典型例题：空间向量的线性运算_第1页
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2/3空间向量的线性运算【例1】已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；（2）；（3）．【例2】设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？【例3】已知空间四边形中，，，求证：．【例4】在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值.

参考答案例1【分析】结合图形，利用向量加法的平行四边形或三角形法则与向量减法的三角形法则进行化简.【解】如图，由加法的平行四边形或三角形法则与向量减法的三角形法则，得_B_C_D_B_C_D_M_G_A（2）；（3）．【点拨】平面向量是空间向量的特殊情况，因此，对于空间中的任意两个向量的运算，平面向量中的运算法则都成立.例2【分析】欲证P、A、B、C四点共面，只需证、、共面.可利用、、中一个向量能够用其它两个向量来表示证明.【解】由，可以得到，即，由A，B，C三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A.从而P，A，B，C四点共面.【点拨】本例题的结论可作为判断四点共面的推论使用，反过来也成立.例3【分析】利用向量证明两直线垂直，只要证明它们所在的向量的数量积为0即可.【证明】．【点拨】用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明例4【分析】欲求与的夹角的余弦值，可利用公式：，先算的数量积，再算它们模的乘积.【解】∵，∴.∴.所以，与的夹角的余弦值为．【点拨】由图形看向量的夹

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