正态分布课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性

7.5正态分布[学习目标]

1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象)2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算)3．会用正态分布去解决实际问题．(逻辑推理)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为:事件A发生的次数事件A发生的概率试验总次数随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)

二项分布的均值与方差：复习回顾超几何分布的定义

MN－M

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记为X~H(N,n,M).

超几何分布的均值：上面两种都是离散型随机变量的概率模型，那对于连续型随机变量的概率模型呢？随机变量离散型随机变量连续型随机变量二项分布超几何分布？分布连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？这就是我们今天要学习的正态分布二项分布、超几何分布描述的是离散型随机变量的概率分布规律，现实中,还有大量问题中的随机变量不是离散的，例如：在生产中：某电器的使用寿命；在测量中：同年龄人群的身高、体重等；小明上学途中等公交车的时间；在生物学中：一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；在气象中：某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等；连续型随机变量：

如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。新课引入新知探究问题1

自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下：-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.3

4.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9思考：(1)如何描述这100个样本误差数据的分布?(2)如何构建适当的概率模型刻画误差

X

的分布?思考：(1)如何描述这100个样本误差数据的分布?[-6,-4)[-4,-2)[-2,0)[0,2)[2,4)[4,6]3163431133求极差1确定组距和组数（6组）2分组34.8－(－5.2)=10列出频率分布表.画频率分布直方图451[-6,-4)30.030.030.0152[-4,-2)160.160.190.083[-2,0)340.340.530.174[0,2)310.310.840.1555[2,4）130.130.970.0656[4,6)30.0310.015分组区间频数频率累积频率思考：(1)如何描述这100个样本误差数据的分布?如左图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定思考：(2)如何构建适当的概率模型刻画误差

X

的分布?随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓会发生什么变化？接近一条光滑的钟形曲线.n=9n=50n=100思考：根据函数知识，下图曲线它是函数吗？若是，这个函数是否存在解析式呢？PX-60-4-200.150.050.100.20426任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.这是函数，在数学家的不懈努力下，找到了刻画随机误差分布的解析式.根据频率与概率的关系，可用左图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.新知生成1---正态曲线及其特征正态分布密度曲线

y012-1-2x-33μ=0σ=1

(1)∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方；(2)

x轴和曲线之间的区域的面积为1.(3)曲线是单峰的，它关于直线

x=μ

对称；(4)曲线在x=μ处达到峰值；

(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近

x

轴.

思考2：观察正态曲线及相应的密度函数，阴影面积有何含义?思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

正态密度函数正态曲线X～N(μ，σ2)标准正态分布

上方1x＝μx＝μxσμ(7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．【微提醒】

正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1.[典例讲评]

1．(1)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(

)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同√√√由题中图象可知，三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．(2)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________．202

发现规律

利用正态曲线的性质求参数μ，σ(1)正态曲线是____峰的，它关于直线______对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值______，由此性质结合图象求σ.单x＝μ

A．甲生产线产品的稳定性高于

乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于

乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值√

√√√μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2甲图象更“瘦高”，故甲类水果的质量更集中于平均值左右

正态分布密度曲线的概率

-x1

-x2

+x2

+x1

a-a正态曲线下对称区域的面积相等对应的概率也相等

新知生成2---利用正态分布性质求概率探究2利用正态分布的性质求概率[新知生成](1)三个特殊区间内取值的概率，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)3σ原则

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．

对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生．[典例讲评]

2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；

(2)P(3≤ξ≤5)．[解]∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.

[母题探究]

(变设问)若本例条件不变，求P(ξ>5)．

反思领悟

利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解．[学以致用]

2．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(

)A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(

)A．3B．4C．5D．6√√μ＝2，对称轴是直线ξ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.μ＝2，对称轴是直线ξ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.[典例讲评]

3．某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？[解]

∵成绩服从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∵P(75≤ξ≤85)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6827，∴P(80≤ξ≤85)＝0.34135设该班有x名同学，则x×0.34135＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，

μ＋2σ＝80＋10＝90，∴P(70≤ξ≤90)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，∴P(ξ＞90)＝0.2275.∴50×0.2275≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．反思领悟

求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这三个性质求出最后结果．[学以致用]

3．在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ～N(90，100)．(1)求考试成绩ξ位于区间[70，110]上的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在[80，100]间的考生大约有多少人．(1)由正态分布的性质可知，P(70≤ξ≤110)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545，

(2)由正态分布的性质可知，P(80≤ξ≤100)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6827.∴考试成绩在[80，100]间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人)．243题号1应用迁移√

由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.应用迁移23题号14

√由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3.23题号41√3．已知某批零件的长度误差ξ(单位：mm)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6]内的概率为(

)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)A．0.0456 B．0.1359C．0.2718 D．0.3174

243题号14．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．

101．知识链：(1)正态曲线及其特点．(2)正态分布．(3)正态分布的应用，3σ原则．2．方法链：3σ原则的应用，转化化归、数形结合．3．警示牌：不能正确运用正态密度曲线图致误．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出三个常用的概率值吗？[提示]

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.2．正态密度曲线有哪些特征？[提示]

(1)集中性：正态曲线的高峰位于正中央．(2)对称性：正态曲线关于直线x＝μ对称且不与x轴相交．(3)均匀变动性：正态曲线由峰值开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降．课时分层作业(十九)点击页面进入…正态