2025年中考数学总复习《与垂径定理有关计算》专项检测卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《与垂径定理有关计算》专项检测卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度．2．金华境内峰峦叠嶂，公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，(1)如图1，，的延长线交于圆心，若甲组测得，，，求的长．(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点为的中点，若丙组测得，，求该混凝土管片的外圆弧半径．3．某地欲搭建一座桥，桥的底部两端间的距离米，桥面最高点C到的距离米，现有以下两种设计方案可供选择：(1)方案一：如图1，设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式．(2)方案二：如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；(3)现有一艘宽为18米的货船，货船露出水面部分的横截面为矩形，并高出水面2.7米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．4．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．解决问题：(1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由；(2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是个．5．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径．6．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；(2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．7．如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．8．图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．(1)的度数为______；(2)在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；(3)请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．9．民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．

(1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径；(2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；(3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案）10．如图，为的内接三角形，P为延长线上一点，为的直径，过C作交于E，交于F，交于G．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)求证：；(3)若的直径为10．，，求的值．11．残破的圆形纸片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D．

(1)用尺规作图的方法作此残片所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，求此残片所在圆的半径．12．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？13．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径；(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？14．如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度为，拱高为．(1)求拱桥的半径；(2)夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度为，请通过计算说明是否要禁止通行．15．我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；探究一：(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？探究二：(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．参考答案1．该烧瓶的高度为．【分析】本题考查的是垂径定理的应用．连接，，过点作，交于点，交于点，由垂径定理得出，的长，再根据勾股定理得出，的长，进而可得出结论．【详解】解：如图，连接，，过点作，交于点，交于点，，，平分，，，，，，的半径为，，在和中，，由勾股定理得，，该烧瓶的高度为．2．(1)(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、垂径定理和勾股定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，利用相似三角形的性质进行计算即可；（2）根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，设m，则m，∴，解得，经检验，是原方程的根，即，∴的长为．（2）解：如图，设圆心为点，连接、、，，与相交于点，则，，设外半径为，则，在中，由勾股定理可得，，即，解得，∴该混凝土管片的外圆弧半径为．3．(1)(2)米(3)抛物线型方案：不能；圆弧型方案：能；理由见解析【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出a的值，即可确定函数的解析式；（2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，由勾股定理可得，即，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；（3）①选择抛物线型方案时，当时，，由，即可得出结论；②选择圆弧型方案时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于点H，连接，在中，利用勾股定理可求出米，进而可得米，再由，即可得出结论．【详解】（1）解：∵米，∴，，∵，∴，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，得：∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，设圆心为，连接交于点，连接，∵米，桥面最高点到的距离米，∴，米，在中，，∴，解得：，∴该圆弧所在圆的半径为米；（3）解：抛物线型方案：货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案：货船能顺利通过该桥；理由如下：①选择方案一时，货船从正中间走时，当时，，∵，∴货船不能顺利通过该桥；②选择方案二时，货船从正中间走时，设米，如图，过点G作交弧于点F，过点O作交于点H，连接，则四边形为矩形，∴米，（米），在中，，∴，∴米，∵（米），∴（米），∵，∴货船能顺利通过该桥．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），待定系数法求二次函数解析式，圆的性质，垂径定理的实际应用，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．(1)能顺利通行，理由见解析(2)7或8【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质．（1）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案．（2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼．【详解】（1）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接，则米，∴，解得米，根据题意可知，，，，∴，∴，∴，∵，∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行；（2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，设函数关系式为，代入得，解得：，∴抛物线的解析式为，∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，∴当悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，当时，，∴，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，故答案为：7或8．5．10【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可．【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r，，，，，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，这个紫砂壶的壶口半径为，6．(1)这座石拱桥主桥拱的半径为(2)此渔船不能顺利通过这座桥【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键．（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解；（2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，设主桥拱半径为，由题意可知，，∴，，∵，∴，∴，解得，，∴这座石拱桥主桥拱的半径为．（2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，如图，设为该渔船的上端，连接，∵，船舱顶部为长方形并高出水面，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴此渔船不能顺利通过这座桥．7．(1)的长度为；直径小于长度(2)水的最大深度为【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式．（1）连接，由，，求出，根据弧长公式即可求解；（3）过点O作交于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，由，求出，再根据即可得出答案．【详解】（1）解：如图，连接．，，，，，直径小于长度；（2）解：如图，过点O作交于点C，在中，，，，，，水的最大深度为．8．(1)(2)的长度更长(3)汤的最大深度为．【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式．（1）证明是等边三角形，再利用邻补角的性质即可求解；（2）利用弧长公式求得的长度，比较即可得解；（3）当垂直平分时，为汤的最大深度，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，过圆心作于点，交圆于点，则垂直平分，即为所求，然后利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再根据即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，∴是等边三角形，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴的长度更长；（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，

∵，，∴．∵，，∴，∴，即汤的最大深度为．9．(1)抛物线为：；的半径(2)(3)6【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题．（1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可；（2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可；（3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可．【详解】（1）解：根据已知抛物线顶点为，且过，，设抛物线解析式为：，将代入可得：，解得：，抛物线解析式为，如图，圆心为，连接、，

，设，则，，，，，在中，由勾股定理可得：，，解得：，的半径为；（2）解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高，水面距离锅沿的竖直高度为，当时，，解得：，水面宽度为；（3）解：对于抛物线，如图所示：

，当时，，；对于，如图所示：

，当时，，，，，，，，为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个．10．(1)相切，见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）首先连接，由为的直径，可得，然后由圆周角定理，证得，由已知，可证得，继而可证得与相切．（2）首先连接，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（3）首先连接，由，可求得的长，易证得，即可求得的长，继而可求得与的长，则可求得答案．【详解】（1）与相切，理由：

连接，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵点A在圆上，∴与相切．（2）证明：如图2，连接，

∵为的直径，，∴∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图3，连接，

∵是直径，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．11．(1)见解析；(2)13．【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心；（2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径．【详解】（1）如图，点O为所求的圆心．

（2）连接，

设半径为x，即，∴，∵是的垂直平分线，∴∴在中，，即，解得：，∴此残片所在圆的半径为13．【点睛】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键．12．(1)5米(2)2米【分析】（1）作于点E，交于点D，由垂径定理可得，，再由勾股定理即可求出圆的半径；（2）当米时，米．在中，由勾股定理可得，，则米，即可求出的长．【详解】（1）解：如图，作于点E，交于点D．则米，米．设圆的半径为r米，在中，，∴，解得，∴该圆的半径为5米；

（2）解：当米时，米．在中，，∴，∴米，∴（米）．答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．13．(1)(2)能顺利通过【分析】（1）过作于，交弧于，连接，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．（2）连接，设，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．【详解】（1）解：过作于，交弧于，连接．，，由题意可知，，设