2024-2025学年四川省泸州市三校联盟高二下学期第一次联合考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省泸州市三校联盟高二下学期第一次联合考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+t，(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=3时的瞬时速度为A.7 B.14 C.21 D.282.“a=12”是“直线x−2ay+1=0与直线(a−1)x+ay−1=0平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.记Sn为等差数列an的前n项和，a4+a8=16A.58 B.63 C.75 D.844.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼−20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(

)A.18种 B.24种 C.36种 D.48种5.在等比数列an中，a3，a7是函数f(x)=13A.±3 B.4 C.3 D.6.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足nΩ=10，n(A)=4，n(B)=3，n(A∪B)=6A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B独立

C.PB=37.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点P在C上，若点Q6,3，则△PQFA.13 B.12 C.10 D.88.已知f(x)=aex−1−lnx+lna，g(x)=(1−e)x，当x>0时，ef(x)≥g(x)，则a的取值范围为A.1e,1 B.1e,+∞ C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是(

)A.a=0.010 B.样本中得分不低于80分的同学有15名

C.估计样本的40%分位数为66分 D.该组数据的平均数大于众数10.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有(

)A.与点A(−3,4,2)关于x轴对称的点的坐标为(−3,−4,−2)

B.若{a,b,c}是空间向量的一组基底，且m=λa+μc(λ,μ∈R)，则{a,b,m}也是空间向量的一组基底

C.已知a=(−1,2,0)11.函数f(x)=13x3A.当a=2时，函数y=f(x)只有一个零点

B.若函数f(x)的对称中心为1,43，则a=−1

C.若函数f(x)在12,3上为减函数，则a≤−2

D.当a=−2时，设f(x)的三个零点分别为x1,x2，x3，曲线f(x)在点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ln(x+1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为

．13.设双曲线C:x2a2−y2b2=1的左，右焦点分别是F1，F214.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位：万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为

.(参考数据：1.310≈四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分设正项数列an的前n项和为Sn，a1=1，且满足___________.给出下列三个条件：①a3=4(1)求数列an(2)若bn=1(n+1)log2an+1，T16.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB =2，DP=3．(1)证明：BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．17.(本小题15分已知椭圆E:x2a2(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于不同的两点M,N.过M作直线x=1的垂线，垂足为Q.求证：直线NQ过定点．18.(本小题17分已知函数f(x)=ln(1)若m=1

，求f(x)的极值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若对任意x>0，有f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值．19.(本小题17分人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数φ(n)n∈N∗的函数值等于所有不超过正整数φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(27)=18.正偶数与2n不互素，所有正奇数与2n互素，比2n小的正奇数有2(1)求φ(6)，φ(10)，φ3(2)已知数列an满足an=12n⋅(3)若数列4Sn−12n−1n∈N∗的前n项和为注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.D

7.A

8.B

9.ABC

10.AC

11.ABD

12.y=113.214.3937万元

15.(1)解：选①，因为2lg所以an所以数列an设数列an得公比为由a3=a1q2=所以an选②，因为Sn当n=1时，S1所以m−1=1，所以m=2，即Sn当n≥2时，an所以an所以数列an是以1为首项，2所以an选③，因为2a当n=1时，2a1=k即2a当n≥2时，2a所以(n+1)a即an当n=1时，上式也成立，所以an(2)证明：由(1)得bn所以Tn所以Tn

16.解：(1)如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB=DC=1．

又DC//OB，所以四边形DCBO为平行四边形．

又BC=OB=1，

所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO．

同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD//CO，

所以BD⊥AD．

因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD，

又AD∩PD=D，AD,PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP．

因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA．

(2)由(1)知BD⊥AD，又AB=2AD，所以∠DAO=60∘，

所以三角形ADO为正三角形．

过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(32,−12,0)，B32,32,0，P(0,0,3)，D(0,0,0)．

则AB=(0,2,0)，AP=−32,12,3，DP=(0,0,3)．

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)17.解：(1)由题意得b=c12∴椭圆E的方程为x2(2)由题意得，直线MP的斜率存在．设直线MP的方程为y=k(x−2)，点Mx1,y1由x22+由Δ=−8k2∴x1+∵kNQ=y1−y令y=0，得−y1=当k≠0时，x−1=x∴x=32，故直线NQ过定点当k=0时，直线NQ为x轴，过点32综上，直线NQ过定点32

18.解：(1)f(x)

的定义域为

(0,+∞)

，当

m=1

时，

f(x)=lnx−令

f′(x)=1x−2x−1=−(x+1)(2x−1)x=0

，解得

当

0<x<12

时，

f′(x)>0

，则

f(x)

在

0,当

x>12

时，

f′(x)<0

，则

f(x)

在

1所以

f(x)

在

x=12

时取得极大值为

f(2)因为

f′(x)=1当

m≤0

时，

f′(x)>0

在

(0,+∞)

上恒成立，此时

f(x)

在

(0,+∞)

上单调递增；当

m>0

时，f​′(x)=0，得x=−1(舍去)当

0<x<12m

时，

f′(x)>0

，则

f(x)

在

0,当

x>12m

时，

f′(x)<0

，则

f(x)

在

1综上：当

m≤0

时，

f(x)

在

(0,+∞)

上单调递增；当

m>0

时，

f(x)

在

0,12m

上单调递增，在

1(3)因为对任意

x>0

，

f(x)≤0

恒成立，所以

lnx+x+1≤mx2+2x

在即

m≥lnx+x+1x2+2x

设

F(x)=lnx+x+1x2+2x

设

φ(x)=−(x+2lnx)

，

φ′(x)=−1−2x<0

，则

φ(x)

因为

φ(1)=−1<0

，

φ12所以

∃x0∈12,1

，使得

φ当

x∈0,x0

时，

当

x∈x0,+∞

时，

所以

F(x)

在

0,x0

上单调递增，在

x所以

F(x)max因为

x0∈12,1

故整数m

的最小值为1．

19.解：(1)因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5