2025年中考数学总复习课件(山东省专用)08 第一部分 第二章 第二节 一元二次方程及其应用

第二节一元二次方程及其应用第一部分基础复习·突破核心第二章方程(组)与不等式(组)链接教材基础过关考点一一元二次方程的有关定义1．定义：只含有__个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：______________(a，b，c为常数，a≠0)．一ax2＋bx＋c＝0考点二一元二次方程的解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数____的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解一半公式法

考点三一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式：Δ＝_________，注意隐含条件a≠0．当Δ＞0时⇔方程有__________的实数根；当Δ＝0时⇔方程有________的实数根；当Δ<0时⇔方程____实数根，无解．b2－4ac两个不相等两个相等没有

1．方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(

)A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2C．3，－5，－2 D．3，－5，0√C

[3x(x－1)＝2(x＋1)，3x2－3x＝2x＋2，3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2．故选C．]2．方程(x－1)2－x＋1＝0的根为(

)A．x＝2 B．x＝3

C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝2√D

[(x－1)2－x＋1＝0，(x－1)2－(x－1)＝0，(x－1)(x－1－1)＝0，x－1＝0或x－1－1＝0，所以x1＝1，x2＝2．故选D．]3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定A

[因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]√4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(

)A．7 B．－7C．3 D．－3√D

[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，则原式＝－5＋2＝－3．故选D．]

√

考点突破对点演练命题点1一元二次方程及其解法【典例1】

(2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．[解]

法一：x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1．法二：x2－2x＝3，x2－2x＋12＝3＋12，∴(x－1)2＝4，∴x－1＝2或x－1＝－2，∴x1＝3，x2＝－1．归纳总结

灵活选择方法解一元二次方程的口诀方程没有一次项，直接开方最理想．如果缺少常数项，因式分解没商量．b，c相等都为零，等根是零不要忘．b，c同时不为零，因式分解或配方．也可直接套公式，因题而异择良方．A

[∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，则x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，∴a＝－4，b＝21．故选A．][对点演练]1．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(

)A．－4，21 B．－4，11

C．4，21 D．－8，69√

2．用适当的方法解下列方程：(1)x2－2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．

命题点2一元二次方程根的判别式【典例2】

(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为____________．

易错警示

用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．B

[A．(x－2)2＝－1化简为x2－4x＋5＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝5，∴Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程没有实数根，不符合题意；[对点演练]1．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是(

)A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0

C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2√B．(x－2)2＝0，化简为x2－4x＋4＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝4，∴Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，∴此方程有两个相等的实数根，符合题意；C．(x－2)2＝1，化简为x2－4x＋3＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝3，∴Δ＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D．方程(x－2)2＝2，化简为x2－4x＋2＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝2，∴Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选B．]

√a＞－4

[根据题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(－a)＞0，解得a＞－4．]【教师备选资源】(2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．a＞－4

√

[对点演练]1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．7

[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，∴m2－5m＝－2，n＝5－m，∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9＝－2＋9＝7．]7

p1

命题点4一元二次方程的应用【典例4】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．[解]

(1)设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．根据题意，得x(72－2x)＝640，化简，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．(2)不能，理由如下：由题意，得x(72－2x)＝650，化简，得x2－36x＋325＝0，Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．温馨提示

因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．[对点演练]1．[数学文化](2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(

)A．3(x－1)x＝6210 B．3(x－1)＝6210C．(3x－1)x＝6210 D．3x＝6210√A

[∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3(x－1)文．依题意，得3(x－1)x＝6210．故选A．]2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？[解]设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．所以平均一个人传染了10个人．(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)

1．一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项的系数是(

)A．2

B．3

C．4

D．5B

[∵一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项是3x2，∴二次项的系数是3．故选B．]课时分层评价卷(六)一元二次方程及其应用√x…0.280.290.300.310.32…y＝x2＋3x－1…－0.0816－0.0459－0.010.02610.0264…2．[图表信息题]根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为(

)√A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30

C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32C

[∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.0261，∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．故选C．]3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是(

)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34

C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25√A

[∵x2＋10x＋9＝0，∴x2＋10x＝－9，∴x2＋10x＋52＝－9＋52，∴(x＋5)2＝16．故选A．]

√

√

6．(2024·四川自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根

D．没有实数根√A

[关于x的方程x2＋mx－2＝0中，∵a＝1，b＝m，c＝－2，∴Δ＝m2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．]7．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(

)A．m＜0且m≠－1 B．m≥0C．m≤0且m≠－1 D．m＜0√

8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是(

)A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0

C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0√B

[∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，∴x1＋x2＝6＋1＝7，∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，∴x1x2＝10．A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．故选B．]9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(

)A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60√B

[根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，所以80(1－x)2＝60．故选B．]10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．2

[由题意，将x＝1代入一元二次方程得，1－3＋a＝0，解得a＝2．]211．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．

12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．

1413．(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．[解]∵x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0，∴x1＝0，x2＝4．

15．如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm．(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；(2)两个鸡场面积和S可以等于160m2吗？如果可以，求出此时AB的值．[解]

(1)由题意可得，S＝x(34－3x＋2)＝x(36－3x)＝－3x2＋36x，即S关于x的关系式是S＝－3x2＋36x．(2)依题意，－3x2＋36x＝160，即3x2－36x＋160＝0，∵Δ＝b2－4ac＝362－4×3×160＝－624＜0，原方程无实数根，∴两个鸡场面积和S不能等于160m2．16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(

)A．17或13 B．13或21C．17 D．13√C

[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，

∵3＋3<7，∴