《圆与圆的位置关系》教学设计

1/14.2直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系(朱海军)一、教学目标（一）核心素养通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法.（二）学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.（三）学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.（四）学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，明确：圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：圆与圆的位置关系公共点个数两圆圆心的距离d与半径和的关系外离0个外切1个相交2个内切1个内含0个（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：几何方法设两圆的圆心距，半径，则：①当时，圆与圆相离；②当时，圆与圆外切；③当时，圆与圆相交；④当时，圆与圆内切；⑤当时，圆与圆内含；步骤：①计算两圆半径；②计算两圆圆心距；③根据与的关系判断两圆的位置关系.方法二：代数方法方程组有两组不同实数解相交；有两组相同实数解相切（内切或外切）；无实数解相离（外离或内含）.2.预习自测（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果【思路点拨】看两圆交点个数【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交.（2）判断下列两圆的位置关系与.【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】圆圆心距离为，所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系【答案】外切.(二)课堂设计1.知识回顾（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；（3）与圆相切的直线方程的计算方法.2.问题探究探究一圆与圆的位置关系★●活动①明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交.那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若，则两圆外离，若，则两圆内含；当公共点个数为1时，若，则两圆外切，若，则两圆内切；当公共点个数为2时，，则两圆相交.【例题】【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含.【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法.●活动②给定方程，判断位置关系当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切；无实数解⇔两圆相离或内含.其次是几何法：设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)，则O1O2＞r1＋r2⇔相离；O1O2＝r1＋r2⇔外切；|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2⇔相交；O1O2＝|r1－r2|⇔内切；O1O2＜|r1－r2|⇔内含.看下面的例题判断两圆与的位置.【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程可以改写为，第二个圆的方程可以改写为，两圆圆心的的距离为半径和为，半径差为，故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解.探究二两圆相交时的公共弦方程及弦长计算●活动①根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线.同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数.那么大家可以总结出来吗？（抢答）总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.●活动②给定两圆的方程，判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆与的公切线条数.【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】，，则两圆相交，所以有2条公切线【思路点拨】两圆的位置关系是相交【答案】2●活动③过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程.法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.例1圆与圆相交于两点，求直线的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，可得【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线【答案】；【同类训练】求以圆：和圆：公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题【数学思想】方程思想【解题过程】解法一：相减得公共弦所在直线方程，再由联立得两交点坐标、.∵所求圆以为直径，∴圆心是的中心点，圆的半径为.于是圆的方程.解法二：（使用圆系方程求解：）设所求圆，得圆心，∵圆心在公共弦所在直线上，∴，解得.故所求圆的方程即.【思路点拨】圆心在公共弦上【答案】探究三两圆位置关系中的参数问题●活动①已知两圆位置关系，求参数范围同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想.例2与圆相交，求实数m的范围.【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆改写为，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则，最终解出.【思路点拨】根据定义即可【答案】【同类训练】已知圆，圆，当m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含？【知识点】圆与圆位置关系【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后；.(1)如果C1与C2外切，则有,，，解得.(2)如果C1与C2内含，则有， ，，解得，∴当时，圆C1与圆C2外切；当时，圆C1与圆C2内含.【思路点拨】根据定义建立不等式【答案】；3.课堂总结知识梳理（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含.（2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法.（3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程.重难点归纳（1）圆与圆的位置关系及其判断方法.（2）圆系方程解决问题.（三）课后作业基础型自主突破1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义【数学思想】归类总结【解题过程】直接根据定义回答【思路点拨】根据定义即可【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离2.圆与圆的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为，又∵，∴两圆相交【思路点拨】定义【答案】相交3.已知圆和圆，试判断圆C1与圆C2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置【数学思想】【解题过程】圆心距：【思路点拨】定义解题【答案】相交4.若圆与圆相交，求实数的取值范围.【知识点】已知位置关系，求参数范围，不等式【数学思想】不等式方程思想【解题过程】，则因为两圆相交，所以.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解【答案】. 5.判断两圆与的位置关系，若相交，请求出其公共弦长.【知识点】两圆位置关系，弦长【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成,所以两圆相交，两圆相减可得直线方程为，【思路点拨】定义解题【答案】相交，.6.两圆相交于A,B两点，则直线AB的方程是.【知识点】两圆相交时求公共弦的方程【数学思想】方程思想【解题过程】【思路点拨】两圆方程相减即可【答案】.能力型师生共研7.已知，则两圆与的位置关系是.【知识点】圆与圆的位置关系判别【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为，与两圆半径和与两圆半径差比较【思路点拨】定义解题【答案】相交8.已知圆与圆相切，则的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系【数学思想】方程思想.、分类讨论【解题过程】圆改写成，，相切可得或者解得.【思路点拨】定义解题，得出方程【答案】探究型多维突破9.求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为，求出圆心，带入直线可得，再代入所设方程可得圆的方程为【思路点拨】圆系【答案】10.已知圆与圆，则=时，两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】两圆改成，,若外切则，解得【思路点拨】两圆相切分为两种：内切和外切【答案】自助餐1.已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】；.2.已知圆.若圆Q与圆C关于直线对称，求圆Q的方程；【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式，圆心，半径，圆心关于直线的对称点，圆Q半径，∴圆Q的方程为.【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】；3.已知点，圆：，过P作圆D，使C与D相切，并且使D的圆心坐标是正整数，求圆D的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P在圆C内部，所以圆D与圆C内切，设圆D，由点在圆上和两圆内切得到，，讨论后只有满足，圆D方程为或.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】或.4.圆经过直线与圆的两个交点，并且面积最小，求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知，该直径是公共弦【答案】5.已知圆：和圆：，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆的方程可以改写为，圆改写为两圆圆心距离最短时，，此时【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆.(1)若直线l过点，且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为，圆C1的圆心到直线l的距离为