第05讲 平方根（解析版）

第05讲平方根知识点1：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.考点剖析考点一：平方根的概念和表示【典例1】实数的平方根为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】∵，∴的平方根是，故选：A．【变式1-1】下列结论正确的是（

）A．1的平方根是1 B．0的平方根是0C．的平方根是 D．的平方根是【答案】B【解析】A、1的平方根是，故A错误；B、0的平方根是0，故B正确；C、没有平方根，故C错误；D、的平方根是，故D错误．故选：B．【变式1-2】实数的平方根是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】的平方根是．故选：C．【变式1-3】下列对“是的平方根”表示正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】由平方根的定义可知，“是的平方根”可以表示为，若，则，故选B．考点二：平方根的性质【典例2】已知正数m有两个平方根，分别是与．(1)求a的值；(2)求这个正数m．【解析】（1）正数有两个平方根，分别是与，，得，；（2）∵，∴．【变式2-1】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（

）A． B．2 C．4 D．9【答案】D【解析】一个正数的两个平方根分別为与，，解得：，，这个正数为，故选：D．【变式2-2】一个正数的平方根是与，求和的值．【解析】∵一个正数的平方根是与，∴，解得，∴．【变式2-3】已知正数x的平方根是m和．(1)当时，求m的值；(2)若，求的值．【解析】（1）正数x的平方根是m和，，，，；（2）正数x的平方根是m和，，，，，，，，．考点三：利用开平方解方程【典例3】解方程：(1)；(2)．【解析】（1），，，∴，；（2），，，∴，．【变式3-1】求x的值：．【解析】，则，，解得：或．【变式3-2】求下列各式中x的值：(1)；(2)．【解析】（1），∴，解得：或7；（2），∴，即，解得：．【变式3-3】求下列各式中的值：(1)；(2)．【解析】（1），，，；（2），，，，或．考点四：算术平方根的概念【典例4】若满足，则的算术平方根是（

）A． B． C．0 D．4【答案】D【解析】由于，则，即，所以．故选：D．【变式4-1】实数9的算术平方根为（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴实数9的算术平方根为3，故选：A．【变式4-2】的算术平方根是（

）A． B．9 C． D．3【答案】D【解析】∵，∴的算术平方根是．故选：D．【变式4-3】若对于实数x、y定义一种新运算：，则．【答案】6【解析】根据题意得：．故答案为：6．考点五：算术平方根的非负性【典例5】已知，求的平方根．【答案】【解析】，，，解得：，，，的平方根为：．【变式5-1】若实数x、y满足，则的算术平方根是（）A．36 B． C．6 D．【答案】C【解析】∵，∴，解得：，∴，∴的算术平方根为6，故选：C．【变式5-2】若，则的算术平方根的平方根为．【答案】【解析】，，，解得，，，的算术平方根的平方根为．故答案为：．【变式5-3】若，则．【答案】【解析】在中，∵，∴，解得，，∴，故答案为：．考点六：算术平方根的估算【典例6】估算的值在（

）A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选：B．【变式6-1】面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（

）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】C【解析】∵面积为的正方形的边长为，∴，∵，∴，即，故选：C．【变式6-2】实数在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】D【解析】，∵，∴，∴，故选：D．【变式6-3】根据下列表格，估计的大小（

）x1.611.621.631.641.652.59212.62442.65692.68962.7225A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间【答案】B【解析】∵，∴，由表格数据可知：在之间，故选：B．考点七：算术平方根的整数部分和小数部分【典例7】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．【解析】因为4＜6＜9，所以2＜＜3，即的整数部分是2，所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，即x=4，y=-2，所以=．【变式7-1】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．【解析】∵的算术平方根是，的平方根是，∴，，∴，．∵是的整数部分，，∴．∴．∵的平方根是．∴的平方根为．【变式7-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．【解析】（1）阴影部分面积为：，∵阴影部分是一个正方形，∴边长为：，故答案为：13，．（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．（3）∵，∴，∵，∴，∴．考点八：与算术平方根有关的规律探索【典例8】，，则______．【答案】【解析】因为，即，所以，故答案为：．【变式8-1】有按规律排列的一组单项式：x，，，，，…，则第10个单项式．​【答案】【解析】∵x，，，，，…，第n个单项式为，其中n为不小于1的整数，则第10个单项式为，故答案为：．【变式8-2】下面是一个某种规律排列的数阵：1

第1行

2

第2行

3

第3行

4

第4行…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是．（用含n的代数式表示）【答案】【解析】第1行的最后一个数是，第2行的最后一个数是，第3行的最后一个数是，……第n行最后一个数字为，故答案为：．【变式8-3】请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为．【答案】55【解析】；；；，…，∴，∴．故答案为：55．过关检测一、选择题1．的算术平方根是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，故选：A．2．的平方根是（

）A．3 B． C． D．9【答案】B【解析】，故选：B．3．已知，则的值为（）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，故选D．4．一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（）A．1 B．2 C．9 D．4【答案】C【解析】∵一个正数的两个平方根分别是与，∴，解得：，故，则这个正数是：．故选：C．5．下列说法正确的是（）A．0.2是的算术平方根 B．是25的平方根C．的算术平方根是9 D．16的平方根是4【答案】B【解析】0.2是0.04的算术平方根，则A不符合题意；是25的平方根，则B符合题意；，其算术平方根是3，则C不符合题意；16的平方根是，则D不符合题意．故选：B．6．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算正确，符合题意．故选：．7．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可得：，故选：A．8．计算结果与相同的式子是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，A．，故A不符合题意；B．，故B符合题意；C．，故C不符合题意；D．，故D不符合题意．故选：B．9．面积为15的正方形的边长是（

）A．15的平方根 B．15的算术平方根 C．15开平方的结果 D．15的立方根【答案】B【解析】设正方形的边长为a，根据题意，得．∴正方形的边长是15的算术平方根．故选：B．10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因为小正方形的面积，所以小正方形的边长为：.故选：.二、填空题11．的算术平方根是．【答案】【解析】，故答案为：．12．化简．【答案】2024【解析】，故答案为：2024．13．按照如图所示的程序框图，若输出，则输入的值为．

【答案】【解析】根据程序框图得，把代入，得，解得：或．故答案为：或．14．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为．【答案】【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案为．三、解答题15．求下列各式中x的值：(1)；(2)．【解析】（1），∴，解得：或7；（2），∴，即，解得：．16．已知，．(1)若x的算术平方根为4，求a的值；(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．【解析】（1）因为x的算术平方根为4，所以，即，所以；（2）根据题意得：，即：，所以，所以，