第36届全国中学生物理竞赛复赛答案

第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答（与杯高相比，杯底厚度可忽略杯中盛有茶水，茶水密度为p．重力加速度大小为g.的改变.RRGaCORORDGD;aA;a1）以凳面中心O为坐标原点，以过O点向上的心位置yCM为式中h是杯中茶水的高度.令λ=pπr2，(1)式即体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min，故有整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min.(1)式即式中当h满足即时取等号，hmax即杯中茶水的最佳高度.]析分别如解题图a和解题图b所示，其中NA、NB和NC分NNA+NB+NC-Q-P=0(7)3NNA=NC(8)3分式中，Q=mg+λhmaxg，P=Mg.由(7)(8)式得2NA+NB-Q-P=0DRDRGBANCoxoBANCoxoC即]值得指出的是，解(10)满足NB>0，即这已由题给条件保证了.），2lmmmmmrlmm1）该平板车的车轮被一装置（图中未画出）卡住而不能前后移动，但仍可绕车轴转动．将把手提至水平位置由静止开始释放，求把手在与水平地面碰撞前的瞬间的转动角速度.2）在把手与水平地面碰撞前的瞬间立即撤去卡住两车轮的装置，同时将车轮和轴锁死，在在车轮从开始运动直至静止的过程中，车轴移动的距离.J=J1+J2=ml2+ml2=(1)4分Jw2=4mgh(3)2分式中h是把手和平板整体的质心下降的距离（见解题图b）CoθCoθrCθoθh·rrCr3l/22）在把手与地面碰撞前的瞬间，把手和平板整碰前瞬间把手和平板质心速度的水平与竖直分量（从把手末端朝向把手前端为正）分vC1x=vC1sinθ=(5)2分vC1y=-vC1cosθ=-(6)2分水平方向的相互作用力是滑动摩擦力.设碰撞过程中地面对系统在竖直方向上总的支持力(-μN,)dt=6mv0-4mvC1x(7)2分t=0-(8)2分值得注意的是，(8)式左端的冲量不可能等于零，因而(7)式左端的冲量也不可能等于零.由6mv0=4mvC1x-μ4mvC1y=4mvC1sinθ-μ4mvC1cosθ即当系统静止，故当系统开始运动.下面分两阶段讨论系统开始运动地面对两车轮的正压力，Nox和Noy是把手和平作用力，地面对车轮的滑动摩擦力f1=μN01.把手和平板作为一个整体的受力解题图d所示，图中Nf=-μ(N+N01)=-μ(6mg)(10)2分=-μg(11)2Nox-μN=4maC(12)1分N+Noy-4mg=0(13)1分对把手和平板系统应用相对于过质心的水平轴sinθ+Ncosθ+Noxsinθ-Noycosθ=0(14)2分Nox=μN+4m(-μg)=μN-4μmgNoy=4mg-NN0-2mg-NμN0r=2mr2β设车轮经历时间间隔t后开始纯滚动，由纯滚动条件有①r=βtr=v=v0+a(βr-aC)t=v0在整个又滑又滚阶段，车轴移动的距离s1为v-v=2aCs1N02β2aC2Nox2o车轮的正压力，Nox2和Noy2分别是把手和平板通过轴对两车轮在水平方向和竖直方向的作用力，f2是地面对车力解题图f所示，图中N2N02β2aC2Nox2of2f2f-f2r=2mr2β2aC2=β2rNox2=-4maC2对把手和平板系统在水平方向上应用质心运Nox2-μN2=4maC2解题图解题图fNoy2=4mg-N2联立以上三式消去Nox2和Noy2得aC2=-(23)4分在整个纯滚动阶段，车轴移动的距离s2满足0-v2=在车轮从开始运动直至静止的整个过程中，车轴移s=s1+s2所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称b均为L、半径均为b、每单位长度的电阻均为共面，下端（通过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线）与一电流为I的理想恒流源（恒流源内部的能量损耗可不计）相连．不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小图a.某电磁轨道炮的简化模型为g，真空磁导率为μ0．考虑一弹丸自导轨2）求弹丸的出射速度；4）求在弹丸的整个加速过程中理想恒流源所做的做的功之比.方向垂直于两导轨对称轴所在平面斜向下。弹丸长为dr9的一段所受到的方向平行于导轨轴线斜向上.弹丸所受2）设弹丸的加速度大小为a.由牛顿第二定律有F-mgsinθ=ma弹丸作匀加速直线运动，弹丸的出射速度vmax满足max0v2-v2=2max03）两导轨之间离某导轨轴线距离为r处（不一定是弹丸上一点）的磁场为通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸长为dr的一段组成平面回路的磁通量为通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸组成平面回路的磁通量为ldr=(10)4分式中是弹丸沿导轨的运动速度.由全电路欧姆定律得U+ε=2λlI+IR(12)2分式中U为恒流源两端的电压。弹丸做匀加速直线运动，在通电后任意时刻t有v=at(13)由(11)(12)(13)(14)式得，在时刻t恒流源两即t2+IR+-gsinθ),t4）在弹丸的整个加速过程中，恒流源所做的功为t2dt+I2Rdt(18)3分dt=L3/2=I2RT=I2R2L(|=lnln-gsinθ,)T2=lnEkmax=ax=mL-mgLsinθ(20)板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图声波传播速度vs与空气密度p及体积弹性模量K的关系为5Pa）下空气(可视为理想气体)的摩尔质量Mmol=29.0g/mol，热容比气体普适常量R=8.31J图a.微孔竹板墙照片(局部)图b.微孔竹板装置简化图及对应的亥姆霍pVY=常量式中Y是热容比。对上式两边微分得Y+YpVY-1ΔV=0(3)4分2）细管内的空气柱的质量为细管中的空气柱的运动是由外界压力与容器内的压力之差所引起的.设这部分空气柱运动的位移为x（向外为正），容器内的空气体积的改变为将代入式得，所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率为3）按题设，两种需要通过所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率f01和f02之比为=0.60f01=，f02=(15)式中，S1和S2是相应的上述亥姆霍兹共振器的微孔的横截面积.由即2=0.36(17)6分中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重合.空气折射率n0=1.2）若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面（与光3）为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不能超——厂——厂n2n1n2nn0sinθ=n1sinα(1)2分解题图aθ=arcsin0.17=9.8。(4)4分2）平行激光束首先在微球透镜前表面一次成像，其成像位置i1（相对于微球透镜前表面顶率n=1.50，r是微球前表面曲率半径，.由(5)式得=4.5mm(6)6分光束在微球透镜后表面第二次成像位置i2（相对于微球透镜后表面顶点O）可由球面镜折射o2=i1-D==1.50mm(8)4分由于此时是虚物，o2应取负值，即将以上数据代入(7)式可得二次成像位置i2为=0.75mm(9)4分上式已略去将上式结果代入(11)式，结合(Dsinθ=0.76mm(12)4分平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm.β;在微球的大圆内射αAYBααAYBαn解题图b.n0α=nβ即θ,=2Y=0.75mm(9)4分3）为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径取最大值dθ,=θ=0.17(10)4分平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm.]光线在B点的入射角上O,BA=β,折射角必定为α;折射出的光线与光轴交于F点（按n0n0sinα=nsinβαBααBαα+Y=2β(7)2分θ,=αY=2(αβ)(8)4分C——厂nAY解题图b.式中第三步利用了近轴近似，略去了O(α2)项.3）为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径取最大值dθ,=θ(10)4分在(10)式右端略去了O(α3)项后得sinθ=2sinα(11)4分Dsinθ=0.76mm(12)4分平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm.]微子νμ的静止质量近似为零.在实验室参照系中测得π介子8m/s为真空中的光速）.pμν式中pμνEμνπc2(3)4分式中Eμνν即c=0.2714cpμν式中pμνμ+mμc2)+Eνπc2(2)2分Eμ2=(pμ2+(mμc2)2,Evν利用EμμEνπc2Yμμc2而uμEμμc2(Yμ即μ=0.2714c(6)2分]u满足θ9=π的情形，正好分别相应于θ=0和θ=π的情形.于是由可知，从π介子衰变得到的μ子的最大速率umin和最小速率umax分别为2）根据放射性衰变规律，μ子的衰变率ρ满足根据放射性衰变规律，μ子的衰变率ρ满足μμmax路程所需的时间间隔在uμμmaxs(10)2分静止的μ子的平均寿命τ0可从静止的μ子半衰期求得5]观测到闪电导致的瞬间发光和伽玛射线暴等新现象.闪电通常由雷电云（离地云内的正负电荷，而云地闪电则把负电荷释放到地面.该圆柱区域的中轴线垂直于地面，半径为2.5km，高度为2）在起电过程中，雷电云上下两端电荷会随时间指数增加.定，地面为良导体，试估算此雷电云正下方产生的地表电场3）云地闪电通常由带电云底端带负电的冰晶颗粒尖端放电触发，先形成一条指向地面的放很小闪电通道（中心放电细路径除外）内部电场强短时间内，闪电通道内部的电荷分布可视为稳定分布.已知大气的电场击穿阈值为4）闪电通道连通云地后，云底和通道内部的负电荷迅速流向地面；闪电区域的温度骤然上5）球形闪电（球闪）的微波空泡模型认为球闪是一个球形等离子体微波空腔（空泡）.当发出的微波信号，需要在该区域悬浮一个载荷（包括气球材料和探测器）为50量M=29g/mol；气球内氦气密度（在离地高度12km处的值）PHe=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，气体普适常量R=8.31J/(K.mol).式中S=πr2，r=2.5km，d=1.0km.该区域上下两端的电势差为U=Ed=150MV式中E=0.15MV/m.所带正电荷总量为已利用(3)式和题给数据h=6.0km，d=1dq=σ2πr,dr,其中r,为圆盘半径，σ=Q/(πr2)为圆盘心且与圆盘垂直的轴线）上与盘相距x处产生的电势为整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电势为整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电场为雷电云负电荷圆盘在x=h产生的电场为式中h为负电荷的高度.正电荷圆盘在x=h+d产生的电场为将地面考虑为平面导体.应用镜像电荷法，得到正负电荷产生的地面E地面=2.8kV/m(6)6分]式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圆柱电荷体系外的电场为式中r9为到圆柱中轴线的距离.闪电通道的表面（柱面）电场应为击穿电场，故其直径为=5.0m式中E击穿=3.0MV/m.），2πrLE击穿=(10)2分将上式两边对r求导得ε0E击穿=rP(r)(11)P(r)=ε0E击穿r一1(12)6分4）电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图如解题图a所示.图中，无线电波从闪电O点在t=0t=tA时刻到达电离层底面A处时开层截止频率（3