全国高中数学联赛预赛试题

全国高中数学联赛预赛试题最小值是＿＿＿＿＿＿.数列{b}的前n项和B=＿＿＿＿＿＿.3．函数的值域是＿＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD的九个格数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p=____________.4}：＿＿＿＿＿＿以点B为旋转中心，将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形AMB，AA的中点为P，于其顶点的任意一点P，做O的两条切线，切点为M,N，若直线MN在x,y轴上的截A∩B=⑦,就称集合对{A,B}是由M炮制成的一副“对联”.(例如当n=2时，由四元集{a,b,c,d}可炮制成三副“对联”：{ab,cd}{ac,bd}，{ab,cd}{ad,bc}（2）对于一般的n≥2，求由2n元素集M所能炮制成的“对联”数T(n).全国高中数学联赛预赛试题答案4.4528证明角MFP=角PEN；再证角PNE=角MPF；然后证角MPN为直角1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则CUA=()3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=N区cos3x的图象()A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则()A.p1＞p2，E(ξ1E(ξ2）B.p1＜p2，E(ξ1E(ξ2）（a98）|，k=1，2，3，则()A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.16.（4分）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°,则tanθ的最三、解答题（2）若sinA=，求ΔABC的面积.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.(Ⅱ)设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.AB=CD=2，DE=BE=1，21.（15分）如图，设椭圆Ca＞b＞0动直线l与椭圆C只有一个公共22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.），），(Ⅱ)设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案参考答案与试题解析1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”→“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则CUA=()【分析】先化简集合A，结合全集，求得CUA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，:几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故选：D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象()个单位个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可.解：函数y=sin3x+cos3x=故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到的图象.故选：C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查.【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可.【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f（3，0）:f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.故选：C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞9解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，故选：C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题.7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案.【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：），故选：D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断.【解答】解：对于选项A，取丄，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；|2}=||2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确.故选：D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法.9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则()A.p1＞p2，E(ξ1E(ξ2）B.p1＜p2，E(ξ1E(ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公），,,所以P1＞P2；故选：A.【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.（a98）|，k=1，2，3，则()A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1由×=×<1，+故选：B.【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题.二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6.【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.故答案为：6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P(ξ=1），P(ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析：设P(ξ=1）=p，P(ξ=2）=q，则由已知得p+q=，解得所以.【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围.【解答】解：由约束条件作可行域如图，,解得C（1.,解得B（2，1）.:实数a的取值范围是.解法二：令z=ax+y，综上所述即：1≤a≤;故答案为：.【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）.【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；共有24+36=60种.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥-2，数形结合求得实数a的取值范围.【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：））【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.16.（4分）设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=-3，从而可求【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则:AB中点坐标为(,),:=-3，:a=2b，:=b，:e==.【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°,则tanθ的最数的性质，分类讨论，即可得出结论.:BC=20m，,求出PP′，AP′，利用函由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=在直角ΔABP′中，AP′=:tanθ=•，:x=0时，取得最大值为=.若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x在直角ΔABP′中，AP′=，:tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：故答案为：.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题（2）若sinA=，求△ABC的面积.【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π),可得，即可得出.（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解：（1）由题意得，:由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π),:；:.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=且a1=2，b3=6+b2.（n∈N*）.若{an}为等比数列，(Ⅱ)设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】(Ⅰ)先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；(Ⅱ)（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明.【解答】解：(Ⅰ)∵a1a2a3…an=,G9"∴a3=8.∵{an}为等比数列，且a1=2，∴（n∈N*）.,∴bn=n（n+1n∈N*）.(Ⅱ)（(Ⅱ)（i）∵cn=∴Sn=c1+c2+c3+…+cn而得综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法.本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.AB=CD=2，DE=BE=1，【分析】(Ⅰ)依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；(Ⅱ)作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交cos∠BFG==，从而可求得答案.【解答】证明：(Ⅰ)在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；(Ⅱ)作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交在ΔABE，ΔABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.），），(Ⅱ)设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用分段函数，结合[-1，1]，分类讨论，即可求M（a）-m（ax∈