2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试参考答案与评分标准（A卷）_第1页
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1为r的实数等比数列{an}n≥1，满足an≥C对所有正整数n成立x表示实数x对任意实数x，显然有x≤,故满足要求的C不超过.又取{an}的首项注意到对任意正整数n，均有rn-1为奇数，因此情形2：r为偶数.*)．对任意实数α,我们证明a1与a2中必有一数不超过事实上，设a1=k士δ,其中k是与a1最近的整数，且0≤δ≤.注意到，对任意实数x及任意整数k，均有x十k=x，以及-x=x.若，则<2mδ≤m，即m-<δr≤m，此时另一方面，取a1=则对任意正整数n，有an=n-1，由二 这意味着满足要求.从而满足要求的C的最大值为2综上，当r为奇数时，所求C的最大值为；当r为偶数时，所求二本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD中，AC平分上BAD，点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD．分别延长FA,EA至点P,Q，使得过点圆.QQPAB··DEFC故BP,CA的延长线相交，记交点为L.由EF||BD知在线段AC上取点K，使得则KE||AB,KF||AD．…………10分可知△ABL∽△KAF，所以AL=．…………20分同理，记DQ,CA的延长线交于点L/，则A又由KE||AB,KF||AD知，即KE.AD=KF.AB.所以AL/=AL，即L/与L重合.由切割线定理知LP.LB=LA2=LQ.LD，所以B,P,Q,D四点共圆.构成的集合S称为“连通的”，如果对S中任意两个不同的小方格A,B，存在整3不小于K.对一个由小方格构成的集合S，记Sb是S中的黑格个数，Sw是S中的白格个若d(A,S)=2，则存在与A相邻的白格C，而C与S中某个方格B相邻，取S′=SU{A,B}，则S’仍是连通的，且S−S不变.因而可逐步扩充S，使得S包含所有黑格，保持S的连通性，且Sb−Sw不减.w设表格中共有X个黑格和Y个白格，在第二行中有x个黑格和y个白格.于由平均值原理可知max{X−y,Y−x}≥n.不妨设X−y≥n.取S为第二行中的y个白格以及所有X个黑格.由于S包综上所述，Kmax=n.4证明：先证明下述引理.2n即Ak—1n另一方面，因(D,A)=1，故由欧拉定理知DAφ(D)

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