知识概要：圆锥曲线与方程

8/8圆锥曲线与方程基本知识概要2.1椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。2．标准方程：①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）这里椭圆c²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e=（0＜e＜1）因为a＞c＞0，所以0＜e＜1。e越接近于1（e越大），则c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0（e越小），c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。是圆。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：*补充：（1）焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0;（2）焦准距；准线间距（3）两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。●重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。●思维方式：待定系数法与轨迹方程法。●特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.2.2双曲线一．双曲线的概念1.双曲线的定义（第一定义）：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，即点集。（为两射线；2无轨迹。）这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2c.2.双曲线的第二定义：平面内与一个定点(焦点)和一条定直线（准线）的距离的比是常数e的动点的轨迹叫做双曲线。焦点在X轴上焦点在Y轴上二.双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形性质焦点F1（-，F2（F1（，F2（焦距|F1F2|=2c范围X≤-a与x≥ay≤-a与y≥a对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）轴实轴A1A2长2a，虚轴B1B2长2b准线渐近线*共渐近线的双曲线系方程或*焦半径P在右支上，P在左支上，P在上支上，P在下支上，平面几何性质双曲线焦距与实轴长的比，大开口大离心率*焦准距准线间距=焦渐距=。三．共轴双曲线和共轭双曲线（1）共轴双曲线在方程中，如果a=b,那么双曲线的方程为x²-y²=a²,它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，四条直线x=±a,y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。（2）共轭双曲线实轴与虚轴互换的双曲线，如与互为共轭双曲线（只是两轴的数字互换，但实轴仍是b²，虚轴仍是a²）其性质如下：①共轭双曲线的渐近线相同都是②焦距相同，焦点不同③共轭双曲线的四个焦点在同一圆上④两个离心率的倒数的平方和为1，即*四．点P和双曲线的关系1.P在双曲线内__________________2.P在双曲线上__________________3.P在双曲线外__________________*五．AB为双曲线的弦，Ａ（，）Ｂ（，）弦中点M。1.弦长l=____________________________________________2.kAB=___________________3.直线AB的方程:________________________4.直线AB的中垂线方程：___________________________说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。(2)双曲线方程中的与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。利用共渐近线的双曲线系或方程解题，常使解法简捷。(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为当点P在左支（或下支）上时，为利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，●重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。●思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。2.3抛物线1.抛物线的定义（圆锥曲线第二定义）：到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．2.抛物线的离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用e表示。有定义可知，e=13.抛物线的标准方程及几何性质OOy图形OOyxOOyxOOxy标准方程（）（）（）（）焦点坐标准线方程范围X≥0X≤0y≥0y≤0对称轴Ｘ轴Ｙ轴顶点坐标原点Ｏ（０，０）离心率*焦半经*焦准距＝；顶准距＝焦顶距＝；曲线上的点到焦点的最近距＝4.焦点弦和通径的概念（1）焦点弦：在抛物线中，通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。OyxOyx(2)若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的OyxOyx5.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式：_______________________________*6.焦点弦：AB为的焦点弦，Ａ（，）Ｂ（，），弦中点M.（1）（2）;（3）弦长（α为AB的倾斜角）X1+X2≥2=p,即当X1=X2时，通径最短为2p*7.点P和抛物线的关系（1）P在抛物线内（含焦点）________________（2）P在抛物线上________________（3）P在抛物线外________________8.标点抛物线上的点可标为或或圆锥曲线的应用知识精讲：涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。椭圆的定义：点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1