专题二　微拓展3　平面向量中的新定义

平面向量中的新定义微拓展3汇报人：平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.考情分析内容索引壹平面向量的外积叁平面向量的新定义与新运算贰与线性运算有关的新定义平面向量的外积第一章

例1√√√

规律方法(1)外积的几何意义S▱ABCD=|a|·(|b|sinθ)=|a×b|.结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积.规律方法(2)外积的性质①a×a=0；②a×b=0⇔a∥b；③a×b=-(b×a)(交换律不成立)；④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)；⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).

跟踪演练1√√√

与线性运算有关的新定义第二章

例2

(2)若向量a，b的“@未来坐标”分别为{sinx，1}，{cosx，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函数f(x)的最值.

解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊值排除.规律方法(多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令a☉b=mq-np，则下列说法正确的是A.若a与b共线，则a☉b=0B.a☉b=b☉aC.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2跟踪演练2√√√对于A，若a与b共线，则mq-np=0，即a☉b=0，故A正确；对于B，因为a☉b=mq-np，b☉a=np-mq，所以a☉b≠b☉a，故B错误；对于C，(λa)☉b=λmq-λnp，λ(a☉b)=λmq-λnp，所以(λa)☉b=λ(a☉b)，故C正确；对于D，因为(a☉b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)，|a|2|b|2=(m2+n2)(p2+q2)，所以(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2，故D正确.平面向量的新定义与新运算第三章

例3

(2)写出|αk|，|αk+1|，|αk+2|(k∈N*)之间的等量关系，并证明；

(3)若|α1|=|α2|=1，求证：集合{αk|k∈N*}是有限集.由(2)及|α1|=|α2|=1得|α3|=1.依此类推得|αk|=1(k∈N*)，可设αk=(cosθk，sinθk)，则αk+1=(cosθk+1，sinθk+1)，βk+1=(sinθk+1，-cosθk+1).依题意得，xk+2=αk+1·αk=cosθk+1cosθk+sinθk+1sinθk=cos(θk+1-θk)，yk+2=βk+1·αk=sinθk+1cosθk-cosθk+1sinθk=sin(θk+1-θk)，所以αk+2=(cos(θk+1-θk)，sin(θk+1-θk)).同理得αk+3=(cos[(θk+1-θk)-θk+1]，sin[(θk+1-θk)-θk+1])=(cos(-θk)，sin(-θk))，αk+4=(cos[(-θk)-(θk+1-θk)]，sin[(-θk)-(θk+1-θk)])=(cos(-θk+1)，sin(-θk+1))，αk+5=(cos[(-θk+1)-(-θk)]，sin[(-θk+1)-(-θk)])=(cos(θk-θk+1)，sin(θk-θk+1))，αk+6=(cos[(θk-θk+1)-(-θk+1)]，sin[(θk-θk+1)-(-θk+1)])=(cosθk，sinθk).所以αk+6=αk(k∈N*).综上，集合{αk|k∈N*}是有限集.与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.规律方法

跟踪演练3√

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拓展练习√思维提升

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(0，1)

7.对于一个向量组a1，a2，a3，…，an(n≥3，n∈N*)，令bn=a1+a2+…+an，如果存在at(t∈N*)，使得|at|≥|at-bn|，那么称at是该向量组的“好向量”.(1)若a3是向量组a1，a2，a3的“好向量”，且an=(n，x+n)，求实数x的取值范围；

(2)已知a1，a2，a3均是向量组a1，a2，a3的“好向量”，试探究a1，a2，a3的等量关系并加以证明.

设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n，即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3).(2)若V(a，b)=V(a，c)，其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c.

因为V(a，b)=V(a，c)，所以不妨设v1，v2∈V(a，b)，v1≠v2，则由V(a，b)定义知v1·a=v1·b，即