大题12+应用数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题（原卷版）

大题12应用数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题撞问题”的考查将延续“重逻辑推演、强数学整合、拓实际应用”建模与数学工具的深度融合能力。备考需以递推思想为核心，强化力，同时关注材料科学与智能科技热点，做到“以数解物，以理驭可以多关注：如乒乓球连续弹跳、多米诺骨牌碰撞连锁反应 时将质量为m的物块A从距离物块B斜上方L处由静止释放，t=9t0时，物块A、B发生第一次碰撞，t=19t0时，二者发生第二次碰撞，在两次碰撞间物块A的v-t图线如图乙所示（其中v0、t0均为未知量若每次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，两物块均可视为质点且与斜面间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力。2(1)求物块A沿斜面上滑与下滑加速度大小的比值；(2)求第一次碰撞后物块A沿斜面向上运动的最大距离；(3)已知物块B的质量M=17m，且A、B物块每次碰撞前物块B均已经停止运动，求物块B沿斜面下滑的最大距离。例2.在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s的初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。g取10m/s2。求：(1)物块与凹槽相对静止时的共同速度；(2)从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；(3)从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。12025湖南长沙一模）人们越来越深刻地认识到冰山对环境的重要性，冰山的移动将给野生动物带来一定影响。为研究冰山移动过程中表面物体的滑动，小星找来一个足够长的水槽，将质量为M长为L的车厢放在水槽中模拟冰山，车厢内有一个质量为m(m<M)、体积可以忽略的滑块。车厢的上下表面均光滑，车厢与滑块的碰撞均为弹性碰撞且忽略碰撞的时间。开始时水槽内未装水，滑块与车厢左侧的距离为d。在车厢上作用一个大小为F，方向水平向右的恒力，当车厢即将与滑块发生第一次碰撞时撤去水平恒力。(1)求车厢即将与滑块发生第一次碰撞时车厢的速度v0的大小；(2)求从车厢与滑块发生第一次碰撞到发生第二次碰撞的过程中，车厢的位移xM；(3)若在水槽中装入一定深度的水，车厢在水槽中不会浮起。开始时滑块与车厢左侧的距离为d，由于外界碰撞，车厢在极短时间内速度变为v0'，方向水平向右。车厢移动过程中受到水的阻力大小与速率的关系为f=kv（k为已知常数除第一次碰撞以外，以后车厢与滑块之间每次碰撞前车厢均已停止。求全程车厢通过的总路程s。例32024重庆模拟预测）如图所示，粗糙绝缘水平面上方，竖直线MN右侧空间存在水平向右的匀强电场，完全相同的多个不带电绝缘滑块沿电场方向依次排列在一条直线上，编号依次为2、3、4……它们的间距均为L，2号滑块与MN边界距离也为L。另一个编号为1的带正电滑块以初速度v0从左边界进入电场，所有滑块的质量都为m，与水平面间的动摩擦因数为滑块1所受电场力恒为，所有滑块均在一条直线上且可视做质点，滑块碰后均会粘在一起。已知重力加速度为g。可能用到的数学公式有求：(1)滑块1刚进入电场时的加速度大小；(2)滑块1、2碰撞过程中损失的机械能；(3)能发生碰撞的滑块的最大编号。4例4.（2024湖南永州一模）如图所示，物块A、B质量分别为mA=2kg,mB=1kg，用轻绳相连并用劲度系数k=500N/m的轻质弹簧系住挂在天花板上静止不动。B正下方有一个半径为R=0.6m的四分之一光滑固定圆弧轨道，其顶点a距离物块B的高度h=0.2m。某时刻A、B间的绳子被剪断，然后A做周期T=0.4s的简谐运动，B下落并从a点平滑地进入光滑固定圆弧轨道。当A第二次到达平衡位置时，B恰好运动到圆弧末端与质量为mC=0.6kg的滑块C相碰结合为滑块D。D平滑的滑上与圆弧末端等高的传送带，传送带的水平长度为L=1m、以v0=1m/s的速度顺时针转动，D与传送带间的动摩擦因数μ=0.2。传送带右端有一等高的固定水平平台，平台上表面光滑，平台上静置着2024个相距较近的质量为m1=3.2kg的小球，D能够平滑地滑上平台，且D与小球、小球与小球之间的碰撞均为弹性正碰（A、B、D、小球均可以看作质点，重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力）。求：(1)物块A做简谐运动的振幅；(2)光滑固定圆轨道对物块B的冲量大小；(3)整个运动过程中D与传送带之间因摩擦产生的热量。22024江西二模）如图所示，质量均为m的n个小物块等间距地放置在倾角为θ的足够长的斜面上，斜面与物块间的动摩擦因数均为μ=2tanθ,相邻物块间距为L。现给物块1一个瞬时冲量I，使其向下运动与物块2碰撞并粘在一起，之后向下运动再与物块3碰撞并粘在一起……碰撞时间极短，物块均可看成质点，不计空气阻力，重力加速度为g，已知5（1）物块1和2碰撞后瞬间的速度大小；（2）从物块1开始运动到物块n-1和n碰撞前瞬间，运动的物块克服摩擦力做的功；（3）为使第n个物块能向下运动，求给物块1的瞬时冲量I应满足的条件。124-25广东湛江期中）如图所示，在光滑固定水平圆环中有两个可看成质点的小球，小球a位于A点，小球b位于B点，AB是圆环的一条直径，ma=4mb，圆环的周长L=10m，刚开始两球都静止，现给小球a一方向垂直AB、大小为10m/s的速度v，两球碰撞都是弹性碰撞，且碰撞时间极短。(1)分别求出第一次碰撞后瞬间两球的速度大小va、vb；(2)求从小球a、b第一次相碰到第二次相碰的时间间隔t；(3)求小球a从开始运动到与小球b第100次相碰过程中运动的总路程s0。22024山东潍坊二模）如图所示，空间内存在水平向右的匀强电场（图中未画出电场强度E=250V/m，绝缘的水平面上有一均匀带电的长板A，右侧有一绝缘挡板，长板A的上表面光滑，下表面与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，一绝缘的物块B静置在长板的左端。长板A与物块B质量均为m=1kg，长板A的长度l=0.48m，长板A带有q=1.6×10-2C的正电荷。某时刻对物块B施加一个水平向右的恒力F=6N，运动过程中物块B与挡板的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，水平面足够长，电场区域足够大，运动过程中长板A所带电荷量及电荷分布不发生变化，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。求：（1）物块B与档板第一次碰撞后，长板A与物块B的速度vA和vB；6（2）物块B从开始到即将与挡板发生第二次碰撞，长板A电势能的减少量；（3）物块B从开始到即将与挡板发生第三次碰撞，恒力F的冲量I；（4）物块B从开始到即将与挡板发生第n次碰撞，长板的位移x。32024湖北武汉二模）如图所示，倾角θ=30o的足够长斜面固定在水平面上，t=0时刻，将物块A、B（均可视为质点）从斜面上相距l=0.05m的两处同时由静止释放。已知A的质量是B的质量的3倍，A、B与斜面之间的动摩擦因数分别为、，A、B之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力加速度大小g=10m/s2，求：（1）A、B发生第一次碰撞后瞬间，A、B的速度大小；（2）A、B发生第三次碰撞的时刻；（3）从静止释放到第n次碰撞，A运动的位移。42024四川一模）如图所示，水平地面上固定一水平长直轨道ABC，AB段和BC段足够长，在水平轨道A点放置一小物块P，在BC段沿轨道有n个与物块P相同的小物块，相邻两个小物块的间距均为L=1m，从左往右依次编号1、2、3、⋯、n，其中1号小物块距B点的距离也为L。小物块P在水平向右的拉力F作用下，从A点开始运动，P到达B点前已经开始做匀速运动，拉力F的功率恒为P0=28W，物块P运动到B点前瞬间撤去F，此后物块P滑上BC段，物块P运动L后与1号物块碰撞，碰后二者粘连在一起继续向前运动L与2号物块碰撞，碰后三者粘连在一起继续向前运动L与3号物块碰撞，此后每次两物块碰后都粘连在一起向前运动与下一个物块碰撞。已知物块与AB段轨道动摩擦因数为μ0=0.2，物块与BC段轨道动摩擦因数为μ=0.07，每个物块质量均为m=1kg，所有物块都视为质点，当地重力加速度g取求：（1）小物块到达B点的速度；（2）物块P与1号物块碰后二者的总动能；（3）最多能发生几次碰撞。75．如图，左右无限长的光滑水平地面上有2022个大小相同的小球排成一排，相邻小球间的间距均为L，将其从左到右依次编号。1号小球质量为m，2~2022号小球质量均为km（k为比例系数）。用一根不可伸长的轻绳拴接于1号小球，上端拴接于固定结点处，拴好后轻绳刚好竖直伸直。在轻绳旁边固定一电热丝，通电时可将轻绳瞬间烧断。将1号小球向左上方提起H高度，此时轻绳伸直，与竖直方向的夹角为θ,所有小球仍在同一竖直面内，将电热丝通电后再由静止释放1号小球。所有小球之间的碰撞均为弹性正碰，重力加速度为g，不计空气阻力，忽略轻绳烧断后对小球运动的影响。（1）求1号小球释放后瞬间的加速度大小；（2）求1号小球与2号小球第一次碰撞中给2号小球的冲量大小以及对2号小球做的功；（3）1、2号小球间第一次碰撞后立即给1号小球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出使1号小球每次碰撞前瞬间的速度都相等，直到所有小球速度第一次相等时撤去外力，求外力F的大小以及最终1号和2022号小球间的距离（小球大小忽略不计）。6．如图所示光滑圆弧轨道AB固定在水平面上与水平面平滑连接，圆弧轨道最低点A静止放置物块b、c（可看做质点b、c的质量分别为m、2m，b、c间有少量火药（质量可忽略某时刻火药燃烧将b、c迅速分开，分开后b以速度v0向左冲上圆弧，经一段时间再次回到b、c分开位置后继续向右运动，当c刚好停止运动时b与之发生第一次碰撞。已知b与c的所有碰撞均为弹性碰撞，b与水平面间没有摩擦，c与水平面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。已知该物块b从圆弧底端冲上圆弧到再次回到圆弧底端所用时间与b冲上圆弧速度大小无关，可用圆弧半径R表示为 （R为题中未知量）求：（1）圆弧轨道半径的大小；（2）b与c发生第3次碰撞前的速度；（3）b、c第n次碰撞后到第n+1次碰撞前c运动的位移大小（n=l、2、3……）。7．如图所示，倾角为θ的光滑斜面末端与水平传送带的左端D平滑连接传送带DC间的距离为L，沿顺时针方向运行的速度为v0，其右端C与光滑且足够长的水平平台平滑连接，平台上有n个质量为2m的小滑块。编号依次为B1、B2、B3、B4…Bn。将质量为m的滑块A由斜面上某一高度由静止释放。当滑块A滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同。小滑块间的碰撞均为弹性碰撞。已知滑块A与传送带间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g，滑块均视为质点，求：（1）滑块A下滑的高度；（2）小滑块B1的最终速度及被碰撞的次数。12024湖南高考真题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1），求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间