2024-2025学年广西南宁市某中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）+答案解析

2024-2025学年广西南宁市天桃实验学校九年级（下）月考数学试卷（3

月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列实数是无理数的是（）

A.-2025B.7rC.3.14159D.

2.产自广西钦州的龙兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，

经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点.如图是泥兴陶的茶杯,

它的俯视图是（）

主视方向

3.甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是1.72m，身高的方差分别是S3=0.12,=0.10,

S曾=0.15,则身高比较整齐的篮球队是（）

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

4.16的平方根是（）

A.8B.±8C.±4D.4

5.已知点/的坐标为（2,-4）,则点/关于原点的对称点的坐标为（）

A.（-2,4）B.（-2,-4）C.（2,-4）D.⑵4）

6.若代数T式-4二-1三的值是0,则实数x的值是（）

X—6

A.3B.-3C.1D.-1

第1页，共20页

7.如图，要使平行四边形/BCD成为矩形，可以添加的条件是（）

A.AB=BC

B.ACLBD

C.Zl+Z2=90°

D.Zl=Z2

8.将抛物线沙=（2+1）2-1向右平移4个单位后，所得新抛物线的解析式为（）

A.g=（2一3）2—1B.g=（2+5）2—1C,y—（x+I）2+3D.y=（a?+I）2—5

9.在中，NC=90°，AC=6,BC=8,以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，

则r的取值范围为（）

A.0<r<4.4B.0<r<4.4C,0<r<4,8D.0<r<4.8

10.反比例函数沙="<0）的图象经过点（一5,阴），（一1,侬），贝女）

x

A.yi>y2B.yi<彼

C.y#02D.阴和仪的大小无法比较

11.某学校改造过程中整修门口3000加的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在

这个题目中，若设实际每天整修道路xm,可得方程网竺-%=15,则题目中用“…”表示的条件应

力一10x

是（）

A.每天比原计划多修lOw,结果延期15天完成

B,每天比原计划多修10m,结果提前15天完成

C.每天比原计划少修10m,结果延期15天完成

D.每天比原计划少修10m,结果提前15天完成

12.如图，点E是正方形N8CD的边DC上一点，把△4DE绕点/顺时针旋转90°到

的位置.若四边形/EC尸的面积为36,CE=4,则/尸的长为（）

A.6B.4\/2C.8D.2\/10

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.将多项式进行因式分解：/—.

14.若关于x的一元二次方程/—4/+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为.

第2页，共20页

15.如图，在扇形0/8中，0A=2cni，AA0B=120°，则弧的长为.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线沙=-2mc（?7i<0）与x轴

正半轴交于点/,这条抛物线的对称轴与x轴交于点3,以为边作菱

形N2CD,若菱形A8CD的顶点C,。在这条抛物线上,则m的值为

OB

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

⑴计算：6x（―-）—\/8+|1—\/2|.

z-22—5①

（2）解不等式组:

?>x<x+2②

18.（本小题10分）

如图，在等腰△46。中，AB=AC,于。点.

（1）尺规作图：过点N作/54。的平分线分别交CD,BC于E,F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）;

⑵在⑴的条件下，若4。=。。，求证：BC=AE.

19.（本小题10分）

一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球.分别标有数字1,2,3,4,另外有一个可以自由旋转的圆盘,

被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1,2,3（如图所示）.小真从口袋中任意摸出一个小球，记

下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针指向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积.

第3页，共20页

(1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率；

(2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定：若这两个数的积为奇数,

小真赢；否则，小帅赢.你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.

20.(本小题10分)

如图，48是00的直径，C是0O上的一点，点。是弧3c的中点，过点。作交NC延长线于点E,

所在直线交N3的延长线于点尸，连接4D,CD.

(1)请判断直线即与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若4E=4,BF=6,求©O的半径.

21.(本小题10分)

小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙.小明对这两个保温壶进行了保温测试，他同时分别向甲乙

两个保温壶中倒入了同样多90℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，且这段时间内，

甲，乙的水温贝℃)与时间以分)之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示.根据相关信息，解

答下列问题：

(1)求乙壶中的水温y与x的函数关系式(不必写自变量的取值范围)；

(2)当乙壶中的水温是70℃时，求甲壶中水的温度是多少？

(3)测试多长时间内，这两个保温壶的温差不超过10℃?

第4页，共20页

22.（本小题12分）

某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测

角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度.

如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段/瓦已知4BLCF，

CDLCF,点、F,B,E,C在一条直线上.下面是两组测量数据：

第一组第二组

①标杆。。=2.0m;①标杆。C=2.0m;

②标杆底部到楼底部的距离BC=6.0m；②标杆的影长CE=1.4m;

③从。点看/点的仰角为79.7°.③大楼的影长BF=24.5m.

请你帮他们解决如下问题:

⑴请依据第一组的数据计算大楼的高度4R（参考数据：sin79.7°比1.0,cos79.7。比0.2,tan79.7°比5.5）

（2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由.

（3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点N与点M的高度差”，因山坡的遮挡,

两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点M,N处分别竖直安置经纬仪

和QN,且PM=QN,用无人机辅助测得尸G与水平线的夹角ai=53°,0G与水平线的夹角a2=27°,

PG=70米，QG=90米.请你根据以上数据求点N与点M的高度差.

（参考数据：sin53°20.8,cos53°仁0.6,tan53力1.3,sin27°双0.5,cos27°弋0.9,tan27°«0.5）

第5页，共20页

23.(本小题12分)

在△/BC中，CA=CB,N4CB=a.点P是平面内不与点N,C重合的任意一点，连接/P,将线段/尸

绕点P逆时针旋转。得到线段。尸，连接BD,CP.

图1图2图3

(1)猜想观察：如图1,若a=60°，BD交AC于点、M,则黑的值是,直线AD与直线CP相交所成

01

的较小角的度数是.

⑵类比探究：如图2,若a=90°，BD与AC,尸C分别相交于点N.求黑的值及/CN刊的度数.

(3)解决问题：如图3,当a=90°时，若P,D,C三点在同一直线上，且ZZ4=OC,BD交AC于点、M,

DM=2-V2>求4?的长.

第6页，共20页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4-2025是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

8正是无理数，故本选项符合题意；

C3.14159是分数，属于有理数，故本选项不符合题意

。焉是分数，属于有理数，故本选项不符合题意.

故选：B.

根据无理数的定义判断即可.定义：无限不循环小数叫做无理数.

本题考查了无理数的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：俯视图如选项C所示，

故选：C.

根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在主视图

中.

3.【答案】B

【解析】解：根据方差的意义可知：

•••S帝=0.12,Si=0.10,S,=0.15,

.<5有〈确,

则身高比较整齐的篮球队是乙，

故选：B.

方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越

不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.据此解答即可.

本题主要考查了方差的意义，熟练掌握该知识点是关键.

4.【答案】C

【解析】解：•;（±4）2=16,

」.16的平方根是±4.

第7页，共20页

故选：c.

依据平方根的定义解答即可.

本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：点N关于原点的对称点的坐标为(-2,4).

故选：A.

关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是关键.

6.【答案】D

【解析】解：若代数式上7l-I-41的值是0,

x—6

则,+1=0且立一3卢0,

解得x=

故选：D.

根据分式的值为0即分子为0而分母不为0解答即可.

本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：4、添加43=8。，平行四边形/BCD是菱形，不是矩形，不符合题意；

B、添加平行四边形是菱形，不是矩形，不符合题意；

C、添加Nl+/2=90°,平行四边形是矩形，符合题意；

D、添加N1=N2,平行四边形/BCD是菱形，不是矩形，不符合题意；

故选：C.

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可.

此题重点考查矩形的判定定理和菱形的判定定理等知识，根据所给的条件证明平行四边形/BCD为矩形或

菱形是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由题知，

将抛物线沙=(2+1)2—1向右平移4个单位后，

所得抛物线的解析式为沙=(2—4+—1=侬—3)2—1.

故选：A.

第8页，共20页

根据“左加右减”的平移法则即可解决问题.

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：如图，过点C作。于点。，柒

ZACB=90%AC=6,BC=8,\

AB=+BC2=io，

•.•以点C为圆心，：•为半径作圆，且与直线相离，

：.r<CD,\,

CA

-AC-BC=-AB-CD,即1x6x8=1QCD,

2222

解得。。=4.8，

0<r<4.8

故选：C.

根据题意画出草图，过点。作于点〃，利用勾股定理求出再根据直线与圆相离得到CD〉r,

最后利用等面积法求解，即可解题.

本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：：k<0，

该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，

又•.•点（一5,见）和点（一1,沙2）在反比例函数？/=：（卜<0）的图象上，

二点（一5,阴）和点（一1,沙2）在第二象限,

•二—5<—1<0,

0<见<统，

故选：B.

根据反比例函数的图象与性质求解即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：

11.【答案】B

【解析】解：设实际每天整修道路山”，则（2-10）机表示原计划每天修的道路长度，

由题意可知，网之表示原计划施工所需时间，料表示实际施工所需时间，

力一1Ux

第9页，共20页

二原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前15天完成.

故选：B.

由x代表的含义找出3-10)代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论.

本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：•.•把△4OE顺时针旋转△ABF的位置，

AADE空AABF,

AE=AF,四边形/EC尸的面积等于正方形48CD的面积等于36,

-,AD=DC=6,

•;CE=4,

:.DE=2,

在RtAADE中，4E=y/AD2+DE2=2传，

：,AF=AE=2VlO>

故选：D.

利用旋转的性质得出四边形NECP的面积等于正方形N3CD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾

股定理得出答案.

本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，勾股定理；正确利用旋转的性质是解题的关键.

13.【答案】畋2―1)

【解析】解：x2—X—x{x—1),

故答案为：x[x-1).

根据提公因式法分解因式即可.

本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

14.【答案】4

【解析】解：根据根的判别式得：

△=16—如=0,

解得：c=4.

故答案为：4.

根据判别式得到关于c的不等式求出答案即可.

本题主要考查了根的判别式判断根的情况，解决此题的关键是熟记判别式公式.

第10页，共20页

4

15.【答案】/

O

【解析】解：弧N3的长为I?［：；2=&«一）.

1803

4

故答案为：-7T.

O

直接利用弧长公式计算即可.

本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

16.【答案】一"1

【解析】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线力=-富=1,

令mx2—2mx=0，

解得出i=0,72=2,

「.42,0）,

AB=1.

•.•四边形Z5CZ）为菱形，

：.CD//AB,BC=CD=AB=1.

过点D作。石，力轴于点E,设对称轴与CD相交于点F,

OB

/.BF=DE,CF=DF=BE=-CD=

3

OE=OB+BE=

由勾股定理得，BF=_CF2=—>

一2

.•.点。的坐标为己

第11页，共20页

将£）（_，^^）代入沙=mx2—2m劣,

徨9_V3

1^-m—6m=—,

42

解得加=_次!.

3

故答案为：_2.

3

由题意得，抛物线的对称轴为直线工=—二—2丝777=1,则03=1.令m/—2m2=0,求得为=0,g=2,

2m

则4（2,0）,43=1.结合菱形的性质可得。。〃4口，8。=。。=43=1.过点。作。后，,轴于点£

113

设对称轴与CD相交于点R可得BF=DE，CF=DF=BE=-CD=~,则OE=OB+BE=］由

勾股定理可得BF='Be?-CF2=g,进而可得点D的坐标为（|,g），代入抛物线的解析式求出m

的值即可.

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

17.【答案】解：（1）原式=—3—2，^+，^_1

=-4—V2；

⑵1H5①

1工3工＜c+2②’

解不等式①得：3,

解不等式②得：/＜1，

不等式组的解集为：一3＜，＜1.

【解析】（1）先化简述=2代，|1-，可=核-1，再根据实数的混合运算进行计算即可求解；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确

定不等式组的解集.

本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；熟练掌握二次根式的性质以及解一元一次不等式组的

方法是解题的关键.

第12页，共20页

18.【答案】(1)解：如图即为所求作;

(2)证明：CDLAB，

:"CDB=NADE=90°，

：,ZAED+ZDAE=90°,

-：AC=AB,AF平分NBA。，

：,AFLBC>

ZB+ZB4F=90°,

：,AB=AAED,

在△ADE和△CDB中，

fNAED=ZB

<AADE=ACDB,

(AD=CD

：,/\ADE^^CDB{AAS),

：,BC=AE.

【解析】(1)根据角平分线的作法作图即可；

(2)根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等，易证△4DE电△008(445),即可得到结论.

本题考查了作图-基本作图，作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点

是解题关键.

19.【答案】解：(1)列表如下：

1234

1(1,1)⑵1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

第13页，共20页

由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，

二.P（积为6）=2=?1

（2）游戏不公平.

因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况.

P（积为奇数）=gP（积为偶数）=彳*|,

所以不公平，

游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢.

或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜.

【解析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）分别求出两人获胜的概率，比较即可得出结论.

本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等

就公平，否则就不公平.

20.【答案】解：（1）直线M与的相切；理由：连接。£>,

。为中点，

CD=BD'

：,ACADABAD,

：OA^OD,

：,ABAD=AADO,

：,ACAD=AADO,

：.AC//OD,

■：DELAC，

：,DE1,OD,

•二0。是。。的半径,

EF是0。的切线;

第14页，共20页

⑵设00的半径为匕

'：AEHOD,AE=4,BF=6,

"ODFs^AEF,

AE_AF

-0D=0F9

42r+6

**rr+6'

解得：r=3(负值舍去)，

即。。的半径为3.

【解析】(1)连接0。，根据等弧所对的圆周角相等可得从而利用角平分线和平行证明

AC//0D,然后利用平行线的性质求出DEL0。，即可解答；

(2)根据题意证明出△OOFs/vlEF,然后利用相似三角形的性质求解即可.

本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

21.【答案】解：(1)设沙=fcr+b,

•.•图象过(0,90),(300,60),

.(6=90

••\300k+b=60'

解得(乃一10，

、b=90

y=-x+90.

⑵设甲的水温沙(℃)与时间初分)之间的一次函数关系为y=k"bi,

♦.•图象过(0,90),(300,30),

.J61=90

一[300kl+瓦=30'

解得[比=4,

[61=90

二.甲的水温?/(℃)与时间以分)之间的一次函数关系为：y=-^x+90.

5

当沙=70时，70=—木工+90,

解得：x=200

当乙壶中的水温是70℃时，对应的x值为200,

第15页，共20页

当力=200时，g=—；x200+90=50.

5

答：当乙壶中的水温是70℃时，甲壶中水的温度是50°C.

（3）解：根据题意可得：一:力+90-（一，+90）（10,

1U0

解得：2&100.

答：测试io。分钟内，这两个保温壶的温差不超过i（rc.

【解析】（1）待定系数法求出乙的水温沙（℃）与时间力（分）的函数关系式即可；

（2）待定系数法求出甲的水温沙（°C）与时间,（分）的函数关系式，把？/=70代入乙的水温沙（℃）与时间，（分

）之间的解析式求出X的值，再代入甲的解析式即可；

（3）根据题意列出不等式解答即可.

本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键.

22.【答案】解：（1）如图1所示，过点。作0GL43于点G,

太阳光线

又；AB_LCF,CD1CF,

二四边形CDG8是矩形，

：,BG=CD=2m,GD=BC=6m,

在RtAAGZ）中，AG=GD-tanAADG=6x5.5=33m,

43=4G+8G=33+2=35m；

（2）两组同学的最后结果一致，理由如下，

根据第二组数据计算：依题意，LABFsLDCE,

AB_BF

'^C=~CE，

AB_24.5

-■^-=TT,

解得：AB=35

⑶如图2,过点G作GAL于点H，过点尸作PE_LGH于点E,过点。作QF^GH于点尸,

第16页，共20页

G

图2

在Rt^PGE中，GE=PG-sin的=70xsin53°弋56（米）,

.GF

在RtZ\QGF中,Sma2=QG'

：,GF=QG-sin=90xsin270745.0（米）,

GE-GF^56-45.0=11（米）.

答：点N与点〃的高度差为11米.

【解析】(1)在RtZVIG。利用三角函数解得/G的值，进而即可求解；

(2)依题意，△/BFs△QCE,根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解；

(3)过点G作GHU于点、H,过点尸作PE1GH于点E,过点0作Q凡LGH于点R在RtAPGE和RtAQGF

中，利用三角函数解得GE,GF的值，即可获得答案.

本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；熟练掌握以上知识点是解题的关键.

23.【答案】(1)1,60°;

⑵•.♦线段NP绕尸点逆时针旋转90°得到线段DP,

：.△PA。是等腰直角三角形，

AAPD=90°，APAD=APDA=45°，

pA./2

/.——=cosAPAD=cos45°=，

/\,iyA

■：CA^CB,"。口=90°，

ZCAB=ZCBA=45%

A「/Q

/.——=cosZCAB=cos45°=，

AB2

PAAC

,,砺=

又•:/.PAD+ACAD=ACAB+ACAD,

即/P4C=ND4_B，

APAC-ADAB,

第17页，共20页

：,APCA=ADBA,PC_PA_V2

而=罚=/

即…

:/BMC=ACNM+APCA=ABAC+/.DBA,ADBA=/.PCA,

，/CNM=/b4C=45°；

(3)设AP=PD=x>则AD=，

-：DA=DC,

：,PC=PO+0。=(及+1)1,

由(