2024-2025学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷-20250424180151

第1页（共1页）2024-2025学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知A＝{x|x2≤12}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，1，3} B．{1，3} C．{﹣1，1，3} D．{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}2．（5分）已知，则D（X）＝（）A．1 B． C． D．23．（5分）角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，则cosα的值为（）A． B． C． D．4．（5分）已知f（x）+f（1﹣x）＝2，，n∈N*，则数列{an}的通验项公式为（）A．an＝n+1 B．an＝2n+1 C．an＝2n+2 D．an＝4n+25．（5分）若α∈[0，2π]且，则α的取值范围是（）A．[0，π] B． C．[π，2π] D．6．（5分）已知函数的极小值点为x＝0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）7．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A'BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A'﹣BE﹣C的大小为θ，直线A'B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（）A．β＜α＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．α＜β＜θ8．（5分）已知点，C，D是⊙O：x2+y2＝16与x轴的交点．点B满足：以AB为直径的圆与⊙O相切，则△BCD面积的最大值为（）A． B．8 C．12 D．16二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）以下四个命题中，真命题的有（）A．在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好 B．回归模型中残差是实际值yi与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 C．对分类变量x与y的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大 D．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝6，则n＝6（多选）10．（6分）下列命题为假命题的有（）A．若x＞y，则sinx＞siny B．若cosα＝cosβ，则α＝β+2kπ，k∈Z C．函数在区间上单调递减 D．函数的最小值为5（多选）11．（6分）点P在曲线y＝lnx上，点Q是点P关于y轴的对称点，点R是点P关于x轴的对称点，点S是点R关于直线y＝x的对称点．设O为坐标原点，则下列结论正确的有（）A． B．点S在曲线y＝﹣e﹣x上 C．∠SPO为定值 D．当且仅当点P与点R重合时，|QS|取最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是．13．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ+1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为．14．（5分）在斜△ABC中，A为锐角，且满足3sin（2B+C）＝﹣sinC，则的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在数列{an}中，若，且，（n＝1，2，3，⋯），则称{an}为“J数列”，设{an}为“J数列”，记{an}的前n项和为Sn．（1）若a1＝10，求S3，S6，S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值．16．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株（m，n∈N*）古茶树进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：kg）如下表所示：编号位置①②③④山上5443山下4221（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；（2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1＝3，AB＝AC＝2，M，N分别为棱BB1，CC1上的点，P为A1C1的中点，且BM＝NC1＝2．（1）求证：BA1∥平面MNP；（2）当三棱锥A1﹣ABC的体积最大时，求平面MNP与平面ABC夹角的余弦值．18．已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为A1，A2，过点（0，4）的直线与C的上支交于M，N两点．（1）求C的方程；（2）直线A1M和A2N的斜率分别记为k1和k2，求的最小值；（3）直线A1M与A2N交于点P，证明：点P在定直线上．19．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ（0＜θ＜π）角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（a，b）叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称是θ仿射坐标系下的“完美向量”，已知在θ仿射坐标系下，．（1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；（2）当时，是θ仿射坐标系下的“完美向量”，且，求；（3）设∠AOB＝α，若对∀t∈R恒成立，求cosα的最大值．

2024-2025学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCAACADB二．多选题（共3小题）题号91011答案ABABDACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知A＝{x|x2≤12}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，1，3} B．{1，3} C．{﹣1，1，3} D．{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3}【分析】解不等式可得集合A，进而可得解．【解答】解：由题意可知，，又B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N*}，所以A∩B＝{1，3}．故选：B．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．（5分）已知，则D（X）＝（）A．1 B． C． D．2【分析】由已知可得X服从二项分布，根据二项分布方差的计算方法求解即可．【解答】解：由题意可知，，所以．故选：C．【点评】本题主要考查了二项分布的方差公式，属于基础题．3．（5分）角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，则cosα的值为（）A． B． C． D．【分析】由三角函数的定义即可求解．【解答】解：由题意角α的终边落在射线y＝3x（x≤0）上，在角α终边上取一点P（﹣1，﹣3），则，可得．故选：A．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（5分）已知f（x）+f（1﹣x）＝2，，n∈N*，则数列{an}的通验项公式为（）A．an＝n+1 B．an＝2n+1 C．an＝2n+2 D．an＝4n+2【分析】利用倒序相加法计算求解．【解答】解：，则两式相加得所以2an＝2×（n+1），所以an＝n+1．故选：A．【点评】本题考查数列通项公式的计算，属于中档题．5．（5分）若α∈[0，2π]且，则α的取值范围是（）A．[0，π] B． C．[π，2π] D．【分析】利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到α的取值范围．【解答】解：因为，，又，，且，得，所以α∈[π，2π]．故选：C．【点评】本题主要考查了半角公式的应用，属于基础题．6．（5分）已知函数的极小值点为x＝0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【分析】求导，m＝0时，函数f（x）的无极小值，当m＜0，函数f（x）的极小值为x＝0，当m＞0，可得函数f（x）的极大值为x＝0，可得m的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）的定义域为R，f′（x）＝（x﹣m）ex﹣x+m＝（x﹣m）（ex﹣1），因为函数f（x）的极小值点为x＝0，所以f′（0）＝（0﹣m）（e0﹣1）＝0，若m＝0，则f′（x）＝x（ex﹣1）≥0，所以f（x）在R上恒成立，故函数f（x）无极小值，又函数f（x）的极小值点为x＝0，故m≠0，又m＞0时，令f′（x）＝0，可得x＝m＞0或x＝0，当x＜0，所以f′（x）＞0，当0＜x＜m，f′（x）＜0，所以x＝0是函数f（x）的极大值点，不符合题意；又m＜0时，令f′（x）＝0，可得x＝m＜0或x＝0，当m＜x＜0，所以f′（x）＜0，当x＞0，f′（x）＞0，所以x＝0是函数f（x）的极小值点，符合题意．综上，m的取值范围是（﹣∞，0）．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A'BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A'﹣BE﹣C的大小为θ，直线A'B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（）A．β＜α＜θ B．β＜θ＜α C．α＜θ＜β D．α＜β＜θ【分析】由折叠前后图象的对比得点A′，在面BCDE内的射影O′在线段OF上，利用二面角、线面角的定义，求出tanα，tanβ，tanθ的表达式，由此能比较三个角的大小．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，过A作AF⊥BE，交于点O，将△ABE沿直线BE折成△A′BE，则A′在面BCDE内的射影O′在线段OF上，设A′到平面BCDE上的距离为h，则h＝A′O′，由二面角、线面角定义得：，由题意得O′O＜O′B，O′O＜O′C，∴tanθ最大，∴θ最大，当O与O′重合时，（tanα）max＝，（tanβ）min＝，∵，∴（tanα）max＜（tanβ）min，∴tanα＜tanβ，∴α＜β．∴α＜β＜θ．故选：D．【点评】本题考查二面角、线面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．（5分）已知点，C，D是⊙O：x2+y2＝16与x轴的交点．点B满足：以AB为直径的圆与⊙O相切，则△BCD面积的最大值为（）A． B．8 C．12 D．16【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定S△BCD最大值．【解答】解：如图，设以AB为直径的圆的圆心为E，，显然两圆内切，所以，①又OE为△ABF的中位线，所以，②由①②可得：，则有＝|AF|，所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，由2a＝8，可得a＝4，又，由a2＝b2+c2，可得，显然当B为椭圆短轴顶点即（0，2）时，S△BCD的面积最大，最大值为．故选：B．【点评】本题考查两圆的位置关系及椭圆定义，属中档题．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）以下四个命题中，真命题的有（）A．在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好 B．回归模型中残差是实际值yi与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 C．对分类变量x与y的统计量χ2来说，χ2值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大 D．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝6，则n＝6【分析】根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定D．【解答】解：对于A，由相关指数的定义知：R2越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：χ2值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，∵E（3X+1）＝3E（X）+1＝6，∴，又∵，∴，解得：n＝5，D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．（多选）10．（6分）下列命题为假命题的有（）A．若x＞y，则sinx＞siny B．若cosα＝cosβ，则α＝β+2kπ，k∈Z C．函数在区间上单调递减 D．函数的最小值为5【分析】利用反例可判定A，利用余弦函数的性质可判定B，利用辅助角公式计算可判断C，利用基本不等式结合同角三角函数的基本关系可判定D．【解答】解：对于A，若x＝π，，则sinx＝0＜siny＝1，故A错误；对于B，若cosα＝cosβ，则α＝β+2kπ或α＝﹣β+2kπ，k∈Z，故B错误；对于C，，当时，，此时f（x）单调递减，故C正确；对于D，，当且仅当时取得等号，显然等号无法取得，故D错误．故选：ABD．【点评】本题主要考查了余弦函数性质，辅助角公式，同角基本关系及基本不等式的应用，属于中档题．（多选）11．（6分）点P在曲线y＝lnx上，点Q是点P关于y轴的对称点，点R是点P关于x轴的对称点，点S是点R关于直线y＝x的对称点．设O为坐标原点，则下列结论正确的有（）A． B．点S在曲线y＝﹣e﹣x上 C．∠SPO为定值 D．当且仅当点P与点R重合时，|QS|取最小值【分析】设点P（x0，lnx0），由题意得出点Q，R，S坐标．由对称性得到互为相反向量判断A选项；由点的横纵坐标的关系判断B选项；由向量数量积为0得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的大小；列出|QS|的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值．【解答】解：因为点P在曲线y＝lnx上，设P（x0，lnx0），可得Q（﹣x0，lnx0），R（x0，﹣lnx0），因为点S是点R关于直线y＝x的对称点，所以S（﹣lnx0，x0），对于选项A：点Q和点R关于坐标原点对称，故选项A正确；对于B选项：设，解得y＝e﹣x，故选项B错误；对于选项C：因为|OP|＝|OS|，且，所以∠POS＝90°，所以△OPS是等腰直角三角形，则∠SPO＝45°，故选项C正确；对于选项D：因为，设f（x）＝|lnx﹣x|＝x﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当且仅当x0＝1时，|QS|取得最小值，最小值为，即点P与点R重合，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是31．【分析】先按从小到大的顺序排序，再计算i，根据百分位数的定义即可求解．【解答】解：把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，8×25%＝2，所以这8人年龄的25%分位数是．故答案为：31．【点评】本题考查百分位数的计算，是基础题．13．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ+1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为．【分析】利用复数虚部定义即可求得复数虚部．【解答】解：由公式eiθ＝cosθ+isinθ得，，所以复数虚部为．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）在斜△ABC中，A为锐角，且满足3sin（2B+C）＝﹣sinC，则的最小值为．【分析】将已知变形为3sin[（B+C）+B]＝﹣sin[（B+C）﹣B]，用两角和（差）的正弦公式得到2tan（B+C）＝﹣tanB，进而得到tanB，tanC与tanA的关系，代入用基本不等式即可求最小值．【解答】解：在斜△ABC中，A为锐角，且满足3sin（2B+C）＝﹣sinC，∴3sin[（B+C）+B]＝﹣sin[（B+C）﹣B]，∴3sin（B+C）cosB+3cos（B+C）sinB＝﹣sin（B+C）cosB+cos（B+C）sinB，∴2sin（B+C）cosB＝﹣cos（B+C）sinB，∴2tan（B+C）＝﹣tanB，又∵A+B+C＝π，∴tanB＝﹣2tan（π﹣A）＝2tanA，∴，∵A为锐角，∴tanA＞0，∴，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦公式和基本不等式的应用，属于中档题．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在数列{an}中，若，且，（n＝1，2，3，⋯），则称{an}为“J数列”，设{an}为“J数列”，记{an}的前n项和为Sn．（1）若a1＝10，求S3，S6，S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值．【分析】（1）根据递推公式列出数列{an}中的项，找规律，发现周期性即可得到答案；（2）根据题意对an的奇偶分情况讨论即可得到答案．【解答】解：（1）当a1＝10时，{an}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，⋯，所以数列{an}从第四项开始每三项是一个以3为周期的周期数列，所以S3＝a1+a2+a3＝23，S6＝S3+a4+a5+a6＝23+4+2+1＝30，S9＝S6+a7+a8+a9＝30+4+2+1＝37；（2）若a1是奇数，则a2＝a1+3是偶数，，由S3＝17，得，解得a1＝5，符合题意，若a1是偶数，不妨设，则，若k是偶数，则，由S3＝17，得，此方程无整数解；若k是奇数，则a3＝k+3，由S3＝17，得2k+k+k+3＝17，此方程无整数解．综上可得a1＝5．【点评】本题考查数列的新定义问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．16．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了m株和n株（m，n∈N*）古茶树进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：kg）如下表所示：编号位置①②③④山上5443山下4221（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；（2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案；（2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案；（3）随机变量ξ可以取9，8，7，6，5，4，再分别求出概率，则ξ的分布列与数学期望可求．【解答】解：（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，得样本平均数，则山上试验田m株古茶树产茶量S估算为；（2）由表中数据，可得山上产茶量平均数为＝4，山下产茶量平均数为，故方差，，故；（3）依题意，随机变量ξ可以取9，8，7，6，5，4，，，随机变量ξ的分布列为ξ987654p随机变量ξ的期望＝＝．【点评】本题考查由样本数据估算总体，考查随机变量的分布列和期望，属中档题．17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1＝3，AB＝AC＝2，M，N分别为棱BB1，CC1上的点，P为A1C1的中点，且BM＝NC1＝2．（1）求证：BA1∥平面MNP；（2）当三棱锥A1﹣ABC的体积最大时，求平面MNP与平面ABC夹角的余弦值．【分析】（1）连接BC1，设BC1∩MN＝Q，连接PQ，BN，MC1，可证四边形BNC1M为平行四边形，从而知PQ∥BA1，再利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）当AB⊥AC时，三棱锥A1﹣ABC的体积最大，以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角即可．【解答】（1）证明：连接BC1，设BC1∩MN＝Q，连接PQ，BN，MC1，∵BM＝NC1＝2，BM∥NC1，∴四边形BNC1M为平行四边形，∴点Q是BC1的中点，又P为A1C1的中点，∴PQ∥BA1，∵PQ⊂平面MNP，BA1⊄平面MNP，∴BA1∥平面MNP．（2）解：∵，∴＝2sin∠BAC，∴当∠BAC＝90°，即AB⊥AC时，三棱锥A1﹣ABC的体积取得最大值，又三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，故以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则M（2，0，2），N（0，2，1），P（0，1，3），∴，设平面MNP的法向量为，则，令z＝1，则，∴，易知平面ABC的一个法向量为，设平面MNP与平面ABC的夹角为α，则，即平面MNP与平面ABC夹角的余弦值为．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，利用向量法求面面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为A1，A2，过点（0，4）的直线与C的上支交于M，N两点．（1）求C的方程；（2）直线A1M和A2N的斜率分别记为k1和k2，求的最小值；（3）直线A1M与A2N交于点P，证明：点P在定直线上．【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得a，b的值，进而可求得双曲线方程．（2）设MN的方程为y＝kx+4，与双曲线方程