2025年中考数学二轮复习讲练测第09讲 圆的综合问题（3个考点8个题型）-浙江二轮讲练测（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages238238页专题五几何图形的性质与判定的综合问题第09讲圆的综合问题（思维导图+3点+8种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03核心精讲·题型突破考点一、圆的性质与几何图形问题题型01、圆内性质的综合应用问题题型02、圆与三角形的综合问题题型03、圆与四边形的综合问题考点二、圆与函数的综合问题题型01、圆与一次函数的综合问题题型02、二次函数与圆的综合问题考点三、圆的常考类型题题型01、隐圆问题圆的最值问题题型02、圆的折叠问题题型03、动态圆问题中考考点新课标要求命题预测圆①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。④了解三角形的内心与外心。⑤了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。⑥能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线（例76)。*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。③会计算圆的弧长、扇形的面积。@了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题，所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。02知识导图·思维引航03核心精讲·题型突破考点一、圆的性质与几何图形的综合问题题型01、圆内性质的综合应用问题1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（

）．

A． B．2 C． D．2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为．

3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．

(1)求证：．(2)已知，，求的长．

4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

(1)求证：；(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．5．（2025·河北沧州·模拟预测）将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接（如图2）．已知，，，半圆O的直径为8．(1)嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化．请你分析他俩谁说的对，并说明理由；(2)当点F与点D重合时，如图3．①判断与半圆O的位置关系，并证明；②求图中阴影部分的面积和；(3)设的中点为M，直接写出点M的运动路径长．6．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：(1)取何值时，平分；(2)设的面积为，求与的函数关系式；(3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．7．（2024·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)连接，交于点P，若，求的长度．8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．(1)求证：；(2)如图2，延长相交于点，连接．①已知，求的长；②记与的交点为，若，当时，求的值．题型02、圆与三角形的综合问题9．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．(1)求半圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作于点R，连结．①当为直角三角形时，求x的值．②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．10．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．

(1)如图1，当，的长为时，求的长．(2)如图2，当，时，求的值．(3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．

(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设．(1)用含的代数式表示．(2)求证：．(3)如图2，为的直径．①当的长为2时，求的长．②当时，求的值．13．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．(1)若，为直径，求的度数．(2)求证：①；②．14．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．

(1)若，求的长．(2)求证：．(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．15．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．①当点G是的中点时，求证：；②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．16．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．

(1)求的度数．(2)①求证：．②若，求的值，(3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长．17．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点．(1)如图①，已知，求的度数．(2)如图①，已知，，求的长．(3)如图③，延长交于点，连结．①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由；②若，．求的半径．18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结．(1)求证：．(2)若，求的值．(3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长．19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知：在中，，，D是的中点，以为直径的分别交、于点F、E，点E位于点D下方，连接交于点G．(1)求证：F是的中点；(2)如图1，如果，求的长；(3)如图2，设，，求y关于x的函数关系式．20．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)在点运动过程中，当时，求的值．题型03、圆与四边形的综合问题21．（2020·浙江温州·中考真题）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．（1）求证：∠1＝∠2；（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．22．（2021·浙江宁波·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G．（1）若，请用含的代数式表列．（2）如图2，连接．求证；．（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．①若，求的周长．②求的最小值．23．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．【初步感知】（1）如图1，当时，；【问题探究】（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．24．（2023·广东·中考真题）综合探究如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．

(1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆．①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．25．（2025·河北邢台·模拟预测）如图1，在矩形中，，点在射线上，过点作切于点，设．(1)如图2，当圆心在对角线上时，_____；请求出此时劣弧的长．(2)过点作于点，①如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的值；②当点在线段上时，求线段长度的最大值；③直接写出当时，的值．26．（2025·江苏连云港·模拟预测）圆与反演点已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然．【概念理解】（1）下列对反演的描述：①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外；②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的；③圆上的点的反演点是圆自身．其中，所有正确的序号是___________．【掌握应用】（2）若是关于的反演点，且，求的长．（3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系．【探索确定】（4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出．27．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．(1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．(3)如图①，连结，若，，求的值．28．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．

(1)求证：；(2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径；(3)若，在点的整个运动过程中，①当为何值时，四边形是菱形？②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长．29．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．(1)求证：；(2)若M为的中点，求的半径；(3)若的半径为3，求的值．30．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点．(1)证明：；(2)若，求的度数；(3)设交于点，若，，是的中点，求的值．31．（2021·浙江温州·三模）已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（b＞2），E，F为BC边上的点，BE＝CF＝1．连接AE，AF，DF，BD．(1)已知a＝3，如图1，①当∠AEB＝∠AFD时，求证：AF＝AD；②若△AEF与△DBF相似，求b的值．(2)作△ABF的外接圆⊙O，如图2，记⊙O的半径为r．若a＝3，则当⊙O与△DCF的一边相切时，求所有满足要求的r的值；(3)已知a＝1，如图3．若经过A，E，D三点的⊙O′的半径R满足≤R≤5，则线段EF的范围为___（直接给出答案）．32．（2022·浙江金华·一模）已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB＝AC，⊙O是的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE．(1)当点E在线段CD上时，如图1．①求证：∽②若，的面积为，求⊙O的半径．(2)当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F．如图2，若时，求的值．33．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点．(1)当圆与边相切时，求的长；(2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域；(3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围．考点二、圆与函数的综合问题题型01、圆与一次函数的综合问题34．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．（1）求的半径和直线的函数表达式．（2）求点，的坐标．（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．35．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．

(1)求的长和关于的函数表达式．(2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．(3)延长交半圆于点，当时，求的长．36．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

37．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为．38．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为平面直角坐标的原点，直线与两坐标轴交于两点，，，若的圆心在直线上，且与所在直线相切，则圆心的坐标是．39．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（

）

A．1.8 B．2.4 C． D．2.540．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，分别交x轴，y轴于点，连结．直线分别交于点（点D在左侧），交x轴于点，连结．(1)求的半径和直线的函数表达式．(2)求点的坐标．(3)点P在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．41．（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，与y轴交于点，一次函数（）的图像分别交x轴、y轴于点B、C．(1)如图1，当时，求证：直线与相切；(2)如图2，直线与相交，交点分别为D、E，若，求b的值．42．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点．(1)如图1，当时，求证：直线与相切；(2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值．43．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．(1)已知点，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线上的一个动点，①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值．44．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)求的值．(2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：．(3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m．①求m与n的数量关系；②当时，求m，n的值．45．（2025·湖南长沙·一模）如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线．(1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标，；②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为．(2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标．(3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围．②

当F位于经过点O的的垂线上时，题型02、二次函数与圆的综合问题46．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．(1)填空：____；____；_____．(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．47．（2011·浙江衢州·中考真题）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．48．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)当时，求点P的坐标；(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．49．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值．50．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求二次函数的解析式和的值．(2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．51．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值；(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．52．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．53．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为．(1)求的标准方程；(2)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)连接，求的值．考点三、圆的常考类型题题型01、隐圆问题圆的最值问题54．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A． B．6 C． D．55．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（

）．A．2 B． C． D．56．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个57．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是．

58．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．

59．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（

）A． B． C． D．60．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（

）A． B． C． D．61．（浙江温州·期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为．62．（2019·浙江绍兴·一模）如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为．63．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是；点到达点时，线段扫过的面积为．64．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是．

65．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为；【问题探究】（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，．点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．

66．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上．(1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；(2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为；(3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为．67．（2024·四川乐山·模拟预测）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为；【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值；【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值．68．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M．(1)当时，求劣弧的度数；(2)当时，求的长；(3)连接，．①证明：．②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．题型02、圆的折叠问题69．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为；折痕的长为．70．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．71．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（

）A．8 B． C．6 D．72．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（

）A． B． C． D．73．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是74．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为．75．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为．76．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷从出发顺时针扫过时，，则的半径为，毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为．77．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于．(1)若，求的度数．(2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数．78．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．(1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；(2)如图②，当时，求阴影部分的面积．79．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．

(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．80．（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．

(1)当圆心O在上时，______；(2)当点E在边上时，①判断与的位置关系，并证明：②当为何值时，有最大值？并求出最大值；(3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．81．（浙江台州·期中）如图，点，，在上，将沿折叠后，与交于点．（1）若，则________°；（2）如图1，点恰好是翻折所得的中点，①若，求的度数；②若，求的值；（3）如图2，若，求的值．题型03、动态圆问题82．（2021·浙江温州·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则度．83．（2023·青海·中考真题）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.

(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.

，，，，，；

，，是等边三角形，，在中，，，故答案为：，；84．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接．(1)当点P不与点B重合时，求证：平分；(2)当圆M与直角梯形的边相切时，请直接写出此时的长度；(3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．85．（2021·山西临汾·三模）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为（）A． B．C． D．86．（15-16九年级上·广东广州·期末）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为．87．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是半圆的直径，弦平行半径，连接，，将半圆绕点旋转，点的对应点为，半圆交于点，，，三点恰好在同一直线上时，若，则四边形的面积为．

88．（2024·浙江宁波·一模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，的半径均为，O为三角轮的中心，．如图2，当轮子及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，则；如图3，拉动，使轮子在楼梯表面滚动，当，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为．89．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变