2025年中考数学总复习《四边形中的相似三角形综合》专项检测卷含答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《四边形中的相似三角形综合》专项检测卷含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G．(1)求证：；(2)如果，求证：四边形是矩形．2．【知识技能】（）如图，在中，平分，，求证：．【场景迁移】（）如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，若，求的值．3．在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，．(1)如图，求的值．(2)求证：．4．在正方形中，，分别是，上的点，且，的垂直平分线分别交于点．(1)如图，求证：；(2)如图，设与交于点，连接交于点，连接，．求证：是等腰直角三角形；若，求的值．5．如图，点E在正方形的边延长线上（），连接，于点F，交于点P，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，证明的形状，并求的值．6．【初步探究】如图1，在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求的值；【深入研究】如图2，在四边形中，，，点F是的中点，点E在边上，，与交于点G，求证：；【拓展延伸】如图3，在【深入研究】的条件下，连接，且，求证：．7．如图，在四边形中，，，连结，，分别交，于点，，交于点．(1)求证：．(2)求证：．8．如图，点、分别在正方形边、上，连接．(1)作，使点和分别在边和上（均不与顶点重合），且垂直于．要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹（无需写说明）．(2)连接、，若，求证：．9．在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．(1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；(2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，①如图（2），若，求的长；②如图（3），连接，当，且时，求的值．10．如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G．(1)当时，与的数量关系为_______；(2)如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值；(3)当运动时间时，直接写出的长．11．如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接．(1)求证：．(2)若，求的值．(3)如图2，若F是的中点，，求的长．12．已知，如图：在平行四边形中，对角线交于点，点是边延长线上一点，连接，交于点，交于点．(1)求证：；(2)连接，如果，求证：四边形是菱形．13．四边形为正方形，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接线段，．(1)如图1，当旋转角时，的度数为______度；(2)如图2，当旋转角由小变大时，的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由；(3)如图3，延长，过点B作的延长线于点F，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论；(4)如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段扫过的面积．14．如图，在中，是边上的一点，是边上的一点，连接，，，．(1)如图1，若，与交于点，，平分．①求证：．②若是的中点，求证：．(2)如图2，若四边形是菱形，平分，，交于点，，，求的值．15．如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为．(1)若圆心在线段上，求的度数；(2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线；(3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长．参考答案1．(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到，由相似比变形即可得证；（2）由题中条件，结合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质得到，根据四边形是平行四边形，由矩形的判定即可得证．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．2．（）证明见解析；（）【分析】（）由角平分线的定义和平行线的性质可得，进而即可求证；（）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由相似三角形的判定和性质可得，即得，，进而可得，再代入计算即可求解．【详解】（）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（）∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．3．(1)2(2)见解析【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识．（1）证明，可得；（2）利用相似三角形的性质进行证明即可．【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，∴，，，∴，，，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵矩形中，，∴，∴；（2）证明：由（1）知，，∴，∴，∵，∴，∵N是的中点，∴，∴．4．(1)见解析；(2)见解析；．【分析】（）由四边形是正方形，则，，，然后证明，故有，又可以证明四边形是平行四边形，得到，从而求证；（）过点作于点，于点，则，，根据是的垂直平分线，得出，从而可证，所以，最后通过性质和角度和差即可求证；设，由可知是等腰直角三角形，再证明，由相似三角形性质可得．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，垂直平分，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴；（2）证明：如图，过点作于点，于点，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；解：设，由可知是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．5．(1)见解析(2)(3)等腰直角三角形，【分析】（1）通过证明进行分析推理；（2）通过证明四点共圆，结合等腰直角三角形的性质分析求解；（3）通过证明，结合全等三角形的性质求得，从而确定的形状，通过证明，根据相似三角形的性质分析求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴∴，在和中∴，∴；（2）解：连接∵，∴，又∵，∴四点共圆，又（1）可得，且，∴；（3）证明：是等腰直角三角形，理由如下：连接∵以点A为圆心、为半径的弧交于点G，连接、，且四边形是正方形，由题意可得与相切于点，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形；∵，均为等腰直角三角形，∴,∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，灵活运用圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是本题解题的关键．6．【初步探究】；【深入研究】见解析；【拓展延伸】见解析【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再证明，由相似三角形的性质可得结论；（2）过点F作，交于点H，连接，由三角形中位线的性质可得．从而求得，再证明四边形是平行四边形，可得．再由，点H是的中点，可得，求得，最后由等腰三角形的判定可得．即可得证；（3）过点E作于点I，连接，过点F作，设，则．由勾股定理求得．再证明垂直平分，可得．再证明，可得，从则可得结果．【详解】[初步探究]解：∵点E，F分别是的中点，∴，∴，∴．[深入研究]证明：如图1，过点F作，交于点H，连接，∵，∴．∵点F是的中点，∴H是的中点，∴．∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴．∵，点H是的中点，∴，∴∴，∴．[拓展延伸]证明：如图2，过点E作于点I，连接，过点F作，可得四边形是矩形，．由[深入研究]知，，设，∴．在中，．∵，∴．∵点F是的中点，∴垂直平分，∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用证明；（2）连结并延长交于点，先利用证明，再证明，列出比例式，适当变形成得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．（2）连结并延长交于点，∵，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是找准对应边、对应角证明三角形相似，再列出比例式求解．8．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图——作线段的垂线，正方形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识．（1）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交于点，即为所求；（2）根据正方形的性质得到，结合可推出，即可证明．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）四边形是正方形，，，，，，又，．9．(1)见解析(2)①的长为2；②．【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明；（2）①连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接交于点，∵矩形，∴，，，∴，∵点，分别是，的中点，∴，则，∴，∴，∴；（2）解：①连接交于点，连接，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵点是的中点，点是的中点，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，即的长为2；②设，则，连接，，作于点，则四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵点是的中点，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．10．(1)(2)，(3)【分析】（1）连接，证明可得结论；（2）过E作于P，则四边形为矩形，可得，，证明为等腰直角三角形．则，；由求解即可；（3）如图2，先根据勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：．证明：连接，∵四边形是矩形，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，过E作于P，则．∴四边形为矩形，∴，，∵平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴为等腰直角三角形．∴．∴；由题意得：．∴，即；（3）解：如上图2，则，

，，∴，，∵，∴，又，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．11．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用矩形的性质先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出，进而可得出．（2）设，，则，，由全等三角形的性质得出，再得出，再根据正切的定义得出，进而可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．（3）延长，相交于点G，设．由矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，．再证明，由全等三角形的性质得出，求出b的值，再根据勾股定理得出，再根据等面积法求出．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，．∵M是的中点，∴，∴，∴，∴M是的中点，∴．又∵，∴，∴．（2）解：设，，则，．由（1）知，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，解得：，（舍去）∴（3）解：如图，延长，相交于点G，设．∵四边形为矩形，∴，，，∴．∵，，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴在中，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．12．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．本题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似．（1）证明，，得到，，进而得到，即可得证；（2）证明，推出，进而得到，即可得证．【详解】（1）证明：∵平行四边形中，∴，，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵∴，∵平行四边形中，对角线、交于O，∴，∴，即：，∴平行四边形是菱形．13．(1)135(2)不变，理由见解析(3)，证明见解析(4)【分析】（1）先根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得；（2）先根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得，求出，由此即可得；（3）连接，取的中点为点，先根据正方形的性质可得，，从而可得，再证出点都在上，根据圆周角定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得；（4）连接，，取的中点为点，先得出当旋转角从旋转到，线段扫过的面积为弓形的面积，等于扇形的面积减去的面积，再利用正方形的性质、勾股定理求出，然后利用扇形和三角形的面积公式求解即可得．【详解】（1）解：由旋转的性质得：，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：135．（2）解：的度数不变，理由如下：由旋转的性质得：，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，故答案为：不变．（3）解：，证明如下：如图，连接，取的中点为点，∵四边形是正方形，∴，，∴，由上已证：，∴，∵，∴，∴，∴，即，又∵，即，∴点在以点为圆心、长为直径的圆上，∵，∴点在上，由圆周角定理得：，在和中，，∴，∴，∴．（4）解：如图，连接，，取的中点为点，由（3）已得：点在以点为圆心、长为直径的圆上，∴当旋转角从旋转到，线段扫过的面积为弓形的面积，等于扇形的面积减去的面积，∵正方形的边长为2，∴，，∴，∵点为的中点，∴，，∴，∴线段扫过的面积为．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握旋转的性质和圆周角定理是解题关键．14．(1)①见解析；②见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）①先由等边对等角得到，再证明，进而可证明，据此证明即可证明；②延长交于H，可证明，得到，再求出，则可证明；（2）先导角证明，得到，则；再证明，得到，则可证明，得到，则；过点A作于M，则，；过点E作于N，则四边形是矩形，可得，，求出，则