间，这是

常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm至190cm之间．经过随机调查某个阅

兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，其中ab20．

(1)求直方图中a,b的值；

(2)估计这个阵营女子身高的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(3)请根据频率分布直方图估计阅兵阵营中女子身高的中位数．

【答案】(1)a12.5，b7.5；

(2)1.6912

(3)1.69

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

5ba11b6.50.021，且ab20，

解得：a12.5，b7.5；

（2）这个阵营女子身高的平均值为

1.6451.667.51.6812.51.70111.727.51.746.50.021.6912

（3）前3组的频率和为50.027.50.0212.50.020.5，

所以中位数为1.69.

题型06众数，平均数，中位数的比较

【典例1】（2023下·重庆江津·高一校联考期末）如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错．

误．的是（）

A．数据中可能有异常值B．数据中众数可能和中位数相同

C．数据中可能有极端大的值D．这组数据是近似对称的

【答案】D

【详解】一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，即可能有异常值，故A

选项不符合题意；

一组数据的中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故B选项不符合题意；

一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，故C选项不符合题意；

若这组数据是近似对称的，不会出现数据的中位数比平均数小很多，故D选项符合题意.

故选：D.

【典例2】（2022下·河北·高一校联考期末）某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，

9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）

A．xyzB．xyzC．yxzD．xzy

【答案】A

9.29.58.89.98.99.59.29.5

【详解】由题意可得，x9.3，y9.35，z9.5，

62

则xyz．

故选：A.

【典例3】（多选）（2022下·河北石家庄·高三校联考阶段练习）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某

医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）

A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数

B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数

C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数

D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数

【答案】BCD

【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大

于中位数，且都小于7，

同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，

故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；

甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；

甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；

乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确.

故选：BCD.

【变式1】（2023上·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户

中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.

若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（）

A．abcB．bacC．acbD．b<c<a

【答案】B

【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即b65,

由表可知,组距为10,

所以平均数为:450.15550.2650.25750.2850.1950.167,

故c67,记中位数为x,

则有:100.015100.02x600.0250.5,

解得:x66,即a66,

所以bac.

故选：B.

【变式2】（2021·福建龙岩·统考三模）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据

的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（）

A．NMPB．MNP

C．MPND．PNM

【答案】B

【详解】由统计图可得，众数为M5；

56

共有23106322230个数据，处在中间位置的两个数据为5,6，所以中位数为N5.5；

2

233410566372829210

平均数P5.97，

30

所以MNP.

故选：B.

【变式3】（2021·陕西西安·统考一模）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是

10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a,b,c由大到小的顺序

为.

【答案】cba

101214215216173

【详解】平均效a14.7，

10

中位数b15，众数c=17，则cba.

故答案为：cba.

A夯实基础B能力提升

A夯实基础

一、单选题

1．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽

取了100万人的样本，其中男性约占51%､女性约占49%，统计计算样本中男性的平均身高为175cm，女性

的平均身高为165cm，则样本中全体人员的平均身高约为（）

A．166cmB．168cmC．170cmD．172cm

【答案】C

【分析】根据平均数的性质即可求解.

【详解】样本中全体人员的平均身高约17551%16549%170(cm)，

故选：C

2．（2024·河南·统考模拟预测）样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）

A．14B．16C．18D．20

【答案】B

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，

则其中位数为16.

故选：B.

3．（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和

数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（）（由小到大排列）

A．众数中位数平均数

B．平均数众数中位数

C．中位数平均数众数

D．众数平均数中位数

【答案】A

【分析】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势，判断即可得出结论.

【详解】众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.

因为直方图第二、三列所占数据较多，且在右边拖尾，

所以平均数大于中位数，在第三､四列的位置，因此有众数<中位数<平均数.

故选：A.

4．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）设一组样本数据x1,x2,,xn的平均数为1，则数据

3x11,3x21,,3xn1的平均数为（）

A．1B．3C．4D．9

【答案】C

【分析】根据平均数的性质得到平均数为3114.

【详解】已知样本数据x1,x2,,xn的平均数为x，

记数据ax1b,ax2b,,axnb的平均数为x，

axbaxbaxbax1x2xnnb

则x12n

nn

anxnb

axb，

n

故数据3x11,3x21,,3xn1的平均数为3x13114.

故选：C.

5．（2024·重庆·统考一模）2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发

了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直

方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）

A．x88,y90B．x83,y90

C．x83,y85D．x88,y85

【答案】D

【分析】首先a0.05，再根据百分位数和众数的计算方法即可.

【详解】由题意得0.0050.03a0.015101，解得a0.05，

因为0.050.30.35，0.050.30.50.85，则0.350.750.85，

则样本数据的75%分位数位于80,90，则0.35x800.050.75，解得x88，

8090

因为样本数据中位于成绩80,90之间最多，则众数为y85，

2

故选：D.

6．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）已知100个数据的中位数是8，则下列说法正确的是（）

A．这100个数据中一定有且仅有50个数小于或等于8

B．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个和第51个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，8是第50个和第49个数据的平均数

【答案】C

【分析】根据中位数的概念