中学教师资格（数学学科知识与教学能力）考试题库（简答题）

中学教师资格（数学学科知识与教学能力）考试题库（简答

题汇总）

简答题

1.某投资人本金为A元。投费策略为：（1）一年连续投资n次，每个投资周期

［年；二.

为“（2）在每个投资周期中，利率均为（3）总是连本带息滚动投资。

回答下列问题：（1）一年后的斐金总额？

（2）当nT8时，资金总额是否趋于无穷?

答案：

本塞主要考查指数座数.极限运算的基础知识.

（1）因为已知一年连旗投绫，，次,则一年后的竺金总额就是连续投逐，，次的投资总额，即出1+：）”.

（2:根据重要极限公式“必°十，一”.将（1）结果进行化意.即：翘Hi一5"=八”蚂【（1+》呼=Ae

2.阐述用二分法求解方程近似解的适用范围及步骤,并说明高中数学新课程引入

二分法的意义。

答案：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解。

利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间

（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次

需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要

有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求

时（两端点的近似值相同），运算终止。

3.函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。（1）

请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程

中函数单调性与哪些内容有关（至少列举出两项内容）；（7分）（2）请列举

至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。（8分）

答案：本题主要考查函数单调性的知识，考生对中学课程内容的掌握以及考生的

教学设计能力。

4.“两角差的余弦公式”是高中数学必修4中的内容“经历用向量的数量积推出

两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”请完成“两角差的余弦

公式推导过程”教学设计中的下列任务：Q）分析学生已有的知识基础；（2）

确定学生学习的难点；（3）写出推导过程。

答案：本题主要以高中数学必修4中“两角差的余弦公式”为例，考查三角函数

的基础知识、课程概述及教学设计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识、

课程知识以及教学技能的基本知识和基本技能。（1）学生已有的知识基础：高

一学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，从日常教学所反应的学

生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶

段，没有办法真正灵活的运用。具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的

原因，还是没能用严格的定义证明。（2）“两角差的余弦公式”是高中数学必

修4第三章《三角恒等变换》第一节《和角公式》的重点内容，“两角差余弦公

式”的推导及在推导过程中体现的思想方法是本课的重点内容，同时它也是难点。

（3）教科书已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的好工具，在

两角差的余弦公式的推导中正好能够体现向量的数量积的作用。

5.

在"三角函数求值"的教学中，教*出来如下问题：

已知a.0为锐角，一|3）—求J的值。

55

教师让两位学生板书演示,他泊的演示过程如下：

学生1：因为sina=丝.。为锐角，所以cosa=浮，

a5

又因为3ng+8）=,RHcofi（a+月）=

a5

当rr^（n+J）:时，cosJ—cc«s［（a+J）一司一cos（a+3；cosa+sin（n4-Jisina

4述32Vz5IDvu2V

=­X1^―+-X

5555255

当c,1।11•!,i+2*£2^w

\555525

学生2:因为sins-△为锐角r所以CMQ-

33

由Mn（＜v+3）.,即tin＜、・con,3-“np•cokn.,

55

设，e，，，因为“为锐角所以sinm—vT^,则叁2r+吏，

555

去分母»2v5-r—、有•v1—r2—3

移项rv，5-3-2v，Kr

两边平方r53-912、Zr♦2d

合并同类项，25--I2y/b.r+I0

ft£方程产,2——2V

~a'2-~教师发现两位学生板书演示的内容

与自己预设的内容不一致。问题：（1）你如何评价这两位学生的解题过程。（1

0分）（2）假如你是该教师,针对学生板演的情况，如何组织进一步的教学，完成

该课题的教学任务。（10分）

答案：本题主要从“三角函数求值”教学片段入手，考查三角函数基础公式的运

算能力'一元二次方程的基本思想、教学过程的基本要素'教学方法的选择，高

中数学课程的实施建议，以及教学案例分析的基本能力等。Q）分别对学生1

和学生2的解题过程进行评价，可以从解题的思路、解题的方法、解题结果正确

与否，并进行纠正，做小结。注意，学生正确的地方应给予肯定和鼓励，不足之

处应及时指出。（2）作为教师在课堂上遇到这种情况，教师可以直接针对学生

板演的情况进行点评，完成下一步的教学任务，但这样做学生缺乏反思的过程;

教师也可以将学生板演的情况转化为课堂的生成性资源，将其作为课堂讨论的问

题进行教学，进一步解决“三角函数求值”这个问题，让每个学生都参与到课堂

学习过程中，更好地完成该课题的教学任务。

6.叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“是无理数”的教

学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。

答案：本题主要考查数学教学原则的基本内容,并能够根据实例进行理解和把握。

首先，明确数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指

导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学

实践，反过来又指导数学教学实践。本题作为论述题，需要分步进行解答。第一

步，阐述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，分别简述严谨性、量

力性的内涵，以及严谨性与量力性相结合原则的贯彻；第二步，结合“是无理数”

的教学过程实例阐述在教学过程中如何体现“严谨性与量力性相结合”数学教学

原则。

7.

方程一»o的5个根在复平面上是一个五边形的顶点.

（1）求方程/+/+/+，+1o四个复模中落在第一象限的另衿根，要求免根式表达.（遑示：做变量音接

z=r+!）

x

（2）利用（1）雌论，计算单位圆的内接正五边形的边长.

答案：本题主要考查复数的运算及数形结合的思想。利用数形结合的思想将已知

条件进行整体代换，从而进行进一步的探索。

8.“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：（1）在“基本

不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案：①强调基本不等式在求数

值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。②强调基本不等式的背景，过程与

意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为重点。你赞同哪

种方案？简述理由。（10分）

（2）给出M+口-2"，以及疝v色¥，“>0.&>0）的几何解释;（10»）

（3）为了让

高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义，作为教师应该对此有多个维

度的理解，请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。（10分）

答案：本题主要以高中数学教学中的重要内容之一“基本不等式”为例，考查均

值不等式的基础知识，高中数学课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教

学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较

综合性地考查学科知识'课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技

能。（1）首先回答两种方案相比较更赞同哪个方案，然后说出赞同的理由。

（2）对于“外'不这两个不等式的几何解释，可以结合

几何图形进行详细的阐述，这样更加直观。（3）“基本不等式”是许多其他知

识点理解和求证等的基础，可以从不同的角度来说明“基本不等式”中“基本”

的意义，如求证不等式中的应用，其他重要不等式推广中的应用等等，但至少要

举出两个方面的例子。

。一I.'：1>1if3<(I.>1：,-|3jn|,：

9.设平面闭区域求函数

"在D上的最小值，并说明理由。

答案：本题主要考查线性规划的应用。将平面区域的可行域表示出来，目标函数

在该区域内移动，寻找最优的值。

-某教师在进行票函数教学时,给学生出了如下一道练习题：

已知（“+1）-，<（12«）-a,求"的取值范围.

某学生的般答过程如下：

解:曰霆意可得:

'。+1>0「>-】fn+l>0「>-】

11—2a>0।<|<：=0<°<：或｛1-2。<0=>1a>；今无解

“_1>1一勿+[a<0

所以，”的取值走围为

问题:（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误的原因：

（2）给出你的正确解答（限用耳函数的图像和性质来解答）;

w（3）指出你解题所运用的数学思想方法.

答案：本题主要考查利用募函数的性质解不等式。化简变形累函数，利用解不等

式组的方法，将每组不等式组的解合并起来，得到正确的解答。

11.方式1：实数有加法运算，那么下列集合的关系呢？方式2：班里有会弹钢琴

的，会打拳击的会?？（给出集合的并集的定义）方式3：前面学习了集合，集合

的表示'基本关系，接下来呢?？（1）分析三种引入方式的特点（6分）（2）对

于方式3,教师可以引导学生进一步提出哪些问题（6分）（3）数学概念引入的

关键点是什么？（4分）如何使数学概念的引入更加自然？（4分）

答案：本题主要从“集合”相关知识入手，考查集合的相关概念、集合的表示方

法'集合的运算，教学工作的基本环节，常用的教学方法，以及课堂导入技巧等

基本知识与技能。Q）分析三种引入方式的特点，逐一分析各自的优缺点。（2）

方式三是通过复习以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，那么就可以

从了集合的概念'集合的表示、集合的基本关系、集合的运算等几个方面进行提

问。（3）数学概念的引入的关键点是：一要注意运用新、旧知识之间的内在联

系；二要注意调动学生认知结构中已有感性和知识，去感知理解材料，创设具体

情境，从具体事例抽象出数学概念。数学概念的引入，可通过多种贴近生活的方

式引入，使学生感到更加自然。如创设情境，从具体事例抽象出数学概念；通过

实例、绘图或多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点等等，使数学概念的引入

更加自然。

12.案例：在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前

10项和为100,前100项和为10,求前110项的和。两位学生的解法如下：

学生甲：设等差数列的首项为“I,公差为d,则

/10x9

I=10a：+—d=100（

L“100X99,〜

=100a-♦—7—d=10.

HW电JII

所以、uoUWIin

学生乙：设等差数列｛厮｝前n项和为5”一/LJ+u„,由已知得

[100A*10B=100..

40000A+100B=10.

8,曰I11

g•”|txi»

所以，“卜咛（H，

针对上述解法，一

些学生提出了自己的想法。学生丙：怎么刚好有"5、"一呢？这是一种

巧合吗？上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢？老师：同学丙所说的

规律是否就是：

T51S,在等差数列“”中，若存在正整数P，q且pHq,使得Sp-gSg—P,则5p+S"-Sp+£*）

,清同学们迸行验证.

（1）请分析学生甲和学生乙解法各自的特点，并解释学生乙设的理由。（12分）

（2）请验证（*）中结论是否成立。（8分）

答案：本题主要从“等差数列”相关知识入手，考查等差数列的相关概念、等差

数列的通项公式、求和公式等基层知识,教学工作的基本环节，常用的教学方法，

以及课堂导入技巧等基本知识与技能。（1）甲同学是直接用等差数列的求和公

L,■（"・1）

式不来计算的，而乙同学是将甲同学等差数列求和公式变形为二次

函数的形式来计算的。甲乙同学计算公式的本质是一样的，但是乙同学的计算方

n(n♦1)

;、”一，，”.-,r/[

法简化了计算量。(2)通过等差数列的求和公式即可验证(*)

中结论是成立的。

，二是整系数方程3,||*_0的根，其□/，，，/互质，证明：，期8,，/整除3.

13.

答案：

本题主要考查数集和方程的基廷知识，以及推理与证明的基本思想与方法.

本题是一道证明斐，首先娟论"p—8.q整除3"出发，可知小v分别于&3存在一定的倍数关系.

然后，由已知条件外g互质,且':是整系数方程♦+3+”+'=。的根，可以推出'-二是代数式

V1*6/*-X*X的一个因式,则方程+hr2+cr+8=,展开后系数对应，即可得

出，与8、g与3的关系.

14.举例说明运用分析法证明数学结论的思维过程和特点。

答案：本题主要考查对分析法证明基础知识的理解与运用。常用的直接证明方法

有综合法与分析法。综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从

结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出

发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论出发，一步一

步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。

求证：非外次统性方程组＜+b2y+♦工一公有唯一解当且仅当向量

Ic3r+Mu+e:一d?

叫心•电®,，3f-2.茂性无关。

15\^/V-J

答案：

本题主要考查向量组的线性相关性、送性方程组解的结构的基祖知识，以及推理与证明的基本思想与方法.

”+**QX=4aA\

Jojx++e2x=d2K*=Ia,J,IT=Ib.),K=Ic,I

本飘若想证明非齐次线性方程组(的x+w+纶=*有唯一解当且仅当向量Q；/\bj*较性

ta^x♦bxx+qx=d£

无关,首先应明确线性方程J.有解的充分必要条件是系数定阵的秩与增广距阵的铁相

等。然后从"线性方程组解的唯一性”和向量'"q卜"%性无关”两个方面分别进行证

明.

r3a.3_

设/,且，满足方程叁：<-J

Ia3+33=—q

(1)证明门+1是Q(jr)="的程;

(2)写出以小和户为根的一元二次方程.

16.

答案：本题主要考查一元二次方程的求解。利用韦达定理求解。

17.案例：在一次数学课上，教师给出如下例题，

求证：sin"+»ino=2NinT叱=

22

该咧题的教学过程如•下：

痴行苜先证明等式;与皿9+?)+sim”-;-)-Jsmyrcosn).

然后令g—°J,7=­y—，见。一百中■雄一百7»

亍是sine+siu°=2sin号子成立•

斐若,教IJ修出了另一种证法：

等式二边-sin(—^―+—^―)+*口(-------—)

.份+@"―08十0.8—0.。+e"—Q0—0.0—0

=sin---COM---+co«--"-sin--+sin---c<w--——<•<)«---sm---

222222

=2sin?cos宁=右边，即得等式成立.

正当教师要转入下一个例题的时候，有学生提出：能否从等式右边推导出等式左

边？教师以从等式右边推导出左边比较烦琐为理由，不理会学生，就匆匆进入了

下一题的讲解。问题：(1)结合上述案例，谈一谈教师应如何看待学生提问不

在教学预设的情况。(10分)(2)如果你是该教师，那么如何回答学生的提

问？(10分)

答案：本题考查教师的教学技能及考生对新课标要求的掌握。

18.简述向量的数量积运算与实数的乘法运算的区别。

答案：本题考查数量积与实数运算的区别。学生在学习向量的数量积的时候通常

会对照之前的实数相关的运算来进行类比学习，对两种运算之间的不同之处掌握

的不扎实容易出错。

19.“对数的概念”是高中数学教材的重要概念，教师在教学中，应基于课程标

准和学生学情，确定教学目标，实现教学重点'突破教学难点，设计教学方法、

教学过程中师生互动和教学评价等。请完成下列任务：(1)设计“对数的概念”

的教学目标；（9分）（2）写出“对数的概念”的教学重点和难点；（6分）

（3）设计“对数的概念”的引入过程（要求能够让学生认识到引入对数的概念

的必要性）。（15分）

答案：本题主要考查对数概念这个知识点及考生的教学设计能力。

20.简述向量的数量积运算与实数的乘法运算的区别。

答案：本题考查数量积与实数运算的区别。学生在学习向量的数量积的时候通常

会对照之前的实数相关的运算来进行类比学习，对两种运算之间的不同之处掌握

的不扎实容易出错。

21.举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用。

答案：本题主要考查高中数学课程内容的基础知识以及立体向量的基本性质。运

算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学法则的一条重要线索。

从数的运算到字母的运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体问题

中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题，而字母运算则可以刻画蕴涵

规律的一类问题。从数的运算，到向量的运算是认识运算的又一次跳跃。而向量

运算更加清晰地展示了"小」।三种类型的代数运算

的特征以及代数运算的功能，这对于学生进一步学习其他数学运算、增强学生的

运算能力具有基础作用。

22.

会间直角坐标并.试判皿入｛tH二U与平面、：配

22;I-0的位置关系，并求

出直关，与三面二的夹角正弦值，

答案：本题主要考查空间中向量的应用。利用直线和平面的法向量，要求解直线

与平面的夹角，即求两个法向量的夹角的值，因而本题的关键在于表示出两个法

向量的坐标。

设A是f，，，•，，的电阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数.

23.

答案：本题主要考查向量在空间中的应用。利用方程组有非零解的性质，矩阵的

秩小于行向量的个数，再找到一组极大线性无关组，和一组基，即可证明。

已知方程卜'、表示的几何图形是椭国，求出具短主轴与长半轴的长度.

Ipx++：=()

24.

答案：本题主要考查圆锥曲线、空间曲面及曲线方程的基础知识。由题意可知椭

圆即为柱面।与平面-*的交线，坐标原点与椭圆上任一点的距离

的最大值即为椭圆的长半轴长，r的最小值即为椭圆的短半轴长。

25设球面方程为311,1•/।■I明末之在点(4,5,13)处的切平面方程。

答案：本题主要考查空间曲面及曲线方程的知识。

设三雒空间中椭圆r：P*.，二/

26.i

(1)证明：r的中心为原点，并求「的长轴和短轴的长度.

(2)证明：任给一个椭圆,存在参数/?和#,使得r与给定嘱圆全等.

答案：本题主要考查空间曲线及其在坐标面上的投影的内容。(1)将空间投影

到平面，可知椭圆的中心即是投影后圆柱的中心，在原点。利用相交关系，可列

方程组求解得到端点的坐标。(2)选择合适的坐标，建立直角坐标系，表示出

的平面方程，求出长轴和短轴的比值，发现结果与R和K无关，这说明，对于任

意一个椭圆，都存在。

n(O<u<)

27.一条光线斜射在一水平放置的平面镜上，入射角为2请建立空间直

角坐标系，并求出反射光线的方程；若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求

所得旋转曲面的方程。

答案：本题主要考查空间曲面与方程的基础知识。首先建立直角坐标系，写出入

射光线的直线方程,根据反射光线与入射光线关于轴对称,得出反射光线的方程;

然后将反射光线绕Z轴旋转一周，即可得出旋转曲面即圆锥面的方程。

28.

过点〃（1.：，）作椭圆•产|£-1的切浅，分别交r轴和V轴于点A和点B,将娥，1〃绕.，轴旋转一周，所

412

成旋转曲面记作S.

（1）在空间直角坐标系下，写出曲面.、的方程.

（2）求曲面5与平面，0所围成立体的体积.

答案：

Xrq3//3X

（1）由我官知：点P（1,3）在椭圆上，椭圆左右两边求导得：7+：Y即/=-正=-万，将，=1,

V-3代入,得十--L所以切变方程为：.-3=-1・<,—x（r—1）,即了♦yT=O.又该切线

交，轴和〃轴与点A和点B,所以A,B点的坐标为““”/如口），魁AB烧,轴旋转一周得旋转曲面S,曲面S

得方程为r+，V*+建—4-0.

（2）立礴体积为「=*仆旧'=-$（4”卡=0-（空='?.

29.在学习“平面向量”后，某数学教师安排了如下一道选择题：

若m博向量了，丁满足寸|=|寸|,则（）.

A.|2T|>|7T-2T|

B.|2T|<|7T-2T|

C.127rl>|2左刃

D|2*g2"-力以下是三位学生的解法：

学生1：已知|一丁|二|丁|,则m・丁:士寸,又因为才是非零向量，可知m=2万.因此选A。

学生2:已知|?F=E,则H讣=|寸忖・丁|一（7t）"T（—）,化简后有"，-3mT+2/

=0~%=7或a=27,又因为丁为非零向量，舍去a=T,所以|27|>|a・2T|,选A。

学生3:已知|a•司=旧.所以旧一寸『:『一（1?-T）一-J力=2m生T〉=2T0所以|2H|>|a・2T|,选

A。

问题：（1）如果你是这位数学教师，请指出这三种解法存在的错误；（9分）

（2）请你从已知条件|可公丁月家:出发，通过数形结合，引导学生给出一种正确

的解法；（5分）（3）针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量

运算的不同点（至少写出三点）。（6分）

答案：本题主要考查平面向量的相关运算及例题教学。

30.在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别有1,2,3,4,5,6的质地均匀的

骰子。如果结果为奇数，则甲跑一圈；若结果为1或2,则乙跑一圈，请回答甲

跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立，并说明理由。

答案：本题主要考查随机事件的概率。由于事件A、B相互独立的充分必要条件

=P（.43）r

是本题根据这一判定条件解题即可。

31.《普通高中数学课程标准（实验）》关于“古典概型”的教学要求是：“古

典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一

个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，教

学中不要把重点放在'如何计算'上”。请完成下列任务：（1）结合上述教学

要求，请设计高中“古典概型”起始课的教学目标；（6分）（2）请设计两个

符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特

征；（12分）（3）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有1、2、3、4、5、6

个点），请用两种不同解法求出现偶数点的概率，并说明采用两种解法对帮助学

生理解古典概型的作用。（12分）

答案：本题主要以“古典概型”为例，考查古典概型概率的基础知识'高中数学

课程概述、教学设计工作的基本环节'常用的教学方法、课堂导入技巧及教学设

计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学

技能的基本知识和基本技能。（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标、

过程与方法目标、情感态度与价值观目标。知识与技能目标，是对学生学习结果

的描述，即学生同学习所要达到的结果，又叫结果性目标。这种目标一般有三个

层次的要求：学懂、学会'能应用。过程与方法目标，是学生在教师的指导下，

如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。这

种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。情感态度与价值观目标，是学生

对过程或结果的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体

验性目标。它的层次有认同、体会、内化三个层次。知识与技能目标是过程与方

法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标

的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。（2）古

典概型概念：①试验中所有可能出现的事件只有有限个；②每个基本事件出现的

可能性相等。只有同时具有这两个特点的概率模型，称为古典概率概型。举例子

时针对古典概型中的两种特性举出即可。（3）采用两种不同解法求出现偶数点

的概率，如公式法、枚举法等，并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的

作用。

32.

在区间：o.i］口随初抽取两个数月纵［0,1］上的均匀分布,求这两个数之差的绝对值小于；的酶.

答案：本题主要考查概率与统计及数形结合的思想。根据随机变量服从均匀分布，

得到所求概率，将随机抽样的概率转化为求解阴影部分的面积。

33.某人从A处开车到D处上班，若各路段发生堵车事件是相互独立的，发生堵

T-

车的概率如图2所示（例如路段AC发生堵车的概率是1°’.请选择一条由A到D

的路线，使得发生堵车的概率最小，并计算此概率。

答案：本题主要考查随机事件的概率和和分类讨论的基本思想与方法。根据图2

可知，由A到D的路线有两条，分别是A-B-D和A-C-D。由于各路段发生堵车事

件是相互独立的，设A-B-D路线发生堵车的概率为P1A-B-D路线不发生堵车的概

率为P2且两事件对立，则P1+P2=1,且"",田可求出

34.袋子中有70个红球，30个黑球，从袋子中连续摸球两次，每次摸一个球，

而且是不放回的摸球：（1）求两次摸球均为红球的概率。（2）若第一次摸到红

球，求第二次摸到黑球的概率。

答案：本题主要考查求解随机事件的概率方法。（1）利用概率近似等于频率，

根据相互独立性，可求解两次摸球都是红球的概率。（2）由于第一次摸到红球，

从剩余的99个球中摸一个黑球，共有30种可能。

35.据统计，在参加某类职业资格证考试的考生中，有60%是本专业考生，有40%

是非本专业的考生。其中，本专业的考生的通过率是85%,非本专业的考生的通

过率是50%。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。

答案：本题考查随机事件的条件概率。条件概率是指事件A在另外一个事件B

已经发生条件下的发生概率。

36.

■某投费人本金为A元.投资策略为：（1）一年连瞰资n次,每个投资周期为:年；（2）在每个投资周期

中，利率均为:；（3）总是连本帝息滚动投资.

回答下列问题：

（1）一年后的资金总额？

（2）当"-8时，凌金总额是否趋于无穷?

答案：

本题主要考查指数或数，极隈运真的基础知识.

（1）因为已知一年连殡投烫，，次，贝4年后的资金总嵌就是连续投资，，次的投资总薮,即*1+

（2）也据重要报限公式，吧L将（1）结果迸行化简.即:

lim.1（1*1）、-AlimRlfr）-]r-Acr

设/"）星区间卜，，瓦上的连续用数，证明：存在“周,使得/“/"业-/u）（fe«）.

37.

答案：本题主要考查的内容是积分中值定理的证明。利用定积分的比较性质与连

续函数的介值定理来进行证明。

证明一1（"〉JI）

ooo.

答案：本题主要考利用伯努利不等式证明极限。利用极限的定义去证明数列的极

限，找到最小的N,使得满足极限的定义，即可得证。

39.在平面有界区域内，由连续曲线C围成一个封闭图形。证明：存在实数自使

直线y=x+4平分该图形的面积。

答案：

本期考查介值定理的应用.介值定理，是闭区间上连殡函数的性质之一.在数学分析中,介值定理表明，如

果定义域为I”.〃的连旗用数/.那么在区间内的某个点,它可以在〃"）和。”之间取任何值,也就是说,介值

定理是在连续函数的f区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间.

请置遨口何住算e的近似值，使其误差不超过"厂*.

40.

答案：本题主要考查导数的应用。利用泰勒展开到第N项，代入零点处的值，即

可求得e的近似值。

41.

殳质点做匀速圆周运动，其轨迹为r⑷一（/（，）."（，）），其中，（，）=«=，速度和加速度分

别为,和"⑹.»"（/））.

（1）求皿）和"（，）；

（2）证明卬）1=2及|则|=皆,其中％-R=；

（3）若一飞行器绕地球做匀速圆周运动且只受重力作用（高度可忽略不计），求其飞行速度的大小（设地球半径为

6400干米，重力加速为I。*,，'。？）

答案：本题主要考查对求导法则的掌握。一阶导的物理意义是速度，二阶导的物

理意义是加速度，根据距离的表达式，我们能得到速度和加速度的表达式，再熟

悉掌握求导法则，即可求解。

42若三%"，'的T切线/与直送，।打X-。垂直，求切注，的方程.

答案：本题主要考查函数的求导及导数的几何意义。1.曲线的一条切线与直线垂

直，根据两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于7可求得切线的斜率；2.曲线

方程求导是切线的斜率，可解得切线过曲线上点的横坐标，将横坐标代入曲线方

程中得到切线过曲线上的定点的坐标；3.利用点斜式得出切线方程

43.

G=t-sintf0

{t0

（v=1-cost*

设质点在平面上的运动水迹为■.求质点在时刻，一1的速度的大小.

答案：本题主要考查导数的运算。本题是含有参数的求导运算，求质点在时刻t

二1的速度的大小，即求y对x的导数，在t=1处的值。

44.叙述并证明拉格朗日微分中值定理，并简述拉格朗日微分中值定理与中学数

学内容的联系。

答案：本题主要考查微分中值定理中十分重要的拉格朗日中值定理。证明拉格朗

日微分中值定理，首先要从罗尔定理出发，

罗尔定理：如果区数/（「）满足：

（D在闭区间k，”上连续；

（2）在开区间（",（，）内可导：

（3）在区间端点处的座数值目等,即/（“）=/（6）,用豳在E.6）内至少有一点口"<I</>）,使得/

罗尔定理中切这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制,如果把〃"）这个条件取消，但保留

其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.

aix+biv+ci；-</|

“J+岫+32=曲有唯一解当且仅当向量

{a3T+63V+C3：=<h

答案:

本题主要考查向量组的法性相关性、法性方程注解的结构的基础知识,以及推理与证距的基本思想与方法.

atx+6tr+

+b2x+c2x=d?

本题若想证明非产次浅性方程组la3x+bZx+c3x=%有唯一解当且仅当向量

a^x+dlr+cxx=di

O.X+b^x+c,x=d；

a；x+£x+小=d；,有解的充分必要第牛是系压阵的秩与增广题阵的秩柜等.然后从“爱性

I&

星

4

方程坦解的唯一性"和"向量关”两个方面分别进行证明.

46.

已知矩阵.V一（；；）求曲线/一H+"—U在矩阵W-1对应的线性期奂作用下修IJ的曲线方程.

答案：

首先设/'（」，〃）是四线，尸，•。。上任意一点，点「在走阵、厂1所对应的浅性变换作用下的像是—"'）,日距阵变换

的法则得［»=y代入曲线“，+。。得,由此得出结论.

,求子空间金/）一｛一如“?/门的一组正交基.

47.

答案：

本期主要考查正交交换与正交走阵的知识.

施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法，施定特正文化方法可由n维欣氏空间的得到正交基,再单位化可

得到标准正交基.

施密特正交化的过程：若"i,%."，为向量至间V的一个基,

取向二“I

\bi•«2）.

I-丽萍

（61•«3）（62•（13）

d-诙而出--也也产，

，i（旬•仇卢他历中

那么8儿两两正交，且从与"I叫等价.

48.“两角差的余弦公式”是高中数学必修4中的内容“经历用向量的数量积推

出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”请完成“两角差的余

弦公式推导过程”教学设计中的下列任务：（1）分析学生已有的知识基础；（2）

确定学生学习的难点；（3）写出推导过程。

答案：本题主要以高中数学必修4中“两角差的余弦公式”为例，考查三角函数

的基础知识、课程概述及教学设计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识、

课程知识以及教学技能的基本知识和基本技能。（1）学生已有的知识基础：高

一学生已经学习了《平面向量》和《三角函数》的知识，从日常教学所反应的学

生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是还是只停留在体会阶

段，没有办法真正灵活的运用。具有了一定归纳总结的能力，但对于一般结论的

原因，还是没能用严格的定义证明。（2）“两角差的余弦公式”是高中数学必

修4第三章《三角恒等变换》第一节《和角公式》的重点内容，“两角差余弦公

式”的推导及在推导过程中体现的思想方法是本课的重点内容，同时它也是难点。

（3）教科书已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的好工具，在

两角差的余弦公式的推导中正好能够体现向量的数量积的作用。

49.在“三角函数求值”的教学中，教师给出来如下问题:

已知0(R为锐角rsina=sin(a+3)=求cosJ的值。

f5%5

教师上两位学生板书演示，他们的演示过程如下：

学生1:因为sine="0'为锐角,所以ease=

au

又因为sin(a+汾=，.0<c+.3<;rf贝!kos(c—3)=土。

当+3)=，时,cos3—cos[(a+3)—a]—cob(ti+3)cosaTshi(a+3)sina

4v/532V与10巡2V行

=-X---------X--------=----------=--------

5555255

当+N)=—，,cos3加介a+.3)cososin(a卜.3)sina=~~x--x-y—=

55555

学生2：因为si”=吧q为锐角，所以C33="

33

ffisinfn十3)=JBPsinn・cos：i+sin“・cosA=，

设cos3-a，因为。为猊角厮以sin3一vT司则经「+空\/T二滔=5,

555

去5^^,2vz5r+•v'l—分=3

移项，―\/1一/二3-

两边平方，5-5x2-9-12VOX+2。/

合并同类项，25T之一12\/5r+4-0

解方程得：八=缭.力=苧

2。5教

师发现两位学生板书演示的内容与自己预设的内容不一致。问题：（1）你如何

评价这两位学生的解题过程。（10分）（2）假如你是该教师，针对学生板演的情

况,如何组织进一步的教学,完成该课题的教学任务。（10分）

答案：本题主要从“三角函数求值”教学片段入手，考查三角函数基础公式的运

算能力'一元二次方程的基本思想、教学过程的基本要素、教学方法的选择，高

中数学课程的实施建议，以及教学案例分析的基本能力等。（1）分别对学生1

和学生2的解题过程进行评价，可以从解题的思路、解题的方法、解题结果正确

与否，并进行纠正，做小结。注意，学生正确的地方应给予肯定和鼓励，不足之

处应及时指出。（2）作为教师在课堂上遇到这种情况，教师可以直接针对学生

板演的情况进行点评，完成下一步的教学任务，但这样做学生缺乏反思的过程;

教师也可以将学生板演的情况转化为课堂的生成性资源，将其作为课堂讨论的问

题进行教学，进一步解决“三角函数求值”这个问题，让每个学生都参与到课堂

学习过程中，更好地完成该课题的教学任务。

50.叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“V2是无理数”

的教学过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。

答案：本题主要考查数学教学原则的基本内容,并能够根据实例进行理解和把握。

首先，明确数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指

导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学

实践，反过来又指导数学教学实践。本题作为论述题，需要分步进行解答。第一

步，阐述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，分别简述严谨性、量

力性的内涵，以及严谨性与量力性相结合原则的贯彻；第二步，结合“是无理数”

的教学过程实例阐述在教学过程中如何体现“严谨性与量力性相结合”数学教学

原则。

51.“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：（1）在“基

本不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案：①强调基本不等式在求

数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。②强调基本不等式的背景，过程

与意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为重点。你赞同

哪种方案？简述理由。（10分）

（2）给出小+/42泌以及4>0：，的几何解释；（10分）

（3）为了

让高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义，作为教师应该对此有多个

维度的理解，请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。（10分）

答案：本题主要以高中数学教学中的重要内容之一“基本不等式”为例，考查均

值不等式的基础知识，高中数学课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教

学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较

综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技

能。（1）首先回答两种方案相比较更赞同哪个方案，然后说出赞同的理由。

（2）对于““，源㈤〈寺（"。，&>0）;'这两个不等式的几何解释，可以结合

几何图形进行详细的阐述，这样更加直观。（3）“基本不等式”是许多其他知

识点理解和求证等的基础，可以从不同的角度来说明“基本不等式”中“基本”

的意义，如求证不等式中的应用，其他重要不等式推广中的应用等等，但至少要

举出两个方面的例子。

52.举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的作用。

答案：本题主要考查高中数学课程内容的基础知识以及立体向量的基本性质。运

算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学法则的一条重要线索。

从数的运算到字母的运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体问题

中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题，而字母运算则可以刻画蕴涵

规律的一类问题。从数的运算，到向量的运算是认识运算的又一次跳跃。而向量

运算更加清晰地展示了''''''：三种类型的代数

运算的特征以及代数运算的功能，这对于学生进一步学习其他数学运算、增强学

生的运算能力具有基础作用。

53.《普通高中数学课程标准（实验）》关于“古典概型”的教学要求是：“古

典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一

个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，教

学中不要把重点放在'如何计算'上”。请完成下列任务：（1）结合上述教学

要求，请设计高中“古典概型”起始课的教学目标；（6分）（2）请设计两个

符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特

征；（12分）（3）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有1、2、3、4、5、6

个点），请用两种不同解法求出现偶数点的概率，并说明采用两种解法对帮助学

生理解古典概型的作用。（12分）

答案：本题主要以“古典概型”为例，考查古典概型概率的基础知识、高中数学

课程概述、教学设计工作的基本环节、常用的教学方法、课堂导入技巧及教学设

计工作等相关知识，比较综合性地考查学科知识'课程知识、教学知识以及教学

技能的基本知识和基本技能。（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标'

过程与方法目标、情感态度与价值观目标。知识与技能目标，是对学生学习结果

的描述，即学生同学习所要达到的结果，又叫结果性目标。这种目标一般有三个

层次的要求：学懂'学会、能应用。过程与方法目标，是学生在教师的指导下,

如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。这

种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。情感态度与价值观目标，是学生

对过程或结果的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体

验性目标。它的层次有认同、体会、内化三个层次。知识与技能目标是过程与方

法目标'情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标

的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。（2）古

典概型概念：①试验中所有可能出现的事件只有有限个；②每个基本事件出现的

可能性相等。只有同时具有这两个特点的概率模型，称为古典概率概型。举例子

时针对古典概型中的两种特性举出即可。（3）采用两种不同解法求出现偶数点

的概率，如公式法'枚举法等，并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的

作用。

54.简述“尺规作图”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的

具体内容。

答案：本题主要考查有关“尺规作图”，以及“几何作图三大问题”的相关数学

史知识。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。①尺规作图使用的直尺和

圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；②直尺必须没有刻度，无限长,

且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻

度；③圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过

的长度。